Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Chuyên đề Góc của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Góc $\widehat{BEC}$ có đỉnh $E$ nằm bên trong đường tròn $(O)$ . Ta nói góc $\widehat{BEC}$ là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

Người ta quy ước: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung, một cung nằm bên trong góc, cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của nó.

Theo đó, trên hình vẽ ta có góc $\widehat{BEC}$ chắn cung $\widehat{BnC}$ và cung $\widehat{DmA}$ .

Định lí

Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

$\widehat{BEC} = \frac{sd\widehat{BnC} + sd\widehat{AmD}}{2}$

2. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn là góc có hai đặc điểm sau:

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Đỉnh nằm ngoài đường tròn.
Các cạnh đều có 1 hoặc 2 điểm chung với đường tròn.
Mỗi góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có hai cung bị chắn.
Hai cung đó nằm bên trong góc.
Góc $\widehat{BEC}$ ở hình bên có hai cạnh cắt đường tròn, hai cung bị chắn là hai cung nhỏ $\widehat{AD}$ và $\widehat{BC}$ .

Định lí

Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

$\widehat{BEC} = \frac{sd\widehat{BC} - sd\widehat{AD}}{2}$

Dạng 1: Chứng minh hai góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và dây $AB;AC$ bằng nhau. Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $M$ . Gọi $S$ là giao điểm của $AM$ và $BC$ . Chứng minh $\widehat{CSA} = \widehat{MCA}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Ta có: $\widehat{ASC}$ là góc có đỉnh ở bên ngoài $(O)$ nên $\widehat{ASC} = \frac{sd\widehat{AB} - sd\widehat{MC}}{2}(*)$

Ta có: $\widehat{MCA}$ là góc nội tiếp chắn cung $AM$ nên $\widehat{MCA} = \frac{sd\widehat{AM}}{2}(**)$

Theo giả thiết ta có: $AB = AC \Rightarrow \widehat{AB} = \widehat{AC}$ . Thay vào (*) ta có:

$\widehat{ASC} = \frac{sd\widehat{AB} - sd\widehat{MC}}{2} = \frac{1}{2}sd\widehat{AM}$

Vậy $\widehat{ASC} = \widehat{MCA}$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC;\widehat{A} = 90^{0}$ , đường kính $AB$ cắt $BC$ ở $D$ . Tiếp tuyến tại $D$ cắt $AC$ tại $P$ . Chứng minh $PD = PC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Góc $\widehat{C}$ có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

$\widehat{C} = \frac{sd\widehat{AmB} - sd\widehat{AD}}{2} = \frac{sd\widehat{ADB} - sd\widehat{AD}}{2}$

Do đó $\widehat{C} = \frac{sd\widehat{DB}}{2}(1)$

Ta lại có: $\widehat{CDP} = \widehat{BDx}(2)$

$\widehat{BDx} = \frac{sd\widehat{BD}}{2}(3)$

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat{C} = \widehat{CDP}$ hay tam giác $CPD$ cân tại $P$ , do đó $PD = PC$ .

Ví dụ: Cho đường tròn tâm $(O;2cm)$ , các bán kính $OA;OB$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm chính giữa cung $AB$ . Gọi $C$ là giao điểm của $AM$ và $OB$ , $K$ là hình chiếu của $M$ trên $OA$ . Tính diện tích hình thang $OKMC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Vẽ đường kính $BOD$ .

Vì $M$ là điểm chính giữa cung $\widehat{AB}$ nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = 45^{0}$

Mặt khác $OAM$ có $OM = OA$

Suy ra $\Delta OAM$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OAM} = \frac{1}{2}\left( 180^{0} - \widehat{AOM} \right) = 67^{0}30'$

$\Rightarrow \widehat{CAB} = 67^{0}30' - 45^{0} = 22^{0}30'$

$\Rightarrow \widehat{C} = \widehat{ABO} - \widehat{BAC} = 22^{0}30'$

Mặt khác $\widehat{MAB} = 22^{0}30' \Rightarrow BC = BA = 2\sqrt{2}(cm)$

$\Rightarrow OC = OB + BC = 2 + 2\sqrt{2}(cm)$

Tam giác $OKM$ vuông cân nên $OK = AM = \frac{OM}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$S_{OKMC} = 3 + \sqrt{2}\left( cm^{2} \right)$

Ví dụ: Cho bốn điểm $A;D;C;B$ theo thứ tự đó nằm trên đường tròn $O$ đường kính $AB = 2R$ (hai điểm $C;D$ nằm về cùng một phía so với $AB$ ). Gọi $E;F$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A;B$ trên đường thẳng $CD$ . Tia $AD$ cắt tia $BC$ tại $I$ . Biết rằng $AE + BF = R\sqrt{3}$ .

a) Tính số đo $\widehat{AIB}$ .

b) Trên cung nhỏ $CD$ lấy điểm $K$ . Gọi giao điểm của $KA;KB$ với $DC$ lần lượt là $M$ và $N$ . Tìm giá trị lớn nhất của độ dài $MN$ khi $K$ di động trên cung nhỏ $CD$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

a) Kẻ $OH\bot CD;(H \in CD)$ ta thấy $OH$ là đường trung bình của hình thang $ABFE$ nên $OH = \frac{1}{2}(AE + BF) = \frac{R\sqrt{3}}{2}$

Từ đó tam giác $OCD$ đều $\Rightarrow \widehat{COD} = sd\widehat{DKC} = 60^{0}$

Ta thấy $\widehat{AIB}$ có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ nên

$\widehat{AIB} = \frac{1}{2}\left( sd\widehat{AmB} - sd\widehat{DKC} \right) = \frac{1}{2}\left( 180^{0} - 60^{0} \right) = 60^{0}$

b) Ta thấy $\Delta AEM\sim\Delta NFB \Rightarrow EM.NF = AE.BF$ (không đổi) do đó $MN$ lớn nhất khi và chỉ khi $ME + NF$ nhỏ nhất.

Theo chúng minh trên $ME.NF$ không đổi nên $ME + NF$ nhỏ nhất khi $ME = NF = \sqrt{AE.BF}$ . Vậy giá trị lớn nhất của $MN$ bằng $EF - 2\sqrt{AE.BF}$ .

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và $(O')$ ở ngoài nhau. Đường thẳng $OO'$ cắt $(O)$ và $(O')$ lần lượt tại các điểm $A;B;C;D$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $EF$ của hai đường tròn $\left( E \neq (O);F \neq (O') \right)$ . Gọi $M$ là giao điểm của $AE$ và $DF$ , $N$ là giao điểm của $EB$ và $FC$ . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $MENF$ là hình chữ nhật.

b) $MN\bot AD$ .

c) $ME.MA = MF.MD$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

a) Ta có: $\widehat{AEB} = \widehat{CFD} = 90^{0}$

Vì $EF$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ nên $EO\bot EF;O'F\bot EF \Rightarrow OE//O'F$

$\Rightarrow \widehat{EOB} = \widehat{FO'D}$ (hai góc đồng vị)

$\widehat{EAO} = \widehat{FCO'}$ do đó $MA//FN$ .

Mặt khác $EB\bot MA \Rightarrow FB\bot FN$ hay $\widehat{FNB} = 90^{0}$

Tứ giác $MENF$ có $\widehat{E} = \widehat{N} = \widehat{F} = 90^{0}$ nên là hình chữ nhật.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $EF$ , $H$ là giao điểm của $MN$ và $AD$ .

Vì tứ giác $MENF$ là hình chữ nhật nên $\widehat{IFN} = \widehat{INF}$ .

Mặt khác trong đường tròn $(O')$ có $\widehat{FDO} = \widehat{IFN} = \frac{1}{2}sd\widehat{FC}$

Do đó $\widehat{FDC} = \widehat{HNC} \Rightarrow \Delta FDC = \Delta HNC(g - g)$

$\Rightarrow \widehat{NHC} = \widehat{FEN} = 90^{0}$ hay $MN\bot AD$ .

c) Ta có: $\widehat{MFE} = \widehat{FNE}$ (do $MENF$ là hình chữ nhật)

Trong đường tròn $(O)$ có $\widehat{FEN} = \widehat{EAB} = \frac{1}{2}sd\widehat{EB}$

Do đó $\widehat{MFE} = \widehat{EAB} \Rightarrow \Delta MEF = \Delta MDA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{ME}{MD} = \frac{MF}{MA} \Rightarrow ME.MA = MF.MD$ .

Ví dụ: Trên đường tròn $(O)$ cho các điểm $A;;B;C;D$ theo thứ tự đó. Gọi $A_{1};B_{1};C_{1};D_{1}$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung $AB;BC;CD;DA$ . Chứng minh đường thẳng $A_{1}C_{1}$ và $B_{1}D_{1}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

Gọi $I = A_{1}C_{1} \cap B_{1}D_{1}$ ; $\alpha;\beta;\gamma;\delta$ theo thứ tự là số đo của các cung $\widehat{AB};\widehat{BC};\widehat{CD};\widehat{DA}$ . Khi đó $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^{0}$

Xét $\widehat{A_{1}IB_{1}}$ là góc có đỉnh trong đường tròn $(O)$ ta có:

$\widehat{A_{1}IB_{1}} = \frac{1}{2}\left( sd\widehat{A_{1}BB_{1}} + sd\widehat{C_{1}DD_{1}} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( sd\widehat{A_{1}B} + sd\widehat{BB_{1}} + sd\widehat{C_{1}D} + sd\widehat{DD_{1}} \right)$

$= \frac{1}{4}(\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 90^{0}$

Hay $A_{1}C_{1}\bot B_{1}D_{1}$ .

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức về góc hoặc về đoạn thẳng

Ví dụ: Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ . Vẽ phân giác trong $AD$ của góc $A$ ; $\left( D \neq (O) \right)$ . Lấy điểm $E$ thuộc cung nhỏ $AC$ . Nối $BE$ cắt $AD$ và $AC$ lần lượt tại $I;K$ , nối $DE$ cắt $AC$ tại $J$ . Chứng minh rằng:

a) $\widehat{BID} = \widehat{AJE}$

b) $AI.JK = IK.EJ$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc có đỉnh bên trong đường tròn. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn Toán 9

a) Ta có: $\widehat{BID}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn $(O)$ chắn hai cung $BD$ và $AE$ .

$\Rightarrow \widehat{BID} = \frac{1}{2}\left( sd\widehat{BD} + sd\widehat{AE} \right)$

$\widehat{AJE}$ là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn $(O)$ chắn hai cung $CD$ và $AE$ . $\Rightarrow \widehat{AJE} = \frac{1}{2}\left( sd\widehat{CD} + sd\widehat{AE} \right)$

Mà $AD$ là phân giác của góc $A$ nên $\widehat{BD} = \widehat{CD} \Rightarrow \widehat{BID} = \widehat{AJE}$

b) Xét tam giác $AIK$ và $EJK$ ta có:

$\widehat{AKI} = \widehat{EKJ}$ (đối đỉnh)

Lại có $\widehat{IAK} = \widehat{KEJ}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $BD;CB$ )

$\Rightarrow \Delta AIK\sim\Delta EJK(g - g)$

$\Rightarrow \frac{AI}{EJ} = \frac{IK}{JK} \Rightarrow AI.JK = IK.EJ$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB;AC$ . Gọi $M,N$ lần lượt là điểm chính giữa cung $\widehat{AB};\widehat{AC}$ . Đường thẳng $MN$ cắt dây $AB$ tại $E$ và cắt dây $AC$ tại $H$ . Chứng minh tam giác $AEH$ cân.

Bài 2: Cho ba điểm $A;B;C$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho tiếp tuyến tại $A$ cắt tia $BC$ tại $D$ . Tia phân giác của góc $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn tại $M$ , tia phân giác của góc $\widehat{D}$ cắt $AM$ tại $I$ . Chứng minh $DI\bot AM$ .

Bài 3: Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung $AC;CD;DB$ sao cho $sd\widehat{AC} = sd\widehat{CD} = sd\widehat{DB} = 60^{0}$ . Hai đường thẳng $AC;CD$ cắt nhau tại $E$ . Hai tiếp tuyến của đường tròn tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $T$ . Chứng minh rằng:

a) $\widehat{AEB} = \widehat{BTC}$ .

b) $CD$ là tia phân giác của $\widehat{BCT}$ .

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó, $M,N,P$ theo thứ tự là tâm các đường tròn bàng tiếp trong các góc $A;B;C$ . Gọi $K$ là điểm đối xứng với $I$ qua $O$ . Chứng minh $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ .

Bài 5: Qua điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai cát tuyến $ABC$ và $AMN$ sao cho hai đường thẳng $BN$ và $CM$ cắt nhau tại một điểm $S$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh $\widehat{A} + \widehat{BSM} = 2\widehat{CMN}$ .

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Biết $P;Q;R$ theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn $BC;CA;AB$ bởi các góc $A;B;C$ .

a) Chứng minh $AP\bot QR$ .

b) $AP$ cắt $CR$ tại $I$ . Chứng minh tam giác $CPI$ cân.

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , các điểm $M,N,P$ lần lượt là điểm chính giữa của các cung $AB;BC;CA$ . Gọi $D$ là giao điểm của $MN$ và $AB$ , $E$ là giao điểm của $PN$ và $AC$ . Chứng minh $DE//BC$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ