Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Toán 9

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước như sau:

Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia).

Chú ý:

Trường hợp 1: Nếu các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau thì ta trừ hai phương trình với nhau, còn nếu đối nhau thì ta cộng hai phương trình với nhau.

Trường hợp 2: Nếu các hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình không bằng nhau và không đối nhau ta phải thực hiện biến đổi cùng nhân hai vế các phương trình với một số nào đó để đưa về trường hợp 1.

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Phương pháp giải

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (vẫn giữ nguyên phương trình kia). Giải hệ phương trình mới tìm được.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 2x(y + 2) - y(2x + 1) = 5 \\ x(y + 1) + y(2 - x) = 8 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} 3x(y + 1) + y(2 - 3x) = 1 \\ 2x(y - 2) - 2y(x + 2) = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} 2x(y + 2) - y(2x + 1) = 5 \\ x(y + 1) + y(2 - x) = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2xy + 4x - 2xy - y = 5 \\ xy + x + 2y - xy = 8 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4x - y = 5 \\ x + 2y = 8 \\ \end{matrix} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương trình

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 8x - 2y = 10 \\ x + 2y = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9x = 18 \\ x + 2y = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (2;3)$ .

b) $\left\{ \begin{matrix} 3x(y + 1) + y(2 - 3x) = 1 \\ 2x(y - 2) - 2y(x + 2) = 4 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3xy + 3x + 2y - 3xy = 1 \\ 2xy - 4x - 2xy - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 1 \\ - 4x - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 1 \\ - x - y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 2 sau đó cộng hai phương trình lại với nhau ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 1 \\ - 2x - 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ 3x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(x;y) = (3; - 4)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 5 \\ 4x - 3y = - 1 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 2 \\ 2x - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} x - \sqrt{3}y = 1 \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{2} - 1 \right)x + \sqrt{2}y = 1 + \sqrt{2} \\ 3x - \left( 1 + \sqrt{2} \right)y = 1 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 5 \\ 4x - 3y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 5 \\ 2x = 4 \\ \end{matrix} \right.$ (cộng hai vế của phương trình)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 5 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = (2;3)$ .

b) $\left\{ \begin{matrix} x - 2y = 2 \\ 2x - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 4y = 4 \\ 2x - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.$ (Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2)

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0x = 0 \\ 2x - 4y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0x = 0 \\ y = \frac{1}{2}x - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Do đó hệ phương trình có vô số nghiệm.

Cụ thể, tập nghiệm của nó cũng là tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $y = \frac{1}{2}x - 1$ .

Do đó hệ phương trình có nghiệm $(x;y)$ tính bởi công thức $\left\{ \begin{matrix}x\mathbb{\in R} \\y = \dfrac{1}{2}x - 1 \\\end{matrix} \right.$ .

c) $\left\{ \begin{matrix} x - \sqrt{3}y = 1 \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{3}$ ta có hệ phương trình tương đương:

$\left\{ \begin{matrix} x - \sqrt{3}y = 1 \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\sqrt{3} - 3y = \sqrt{3} \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$

Cộng từng vế của hai phương trình của hệ mới tạo thành, ta được $2\sqrt{3}x = 6\sqrt{3}$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{3} - 3y = \sqrt{3} \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{3}x = 6\sqrt{3} \\ \sqrt{3}x + 3y = 5\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\3y = - x\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = \left( 3;\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)$ .

d) $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{2} - 1 \right)x + \sqrt{2}y = 1 + \sqrt{2} \\ 3x - \left( 1 + \sqrt{2} \right)y = 1 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3\left( \sqrt{2} - 1 \right)x + 3\sqrt{2}y = 3 + 3\sqrt{2} \\ 3\left( \sqrt{2} - 1 \right)x - y = - \left( \sqrt{2} - 1 \right)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = \left( 1;\sqrt{2} \right)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x + \sqrt{7}y = - 2\sqrt{3} \\ - 2x - 2\sqrt{7}y = \sqrt{11} \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix}x\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}y = 2 + 3\sqrt{2} \\3x + \left( 1 - \sqrt{2} \right)y = - 1 \\\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} x + \sqrt{7}y = - 2\sqrt{3} \\ - 2x - 2\sqrt{7}y = \sqrt{11} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + 2\sqrt{7}y = - 4\sqrt{3} \\ - 2x - 2\sqrt{7}y = \sqrt{11} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

b) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với $\left( 1 + \sqrt{2} \right)$ , ta được hệ phương trình tương đương:

$\left\{ \begin{matrix}x\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}y = 2 + 3\sqrt{2} \\3x + \left( 1 - \sqrt{2} \right)y = - 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2\sqrt{2}x + y = 4 + 2\sqrt{6} \\3\left( 1 + \sqrt{2} \right)x + ( - 1)x = - \left( 1 + \sqrt{2} \right)\\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{2}x + y = 4 + 2\sqrt{6} \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 4 + 4\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( 1;4 + 4\sqrt{2} \right)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) $\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3x + 2}{3} + \dfrac{y - 1}{2} = 1 \\\dfrac{4x + y}{4} + \dfrac{y + 1}{2} = - 3 \\\end{matrix} \right.$

c) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{2}x + \dfrac{2}{3}y = 7 \\\dfrac{5}{3}x - \dfrac{3}{2}y = 1 \\\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) + 3(x - y) = 4 \\ (x + y) + 2(x - y) = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x - y = 4 \\ 3x - y = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x = - 1 \\3x - y = 5 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\3x - y = 5 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\y = \dfrac{27}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( - \frac{1}{2};\frac{27}{2} \right)$ .

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3x + 2}{3} + \dfrac{y - 1}{2} = 1 \\\dfrac{4x + y}{4} + \dfrac{y + 1}{2} = - 3 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}6x + 3y = 5 \\4x + 3y = - 14 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x = 19 \\4x + 3y = - 14 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{19}{2} \\y = - 14 \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{19}{2}; - 14 \right)$ .

c) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{2}x + \dfrac{2}{3}y = 7 \\\dfrac{5}{3}x - \dfrac{3}{2}y = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x + 4y = 42 \\10x - 9y = 6 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 6 \\y = 6 \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (6;6)$ .

Dạng 2: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{matrix} \right.$ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt ẩn phụ các biểu thức của hệ phương trình để đưa hệ phương trình về sạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Đặt điều kiện của ẩn phụ.

Bước 3: Sử dụng phương pháp cộng đại số giải hệ phương trình theo ẩn phụ.

Bước 4: Với các giá trị của ẩn phụ vừa tìm được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm của hệ phương trình

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{3}{y + 2} = 2 \\\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{y + 2} = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \neq 1;y \neq - 2$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - 1} = a \\\dfrac{1}{y + 2} = b \\\end{matrix} \right.\ ;(a;b \neq 0)$ hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ \begin{matrix}a + 3b = 2 \\a + 2b = \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + 3b = 2 \\b = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + 3.\left( \dfrac{1}{2} \right) = 2 \\b = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{1}{2} \\b = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{1}{2} \\\dfrac{1}{y + 2} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 1 = 2 \\y + 2 = 2 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 \\y = 0 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3;0)$ .

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 4\sqrt{2x + 1} - 3\sqrt{y - 2} = - 1 \\ 2\sqrt{2x + 1} + 3\sqrt{y - 2} = 13 \\ \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq - \frac{1}{2};y \geq 2$

Đặt $\sqrt{2x + 1} = a;\sqrt{y - 2} = b;(a \geq 0;b \geq 0)$

Hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{matrix} 4a - 3b = - 1 \\ 2a + 3b = 13 \\ \end{matrix} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} 4a - 3b = - 1 \\ 2a + 3b = 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a = 12 \\ 2a + 3b = 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 3 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

$\left\{ \begin{matrix}\sqrt{2x + 1} = 2 \\\sqrt{y - 2} = 3 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 1 = 4 \\y - 2 = 9 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3}{2} \\y = 11 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{3}{2};11 \right)$ .

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\dfrac{7}{x - y + 2} - \dfrac{5}{x + y - 1} = \dfrac{9}{2} \\\dfrac{3}{x - y + 2} + \dfrac{2}{x + y - 1} = 4 \\\end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x + y \neq 3;x - y \neq - 1$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - y + 2} = u \\\dfrac{1}{x + y - 1} = v \\\end{matrix} \right.$ . Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}7u - 5v = \dfrac{9}{2} \\3u + 2v = 4 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}14a - 10b = 9 \\3a + 2b = 4 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}14a - 10b = 9 \\15a + 10b = 20 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u = 1 \\v = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - y + 2} = 1 \\\dfrac{1}{x + y - 1} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - y + 2 = 1 \\x + y - 1 = 2 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = - 1 \\ x + y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x = 2 \\ x + y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = (1;2)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 9x^{2} - 5\sqrt{y} = 26 \\ 7x^{2} + 2\sqrt{y} = 32 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} - \dfrac{4x - 6}{3 - 2y} = - 1 \\\dfrac{2 - 4x}{3y + 1} + \dfrac{3 - 2x}{3 - 2y} = - 3 \\\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} 9x^{2} - 5\sqrt{y} = 26 \\ 7x^{2} + 2\sqrt{y} = 32 \\ \end{matrix} \right.$ (điều kiện xác định b) $y \geq 0$ )

Đặt $\left\{ \begin{matrix} x^{2} = a \\ \sqrt{y} = b \\ \end{matrix} \right.\ ;(a \geq 0;b > 0)$ Hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{matrix} 9a - 5b = 26 \\ 7a + 2b = 32 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 18a - 10b = 48 \\ 35a + 10b = 160 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 53a = 212 \\ 7a + 2b = 32 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} = 4 \\ \sqrt{y} = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $(x;y) = (2;4) = ( - 2;4)$

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} - \dfrac{2(2x - 3)}{3 - 2y} = - 1 \\\dfrac{2(1 - 2x)}{3y + 1} + \dfrac{3 - 2x}{3 - 2y} = - 3 \\\end{matrix} \right.$ (Điều kiện xác định $y \neq - \frac{1}{3};y \neq \frac{3}{2}$ )

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} - \dfrac{2(2x - 3)}{3 - 2y} = - 1 \\- \dfrac{2(2x - 1)}{3y + 1} - \dfrac{2x - 3}{3 - 2y} = - 3 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} - \dfrac{2(2x - 3)}{3 - 2y} = - 1 \\\dfrac{2(2x - 1)}{3y + 1} + \dfrac{2x - 3}{3 - 2y} = 3 \\\end{matrix} \right.$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} = a \\\dfrac{2x - 3}{3 - 2y} = b \\\end{matrix} \right.$ hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{matrix} a - 2b = - 1 \\ 2a + b = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a - 4b = - 2 \\ 2a + b = 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 5b = - 5 \\ 2a + b = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 1 \\ a = 1 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x - 1}{3y + 1} = 1 \\\dfrac{2x - 3}{3 - 2y} = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x - 1 = 3y + 1 \\2x - 3 = 3 - 2y \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 3y = 2 \\ 2x + 2y = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \frac{11}{5} \\ y = \frac{4}{5} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{11}{5};\frac{4}{5} \right)$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 4(x + y) - 3(y + 1) = 7 \\ 2(x + 1) - y = 6 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} 2x(1 - 2y) + 4y(x + 1) = 8 \\ 3x(y + 1) - y(3 + 3x) = - 15 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) - 5y = 3 \\ 4(x - 1) - 2(y + 1) = 4 \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} 2y(x - 2) + x(4 - 2y) = - 4 \\ 5x(y + 3) - y(5x + 4) = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 1 \\\dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x}{x + 2} - \dfrac{3y}{y + 1} = - 4 \\\dfrac{x}{x + 2} + \dfrac{2y}{y + 1} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{15}{x} - \dfrac{7}{y} = 9 \\\dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{y} = 35 \\\end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{4x - y} - \dfrac{10}{2x + 3y} = - 1 \\\dfrac{4}{4x - y} + \dfrac{3}{2x + 3y} = \dfrac{29}{15} \\\end{matrix} \right.$