Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Toán 9

Chuyên đề Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Quy tắc thế

Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước:

Bước 1: Từ một phương trình đã cho (coi như phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình mới (chỉ có một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Chú ý: Nếu trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta thấy xuất hiện phương trình có hệ số của hai ẩn đều bằng 0 thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm.

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Phương pháp giải

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Biểu thị một ẩn (giả sử ẩn x) theo ẩn còn lại (ẩn y) từ một trong các phương trình của hệ.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 2: Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại rồi tìm giá trị của y.

Bước 3: Thay giá trị y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x.

Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{ \begin{matrix} 4x + 5y = 3 \\ x - 3y = 5 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} 7x - 2y = 1 \\ 3x + y = 6 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} 5x + 3y = 1 \\ 2x + y = - 1 \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0 \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} 4x + 5y = 3 \\ x - 3y = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 3y \\ 4x + 5y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 3y \\ 4(5 + 3y) + 5y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 3y \\ 17y = - 17 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 3y \\ y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 3.( - 1) \\ y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = (2; - 1)$ .

b) $\left\{ \begin{matrix} 7x - 2y = 1 \\ 3x + y = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 6 - 3x \\ 7x - 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 6 - 3x \\ 7x - 2(6 - 3x) = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 6 - 3x \\ 13x = 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 3 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = (1;3)$ .

c) $\left\{ \begin{matrix} 5x + 3y = 1 \\ 2x + y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x + 3y = 1 \\ y = - 1 - 2x \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x + 3( - 1 - 2x) = 1 \\ y = - 1 - 2x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 1 - 2x \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = ( - 4;7)$ .

d) $\left\{ \begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0 \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - y\sqrt{5} \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - y\sqrt{5} \\\left( - y\sqrt{5} \right)\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - y\sqrt{5} \\y = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{\sqrt{5}}{2} - \dfrac{5}{2} \\y = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{5}{2};\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \right)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - y = \sqrt{2} \\ x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} - x - \sqrt{2}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - y = \sqrt{2} \\ x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \\ x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \\ x + \left( \sqrt{2} + 1 \right)\left\lbrack \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \right\rbrack = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \\ x + x - \sqrt{2}\left( \sqrt{2} + 1 \right) = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \\ 2x = \sqrt{2} + 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \left( \sqrt{2} - 1 \right)x - \sqrt{2} \\x = \dfrac{\sqrt{2} + 3}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = - \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{\sqrt{2} + 3}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{\sqrt{2} + 3}{2}; - \frac{1}{2} \right)$

b) $\left\{ \begin{matrix} - x - \sqrt{2}y = \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \sqrt{2}y - \sqrt{3} \\ \sqrt{2}x + 2y = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \sqrt{2}y - \sqrt{3} \\ \sqrt{2}\left( - \sqrt{2}y - \sqrt{3} \right) + 2y = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \sqrt{2}y - \sqrt{3} \\ - 2y - \sqrt{6} + 2y = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \sqrt{2}y - \sqrt{3} \\ - \sqrt{6} = - \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$ (luôn đúng)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \\x + y - 1 = 0 \\\end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} \frac{3x}{2} + 2y = 0 \\ \frac{x + y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định $x \neq 0;y \neq 0$

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{3} \\x + y - 1 = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x - 2y = 0 \\x = - y + 1 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3( - y + 1) - 2y = 0 \\x = - y + 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{2}{5} \\y = \dfrac{3}{5} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{2}{5};\frac{3}{5} \right)$

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3x}{2} + 2y = 0 \\\dfrac{x + y}{2} - \dfrac{2y}{3} = \dfrac{5}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x + 4y = 0 \\3(x + y) - 4y = 15 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4 \\y = - 3 \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = (4; - 3)$ .

Dạng 2: Giải hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

Phương pháp

Bước 1: Nhân khai triển, chuyển vế đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bước 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Bước 3: Kết luận nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3(x + 1) - 2(y - 1) = 4 \\ 4(x - 2) + 3(y + 1) = 5 \\ \end{matrix} \right.$ bằng phương pháp thế.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} 3(x + 1) - 2(y - 1) = 4 \\ 4(x - 2) + 3(y + 1) = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x + 3 - 2y + 2 = 4 \\ 4x - 8 + 3y + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x - 2y = - 1 \\4x + 3y = 10 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \\4x + 3y = 10 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \\4x + 3\left( \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \right) = 10 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \\4x + \dfrac{9}{2}x + \dfrac{3}{2} = 10 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} \\\dfrac{17}{2}x = \dfrac{17}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}y = 2 \\x = 1 \\\end{matrix} \right.$

Vậy $(1;2)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 5(x + 2y) - 3(x - y) = 99 \\ x - 3y = 7x - 4y - 17 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} (x + 1)(y - 1) = xy - 1 \\ (x - 3)(y - 3) = xy - 3 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} 5(x + 2y) - 3(x - y) = 99 \\ x - 3y = 7x - 4y - 17 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5x + 10y - 3x + 3y = 99 \\ x - 3y - 7x + 4y = - 17 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + 13y = 99 \\ - 6x + y = - 17 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (4;7)$

b) $\left\{ \begin{matrix} (x + 1)(y - 1) = xy - 1 \\ (x - 3)(y - 3) = xy - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} xy - x + y - 1 = xy - 1 \\ xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x + y = 0 \\ - 3x - 3y = - 12 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (2;2)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x(y - 2) - y(x + 1) = 3 \\ 2x(y + 1) - y(2x + 3) = 1 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} x(2y - 1) - y(2x + 1) = - 4 \\ x(3y + 1) + y( - 3x + 2) = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) $\left\{ \begin{matrix} x(y - 2) - y(x + 1) = 3 \\ 2x(y + 1) - y(2x + 3) = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} xy - 2x - yx - y = 3 \\ 2xy + 2x - 2xy - 3y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - y = 3 \\ 2x - 3y = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ 2x - 3y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ 2x - 6x + 9 = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ - 4x = - 8 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 2x - 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $(2;1)$ không là nghiệm của hệ phương trình.

b) $\left\{ \begin{matrix} x(2y - 1) - y(2x + 1) = - 4 \\ x(3y + 1) + y( - 3x + 2) = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2xy - x - 2xy - y = - 4 \\ 3xy + x - 3xy + 2y = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - x - y = - 4 \\ x + 2y = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - x + 4 \\ x + 2y = 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - x + 4 \\ x + 2( - x + 4) = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - x + 4 \\ - x = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3;1)$ .

Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x + 3}{3y - 2} = 1 \\3(3y + 2) - 4(x + 2y) = 0 \\\end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} (x - 2)(6y + 1) = (2x - 3)(3y + 1) \\ (2x + 1)(12y - 9) = (4x - 1)(6y - 5) \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định $3y - 2 \neq 0 \Leftrightarrow y \neq \frac{2}{3}$

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2x + 3}{3y - 2} = 1 \\3(3y + 2) - 4(x + 2y) = 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x + 3 = 3y - 2 \\9y + 6 - 4x - 8y = 0 \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{23}{10} \\y = \dfrac{16}{5} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = \left( \frac{23}{10};\frac{16}{5} \right)$ .

b) $\left\{ \begin{matrix} (x - 2)(6y + 1) = (2x - 3)(3y + 1) \\ (2x + 1)(12y - 9) = (4x - 1)(6y - 5) \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6xy + x - 12y = 6xy + 2x - 9y - 3 \\ 24xy - 18x + 12y - 9 = 24xy - 20x - 6y + 5 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = ( - 2;1)$ .

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{matrix} \right.$ bằng phương pháp đặt ẩn phụ:

Bước 1: Đặt điều kiện.

Bước 2: Đặt ẩn phụ cho các biểu thức của hệ phương trình để đưa hệ phương trình về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Chú ý điều kiện của ẩn phụ.

Bước 3: Sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình theo ẩn phụ.

Bước 4: Với các giá trị của ẩn phụ tìm được thay vào biểu thức đặt ẩn phụ để xác định nghiệm của phương trình.

Bước 5: Kết luận.

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{y + 2} = - 1 \\\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2}{y + 2} = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \neq 1;y \neq - 2$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x - 1} = a \\\dfrac{1}{y + 2} = b \\\end{matrix} \right.\ ;(a;b \neq 0)$ hệ phương trình đã cho trở thành:

$\left\{ \begin{matrix}3a - 4b = - 1 \\a + 2b = \dfrac{4}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3a - 4b = - 1 \\a = \dfrac{4}{3} - 2b \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3\left( \dfrac{4}{3} - 2b \right) - 4b = - 1 \\a = \dfrac{4}{3} - 2b \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 10b + 4 = - 1 \\a = \dfrac{4}{3} - 2b \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}b = \dfrac{1}{2} \\a = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x- 1 = 3 \Rightarrow x = 4(tm) \\b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{y + 2} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow y+ 2 = 2 \Rightarrow y = 0(tm) \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (4;0)$ .

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2\sqrt{x - 2} - 3\sqrt{y + 1} = - 4 \\ 3\sqrt{x - 2} + 2\sqrt{y + 1} = 7 \\ \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 2;y \geq - 1$

Đặt $\sqrt{x - 2} = a;\sqrt{y + 1} = b;(a \geq 0;b \geq 0)$

Hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{matrix} 2a - 3b = - 4 \\ 3a + 2b = 7 \\ \end{matrix} \right.$

Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}2a - 3b = - 4 \\3a + 2b = 7 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - 3b = - 4 \\b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2a - 3\left( \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \right) = - 4 \\b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{13}{2}a - \dfrac{21}{2} = - 4 \\b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{13}{2}a = \dfrac{13}{2} \\b = \dfrac{- 3}{2}a + \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = 1 \\b = 2 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Với $a = 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} = 1 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3(tm)$

$b = 2 \Rightarrow \sqrt{y + 1} = 4 \Rightarrow y + 1 = 4 \Rightarrow y = 3(tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (3;3)$ .

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\dfrac{5}{x + y - 3} - \dfrac{2}{x - y + 1} = 8 \\\dfrac{3}{x + y - 3} + \dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x + y \neq 3;x - y \neq - 1$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x + y - 3} = u \\\dfrac{1}{x - y + 1} = v \\\end{matrix} \right.$ . Khi đó hệ phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}5u - 2v = 8 \\3u + v = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}u = 1 \\v = \dfrac{- 3}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x + y - 3} = 1 \\\dfrac{1}{x - y + 1} = \dfrac{- 3}{2} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x + y - 3 = 1 \\x - y + 1 = - \dfrac{2}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1\dfrac{1}{6} \\y = 2\dfrac{5}{6} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = \left( 1\frac{1}{6};2\frac{5}{6} \right)$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 8x - 2y = 10 \\ - 4x + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} 3x - 4y + 2 = 0 \\ 5x + 2y = 14 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} x - y\sqrt{2} = 0 \\ x\sqrt{2} + 3y = 5\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix}x\sqrt{5} + y = 6 + \sqrt{5} \\\dfrac{3}{\sqrt{5}}x + \left( 1 - \sqrt{5} \right)y = - 1 \\\end{matrix} \right.$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) $\left\{ \begin{matrix} 3x + y = 5 \\ 4x + 2y = 8 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} - 2x + 3y = 4 \\ 3x + 4y = 11 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 2(x + 1) + 3(y - 2) = 9 \\ 3(x - 1) + y = 6 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} x(2y + 1) - y(2x - 2) = 7 \\ x(2 - 2y) + y(2x + 1) = 8 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} 2(x + y) - 3(y + 1) = - 7 \\ 3(x + 1) + 2y = 6 \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} 3y(x - 2) - x(3y + 1) = 5 \\ 3x(2 - y) + y(3x + 2) = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 4: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x - 3y}{4} - \dfrac{x + y - 1}{5} = 2x - y - 1 \\\dfrac{4x + y - 2}{4} = \dfrac{2x - y - 3}{6} - \dfrac{x - y - 1}{3} \\\end{matrix} \right.$ .

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} - 2\sqrt{3}x + 3\sqrt{5}y = - 21 \\ 4x - 2\sqrt{3}y = 2\sqrt{3}\left( 2 + \sqrt{5} \right) \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = (x + 1)^{2} + 1 + (y + 1)^{2} \\ (x - y - 3)^{2} = (x - y - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{12} \\\dfrac{8}{x} + \dfrac{15}{y} = 1 \\\end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{2}{x + 2y} + \dfrac{1}{y + 2x} = 3 \\\dfrac{4}{x + 2y} - \dfrac{3}{y + 2x} = 1 \\\end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{4}{x + y - 1} - \dfrac{5}{2x - y + 3} = \dfrac{5}{2} \\\dfrac{3}{x + y - 1} + \dfrac{1}{2x - y + 3} = \dfrac{7}{5} \\\end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{5x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{10} \\\dfrac{3}{4x} + \dfrac{3}{4y} = \dfrac{1}{12} \\\end{matrix} \right.$