Giải phương trình chứa căn

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Giải phương trình chứa căn 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải phương trình:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Rút gọn biểu thức và tìm x.

Bước 3: Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Giải phương trình:

a) $\sqrt{x - 1} - \frac{1}{4}\sqrt{16x - 16} + \sqrt{4x - 4} = 2$	b) $\sqrt{4x - 20} + 2\sqrt{x - 5} - \frac{2}{3}\sqrt{9x - 45} = 4$
c) $32\sqrt{\frac{x - 1}{64}} - \frac{3}{2}\sqrt{9x - 9} + \frac{5}{2}\sqrt{x - 1} = 10$	d) $\sqrt{25x - 25} - \frac{11}{4} = \frac{15}{4}\sqrt{\frac{x - 1}{9}} + \sqrt{x - 1}$
e) $3\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{16x^{2} + 32} = 4 + \sqrt{25x^{2} + 50}$	f) $\sqrt{9x - 18} + 8 + 14\sqrt{\frac{x - 2}{49}} = \sqrt{49x - 98}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x - 1} - \frac{1}{4}\sqrt{16x - 16} + \sqrt{4x - 4} = 2$

Điều kiện xác định: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} - \frac{1}{4}\sqrt{16(x - 1)} + \sqrt{4(x - 1)} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} + 2\sqrt{x - 1} = 2$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

b) $\sqrt{4x - 20} + 2\sqrt{x - 5} - \frac{2}{3}\sqrt{9x - 45} = 4$

Điều kiện xác định: $x - 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq 5$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{4(x - 5)} + 2\sqrt{x - 5} - \frac{2}{3}\sqrt{9(x - 5)} = 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x - 5} + 2\sqrt{x - 5} - 2\sqrt{x - 5} = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 5} = 2 \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 9$ .

c) $32\sqrt{\frac{x - 1}{64}} - \frac{3}{2}\sqrt{9x - 9} + \frac{5}{2}\sqrt{x - 1} = 10$

Điều kiện xác định: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

$PT \Leftrightarrow 4\sqrt{x - 1} - \frac{9}{2}\sqrt{x - 1} + \frac{5}{2}\sqrt{x - 1} = 10$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x - 1} = 10 \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 5$

$\Leftrightarrow x - 1 = 25 \Leftrightarrow x = 26(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 26$ .

d) $\sqrt{25x - 25} - \frac{11}{4} = \frac{15}{4}\sqrt{\frac{x - 1}{9}} + \sqrt{x - 1}$

Điều kiện xác định: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

$PT \Leftrightarrow 5\sqrt{x - 1} - \frac{11}{4} = \frac{5}{4}\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 1}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt{x - 1} - \frac{5}{4}\sqrt{x - 1} - \sqrt{x - 1} = \frac{11}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{11}{4}\sqrt{x - 1} = \frac{11}{4} \Leftrightarrow \sqrt{x - 1} = 1$

$\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

e) $3\sqrt{x^{2} + 2} + \sqrt{16x^{2} + 32} = 4 + \sqrt{25x^{2} + 50}$

Điều kiện xác định: $x\mathbb{\in R}$

$PT \Leftrightarrow 3\sqrt{x^{2} + 2} + 4\sqrt{x^{2} + 2} = 4 + 5\sqrt{x^{2} + 2}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x^{2} + 2} + 4\sqrt{x^{2} + 2} - 5\sqrt{x^{2} + 2} = 4$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x^{2} + 2} = 4 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2} = 2$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2 = 4 \Leftrightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}(tm)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \pm \sqrt{2}$

f) $\sqrt{9x - 18} + 8 + 14\sqrt{\frac{x - 2}{49}} = \sqrt{49x - 98}$

Điều kiện xác định: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$

$PT \Leftrightarrow 3\sqrt{x - 2} + 8 + 2\sqrt{x - 2} = 7\sqrt{x - 2}$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x - 2} + 2\sqrt{x - 2} - 7\sqrt{x - 2} = - 8$

$\Leftrightarrow - 2\sqrt{x - 2} = - 8 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = 4$

$\Leftrightarrow x - 2 = 16 \Leftrightarrow x = 18(tm)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 18$ .

$\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {\text{A}} \geqslant {\text{0}} \hfill \\ B \geqslant {\text{0}} \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }} \hfill \\ A = B \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} - 4x + 3} + 1 = x$

b) $\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} = 5$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} - 4x + 3} + 1 = x$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 4x + 3} = x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x^{2} - 4x + 3 = (x - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ - 2x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x = 1(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $x = 1$ là nghiệm của phương trình.

b) $\sqrt{x + 4\sqrt{x - 4}} = 5$

$\Leftrightarrow x + 4\sqrt{x - 4} = 25$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x - 4} = 25 - x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 25 \\ 16(x - 4) = 625 - 50x + x^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 25 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 13 \\ x = 53 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 13$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 13$ .

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Tìm nghiệm của các phương trình sau đây:

a) $\sqrt{x^{2} - 3x + 5} - 3x = 7 - x^{2}$	b) $x^{2} + 5x + 4 = 5\sqrt{x^{2} + 5x + 28}$
c) $\sqrt{2x^{2} + 3x + 9} + 3x + 2x^{2} = 33$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} - 3x + 5} - 3x = 7 - x^{2}$

Điều kiện các định $x^{2} - 3x + 5 \geq 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 3x + 5} + x^{2} - 3x + 5 - 12 = 0$

Đặt $\sqrt{x^{2} - 3x + 5} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành:

$t + t^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow (t - 3)(t + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t - 3 = 0 \\ t + 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 4(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Thay $t = 3$ ta được:

$\sqrt{x^{2} - 3x + 5} = 3$

$\Leftrightarrow x^{2} - 3x + 5 = 9 \Leftrightarrow (x - 4)(x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 4 = 0 \\ x + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 4;x = - 1$ .

b) $x^{2} + 5x + 4 = 5\sqrt{x^{2} + 5x + 28}$

Điều kiện xác định: $x^{2} + 5x + 28 \geq 0$

Đặt $\sqrt{x^{2} + 5x + 28} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành:

$t^{2} - 5t - 24 = 0 \Leftrightarrow (t - 8)(t + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t - 8 = 0 \\ t + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 8(tm) \\ t = - 3(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 8$ ta có:

$\sqrt{x^{2} + 5x + 28} = 8 \Leftrightarrow x^{2} + 5x + 28 = 64$

$\Leftrightarrow (x - 4)(x + 9) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 4 = 0 \\ x + 9 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \\ x = - 9 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 4;x = - 9$ .

c) $\sqrt{2x^{2} + 3x + 9} + 3x + 2x^{2} = 33$

Điều kiện xác định: $2x^{2} + 3x + 9 \geq 0$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{2x^{2} + 3x + 9} + 2x^{2} + 3x + 9 - 42 = 0$

Đặt $\sqrt{2x^{2} + 3x + 9} = t;(t \geq 0)$ phương trình trở thành:

$t + t^{2} - 42 = 0 \Leftrightarrow (t - 6)(t + 7) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t - 6 = 0 \\ t + 7 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 6(tm) \\ t = - 7(L) \\ \end{matrix} \right.$