Góc nội tiếp Toán 9

Chuyên đề Góc của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Góc nội tiếp Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Góc nội tiếp Toán 9

Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.

Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Hệ quả

Trong một đường tròn

Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

Góc nội tiếp Toán 9

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

Góc nội tiếp Toán 9

Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng $90^{0}$ ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Góc nội tiếp Toán 9

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. Còn gọi là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Góc nội tiếp Toán 9

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau, tam giác đồng dạng

Ví dụ: Cho tam giác nhọn $ABC$ có $\widehat{B} = 45^{0}$ . Vẽ đường tròn đường kính $AC$ có tâm $O$ , đường tròn này cắt $BA;BC$ lần lượt tại $D$ và $E$ .

a) Chứng minh $AE = EB$ .

b) Gọi $H$ là giao điểm của $CD$ và $AE$ . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn $HE$ đi qua trung điểm $I$ của $BH$ .

c) Chứng minh $BH\bot AC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

a) Ta có: $\widehat{AEC} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{AEB} = 90^{0}$

Theo giả thiết $\widehat{B} = 45^{0}$

Suy ra tam giác $AEB$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow AE = EB$

b) Gọi $K$ là trung điểm của $HE$

Xét tam giác $BHE$ có $I$ là trung điểm của $HB$ ; $K$ là trung điểm của $HE$

Suy ra $IK$ là đường trung bình của tam giác $HBE$

$\Rightarrow IK//BE$

Mặt khác $\widehat{AEB} = 90^{0}$ (chứng minh trên) $\Rightarrow BE\bot HE \equiv E$

$\Rightarrow IK\bot HE \equiv K$

Vậy $IK$ là đường trung trực của $HE$ .

c) Theo chứng minh trên ta có: $\widehat{AEC} = 90^{0} \Rightarrow AE\bot BC$

Suy ra $AE$ là đường cao hạ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ (*)

Ta có: $\widehat{ADC} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow CD\bot AB$

Suy ra $CD$ là đường cao hạ từ đỉnh $C$ của tam giác $ABC$ (**)

Từ (*) và (**) và $H$ là giao điểm của $CD$ và $AE$

Suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BH\bot AC$ (điều phải chứng minh)

Ví dụ: Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . Kẻ tiếp tuyến $Bx$ và lấy hai điểm $C;D$ thuộc nửa đường tròn. Các tia $AC;AD$ cắt $Bx$ lần lượt tại $E;F$ ( $F$ nằm giữa hai điểm $B;E$ ). Chứng minh rằng:

a) Tích $AC.AE$ không đổi.

b) $\widehat{ABD} = \widehat{DFB}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

a) Ta có: $\widehat{ACB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BC\bot AE$

$\widehat{ABE} = 90^{0}$ (vì $Bx$ là tiếp tuyến)

Suy ra tam giác $ABE$ vuông tại $B$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào tam giác $ABE$ ta có:

$AC.AE = AB^{2}$

Mà $AB$ là đường kính nên $AB = 2R$ không đổi.

Do đó tích $AC.AE$ không đổi.

b) Xét tam giác $ADB$ có $\widehat{ADB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{ABD} + \widehat{BAD} = 90^{0}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác) (1)

Xét tam giác $ABF$ có $\widehat{ABF} = 90^{0}$ ( $BF$ là tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat{AFB} + \widehat{BAF} = 90^{0}$ (định lí tổng ba góc của một tam giác) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{DFB}$ (cùng phụ với $\widehat{BAD}$ )

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác $ABC;(AB = AC)$ . Cạnh $AB;BC;CA$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại các điểm $D;E;F$ và $BF$ cắt $(O)$ tại $I$ , $DI$ cắt $BC$ tại $M$ . Chứng minh:

a) Tam giác $DEF$ có ba góc nhọn.

b) $DF//BC$ .

c) $\frac{BD}{CB} = \frac{BM}{CF}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

a) Vì $AD;AF$ là tiếp tuyến chung của đường tròn $(O)$ nên $\widehat{ADO} = \widehat{AFO} = 90^{0}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{AOD} < 90^{0} \\ \widehat{AOF} < 90^{0} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \widehat{DOF} < 180^{0} \Rightarrow \widehat{DEF} < 90^{0}$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{DFE} < 90^{0};\widehat{FDE} < 90^{0}$

Vậy tam giác $DEF$ có ba góc nhọn.

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$AD = AF$

Mặt khác $AB = AC$ (giả thiết)

$\Rightarrow \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} \Rightarrow DF//BC$ .

c) Vì $DF//BC$ (chứng minh trên) nên $\widehat{DFB} = \widehat{FBC}$ (so le trong)

Mặt khác $\widehat{DFB} = \widehat{BDI}$ (cùng chắn cung $DI$ )

$\Rightarrow \widehat{BDI} = \widehat{FBC}$

Xét tam giác $BDI$ và tam giác $CFB$ có:

$\widehat{DBM} = \widehat{BCF}$ (tam giác $ABC$ cân)

$\widehat{BDM} = \widehat{FBC}$ (chứng minh trên)

Do đó $\Delta BDM\sim\Delta CBF(g - g) \Rightarrow \frac{BD}{CB} = \frac{BM}{CF}$ (điều phải chứng minh)

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$ . Vẽ đường kính $AF$ .

a) Tứ giác $BFCH$ là hình gì? Vì sao?

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh $OM = \frac{1}{2}AH$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

a) Ta có: $\widehat{ABF} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow AB\bot BF$

Mặt khác $AB\bot CH \Rightarrow BF//CH(1)$

Chứng minh tương tự ta được $BH//CF(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $BFCH$ là hình bình hành.

b) Theo bài ra ta có: $M$ là trung điểm của $BC$

Mà $BFCH$ là hình bình hành (chứng minh trên) nên $M$ là trung điểm của $HF$

$\Rightarrow H,M,F$ thẳng hàng.

Xét tam giác $AHF$ có $M$ là trung điểm của $HF$ ; $O$ là trung điểm của $AF$

Suy ra $OM$ là đường trung bình của tam giác $AHF$

$\Rightarrow OM = \frac{1}{2}AH$ (điều phải chứng minh)

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ , đường kính $MN$ và một điểm $P$ thuộc đường tròn. Gọi $Q$ là điểm đối xứng với $M$ qua $P$ . Tam giác $MNQ$ là tam giác gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

Vì $\widehat{MPN}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{MPN} = 90^{0}$

Theo giả thiết ta có: $M;Q$ đối xứng với nhau qua $P$ nên $PM = PQ$

Xét tam giác $MNQ$ có $NP$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác $MNQ$ cân tại $N$ .

Ví dụ: Cho nửa đường tròn $(O;R)$ , đường kính $AB$ và điểm $C$ nằm ngoài nửa đường tròn. Các đoạn $CA;CB$ cắt nửa đường tròn lần lượt tại $M$ và $N$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AN$ và $BM$ .

a) Chứng minh rằng $CH\bot AB$ .

b) Gọi $I$ là trung điểm của $CH$ . Chứng minh $MI$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc nội tiếp Toán 9

a) Ta có: $\widehat{AMB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BM\bot AC$

$\widehat{ANB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow AN\bot BC$

Mặt khác $AN \cap MB \equiv H$

Suy ra $H$ là trực tâm tam giác $ABC \Rightarrow CH\bot AB$

b) Gọi $T$ là giao điểm của $CH$ và $AB$ .

Xét tam giác $HMC$ có $\widehat{HMC} = \widehat{AMB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow MI = MC = \frac{1}{2}CH$ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

Suy ra tam giác $MIC$ cân tại $I \Rightarrow \widehat{ICM} = \widehat{IMC}$

Xét tam giác $OAM$ có $OM = OA$ suy ra $\Delta OAM$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{OMA} = \widehat{OAM}$ mặt khác $\widehat{CAB} + \widehat{ACT} = 90^{0}$ (tam giác $ACT$ vuông tại $T$ )

$\Rightarrow \widehat{CMI} + \widehat{AMO} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{IMO} = 180^{0} - 90^{0} = 90^{0}$

$\Rightarrow MI$ là tiếp tuyến của $(O)$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ và hai đường kính $AB;CD$ vuông góc với nhau. Lấy một điểm $M$ trên cung nhỏ $AC$ rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $M$ . Tiếp tuyến này cắt đường thẳng $CD$ tại $S$ . Chứng minh rằng $\widehat{MSD} = 2\widehat{MBA}$ .

Bài 2: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và $S$ là một điểm nằm ngoài đường tròn. Các đường thẳng $SA;SB$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $M;N$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AN$ và $BM$ . Chứng minh rằng:

a) $SH\bot BA$

b) $HM.HB = HN.HA$

Bài 3: Cho tam giác $ABC;(AB = AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Phân giác trong góc $B;C$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $E$ và $D$ .

a) Chứng minh rằng $\Delta ACE = \Delta ABD$ .

b) Gọi $I$ là giao điểm của $CD$ và $BE$ . Tứ giác $ADIE$ là hình gì? Vì sao?

Bài 4: Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Vẽ cát tuyến $CAD$ vuông góc với $AB$ ; $\left( C \in (O);D \in (O') \right)$ . Tia $CB$ cắt $(O')$ tại $E$ , tia $BD$ cắt $(O)$ tại $F$ . Chứng minh rằng $CD^{2} = CB.CE + BD.CF$ .

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Trên cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O)$ , lấy điểm $M$ . Gọi $D;E;F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $BC;CA;AB$ . Chứng minh rằng các điểm $D;E;F$ thẳng hàng.

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp $(O)$ . Từ điểm $M$ nằm chính giữa cung $AB$ vẽ dây cung $MN$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $S$ . Chứng minh rằng $SM = SC;SN = SA$ .

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} < 90^{0}$ . Vẽ đường tròn đường kính $AB$ cắt $BC$ tại $D$ , cắt $AC$ tại $E$ . Chứng minh rằng:

a) $\Delta DBE$ cân

b) $\widehat{CBE} = \frac{1}{2}\widehat{BAC}$

Bài 8: Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $M$ nằm bên trong đường tròn. Qua $M$ kẻ hai dây cung $AB;CD$ vuông góc với nhau ( $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ ). Vẽ đường kính $DE$ . Chứng minh rằng: