Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

Chuyên đề Góc của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định nghĩa

Đường thẳng $xy$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ . $AB$ là dây cung.
Góc $BAx$ được gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

Định lí

Số của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. Ta có: $\widehat{BAx} = \frac{1}{2}sd\widehat{AB}$ .

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. $\widehat{BAx} = \widehat{BCA}$ .

Định lí đảo

Nếu $\widehat{BAx}$ với đỉnh $A$ nằm trên đường tròn. Một cạnh chứa dây cung $AB$ có số đo bằng nửa số đo của cung $AB$ căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì $Ax$ là một tia tiếp tuyến của đường tròn.

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các hằng đẳng thức hoặc các tam giác đồng dạng.

Ví dụ: Cho đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ . Lấy điểm $P$ khác $A$ và $B$ trên đường tròn. Gọi $T$ là giao điểm của $AP$ với tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn. Chứng minh $\widehat{APO} = \widehat{PBT}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

Ta có: $\widehat{PBT} = \frac{1}{2}sd\widehat{PB};\widehat{PAB} = \frac{1}{2}sd\widehat{PB}$

$\Rightarrow \widehat{PBT} = \widehat{PAB}$

$\Delta OAP$ cân tại $O$ nên $\widehat{APO} = \widehat{PAB}$

Vậy $\widehat{PBT} = \widehat{APO}$ .

Ví dụ: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Kẻ tiếp tuyến từ $A$ đối với đường tròn $(O')$ cắt $(O)$ tại $C$ và đối với đường tròn $(O)$ cắt $(O')$ tại $D$ . Chứng minh $\widehat{CBA} = \widehat{DBA}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

Xét tam giác $ABC$ và tam giác $DAB$ ta có:

$\widehat{ACB} = \widehat{DAB}$ (góc tạo bởi hai tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ).

$\widehat{BAC} = \widehat{BDA}$ (góc tạo bởi hai tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$ ).

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ABD}$ (điều phải chứng minh).

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . Kẻ tiếp tuyến $Ax$ và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm $P$ sao cho $AP > R$ , từ $P$ kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với $(O)$ tại $M$ .

a) Chứng minh $BM//OP$ .

b) Đường thẳng vuông góc với $AB$ ở $O$ cắt tia $BM$ tại $N$ . Chứng minh tứ giác $OBPN$ là hình bình hành.

c) Biết $AN$ cắt $OP$ tại $K$ , $PM$ cắt $ON$ tại $I$ , $PN$ và $OM$ kéo dài cắt nhau $J$ . Chứng minh $I;J;K$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

a) Ta có: $\widehat{ABM}$ nội tiếp chắn cung $\widehat{AM}$ ; $\widehat{AOM}$ ở tâm chắn cung $\widehat{AM}$

$\Rightarrow \widehat{ABM} = \frac{\widehat{AOM}}{2}(*)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$\widehat{AOP} = \widehat{POM} \Rightarrow \widehat{AOP} = \frac{\widehat{AOM}}{2}(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{ABM} = \widehat{AOP}$

Mà $\widehat{ABM};\widehat{AOP}$ là hai góc đồng vị nên $BM//OP(1)$

b) Xét hai tam giác $AOP$ và tam giác $OBN$ ta có:

$\widehat{PAO} = \widehat{NOB} = 90^{0}$

$OA = OB = R$

$\widehat{AOP} = \widehat{OBN}$ (chứng minh câu a)

Do đó $\Delta AOP = \Delta OBN(g - c - g)$

$\Rightarrow OP = BN(2)$

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $OBPN$ là hình bình hành (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau)

c) Tứ giác $OBPN$ là hình bình hành suy ra $PN//OB$ hay $PJ//AB$ .

Mà $ON\bot AB \Rightarrow ON\bot PJ$

Ta cũng có $PM\bot OJ$ ( $PM$ là tiếp tuyến)

Mà $ON \cap PM \equiv I$ nên $I$ là trực tâm tam giác $POJ \Rightarrow IJ\bot OP(3)$

Dễ thấy tứ giác $AONP$ là hình chữ nhật vì có $\widehat{PAO} = \widehat{AON} = \widehat{ONP} = 90^{0}$

Suy ra $K$ là trung điểm của $PO$ .

$AONP$ là hình chữ nhật suy ra $\widehat{APO} = \widehat{NOP}$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $PO$ là tia phân giác của $\widehat{APM}$

$\Rightarrow \widehat{APO} = \widehat{MPO}$

$\Rightarrow \widehat{OPI} = \widehat{IOP}$

Suy ra tam giác $OIP$ cân tại $I$ .

Mặt khác $K$ là trung điểm của $OP \Rightarrow IK\bot OP(4)$

Từ (3) và (4) suy ra $I;J;K$ thẳng hàng (điều phải chứng minh)

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, một tia là tiếp tuyến của đường tròn.

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai đường thẳng song song

Chứng minh hai đường thẳng tạo với đường thẳng thứ ba cặp góc so le trong bằng nhau, cặp góc đồng vị bằng nhau, …

b) Chứng minh một tia là tiếp tuyến của đường tròn.

+ Chứng minh tia này vuông góc với bán kính đi qua góc của tia.

+ Dùng phương pháp phản chứng.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O);(I)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ , $BC$ là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn $\left( B \in (O);C \in (I) \right)$ . Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $M$ . Gọi $E$ là giao điểm của $OM$ và $BC$ , $F$ là giao điểm của $IM$ và $AC$ . Chứng minh:

a) Tứ giác $AEMF$ là hình chữ nhật.

b) $ME.MO = MF.MI$ .

c) $OI$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$ .

d) $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OI$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $MA = MB$

Suy ra $\Delta AMB$ cân tại $M$ .

Lại có $ME$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$

$\Rightarrow ME\bot AB \Rightarrow \widehat{MEA} = 90^{0}(1)$

Chứng minh tương tự ta cũng có $\widehat{MFA} = 90^{0}(2)$

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $MO$ và $MI$ là tia phân giác của hai góc kề bù $\widehat{BMA};\widehat{CMA}$

$\Rightarrow MO\bot MI \Rightarrow \widehat{EMF} = 90^{0}(3)$

Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác $MEAF$ là hình chữ nhật.

b) Theo giả thiết $AM$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

$\Rightarrow MA\bot OI$ suy ra tam giác $MAO$ vuông tại $A$ có $AE\bot MO$

$\Rightarrow MA^{2} = ME.MO(4)$

Tương tự ta xét tam giác vuông $MAI$ có $AF\bot MI$

$\Rightarrow MA^{2} = MF.MI(5)$

Từ (4) và (5) suy ra $ME.MO = MF.MI$ .

c) Đường tròn đường kính $BC$ có tâm là $M$ vì theo trên $MA = MB = MC$ đường tròn này đi qua $A$ và có $MA$ là bán kính.

Theo trên có $OI\bot MA \equiv A$

Suy ra $OI$ là tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn đường kính $BC$ .

d) Gọi $K$ là trung điểm của $OI$ .

Ta có: $MK$ là đường trung bình của hình thang $BCIO$

$\Rightarrow KM\bot BO \equiv M$ (*)

Theo chứng minh câu a ta có $\widehat{OMI} = 90^{0}$ nên $M$ thuộc đường tròn đường kính $OI$

Suy ra $MK$ là bán kính đường tròn đường kính $IO$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $OI$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $\left( T;R = \frac{AB}{2} \right)$ . Vẽ dây cung $CD\bot AB$ tại $H$ . Gọi $M$ là điểm chính giữa của cung $CB$ , $I$ là giao điểm của $CB$ và $TM$ , $k$ là giao điểm của $AM$ và $CB$ . Chứng minh:

a) $\frac{KC}{KB} = \frac{AC}{AB}$ .

b) $MA$ là tia phân giác góc $\widehat{CMD}$ .

c) Chứng minh đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AC$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn tại $M$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

a) Theo giả thiết $M$ là điểm chính giữa của cung $BC$

$\Rightarrow \widehat{MB} = \widehat{MC}$

$\Rightarrow \widehat{CAM} = \widehat{BAM}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Suy ra $AK$ là tia phân giác $\widehat{CAB}$ .

$\Rightarrow \frac{KC}{KB} = \frac{AC}{AB}$ (theo tính chất tia phân giác của tam giác)

b) Theo giả thiết $CD\bot AB$ suy ra $A$ là điểm chính giữa của $\widehat{CD}$

$\Rightarrow \widehat{CMA} = \widehat{DMA}$ suy ra $MA$ là tia phân giác $\widehat{CMD}$

c) Kẻ $MJ\bot AC \Rightarrow MJ//BC$ (vì cùng vuông góc với $AC$ )

Theo giả thiết $M$ là điểm chính giữa của cung $BC$

$\Rightarrow TM\bot BC \equiv I \Rightarrow TM\bot MJ \equiv J$

Suy ra MJ là tiếp tuyến của đường tròn tại M.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một điểm $C$ trên nửa đường tròn. Gọi $D$ là một điểm trên đường kính $AB$ . Qua $D$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $BC$ tại $F$ , cắt $AC$ tại $E$ . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại $C$ cắt $EF$ tại $I$ . Chứng minh:

a) $I$ là trung điểm của $EF$ .

b) Đường thẳng $OC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ECF$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Toán 9

a) Vì $C$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $\widehat{ACB} = 90^{0}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ICE} = \frac{1}{2}sd\widehat{CA} \\ \widehat{ABC} = \frac{1}{2}sd\widehat{CA} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \widehat{ICE} = \widehat{ABC}$

Mà $\widehat{IEC} = \widehat{AED}$ (hai góc đối đỉnh) và $\widehat{ABC} = \widehat{AED}$ (cùng phụ với góc $\widehat{CAB}$ )

Từ đó suy ra $\widehat{ICE} = \widehat{IEC}$ suy ra tam giác $IEC$ cân tại $I$

$\Rightarrow IE = IC$

Vậy $IE = IC = IF$ suy ra I là trung điểm của EF,

b) Vì $IE = IC = IF$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF là đường tròn tâm I, bán kính IC. Mà $\widehat{ICO} = 90^{0}$ suy ra $OC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ECF$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Gọi $A;B$ là hai điểm phân biệt thuộc đường tròn tâm $O$ . Các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $M$ . Từ $A$ kẻ đường thẳng song song với $MB$ cắt $(O)$ tại $C$ , $MC$ cắt $(O)$ tại $E$ . Các tia $AE;MB$ cắt nhau tại $K$ . Chứng minh rằng:

a) $MK^{2} = AK.EK$ .

b) $MK = KB$ .

Bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $BC = R$ . Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B;C$ cắt nhau tại $A$ . Tính số đo các góc $\widehat{ABC};\widehat{BAC}$ .

Bài 3: Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$ và $\widehat{BAC} = 60^{}$ . Gọi $M;N;P$ theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ $A;B;C$ của tam giác $ABC$ và $I$ là trung điểm của $BC$ .

a) Chứng minh rằng $\Delta INP$ đều.

b) Gọi $E;K$ lần lượt là trung điểm của $PB;NC$ . Chứng minh rằng các điểm $I;M;E;K$ cùng thuộc một đường tròn.

c) Giả sử $IA$ là phân giác của góc $NIP$ . Tìm số đo góc $\widehat{BCP}$ .

Bài 4: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2cm$ . Tính bán kính của đường tròn đi qua $A;B$ biết rằng đoạn tiếp tuyến kẻ từ $D$ đến đường tròn đó bằng $4cm$ .

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $BC$ tại $I$ .

a) Chứng minh $\frac{IB}{IC} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}}$ .

b) Tính $IA;IC$ biết rằng $AB = 20cm;AC = 28cm;BC = 24cm$ .

Bài 6: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ . Vẽ đường tròn tâm $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ . Kẻ dây $BN$ của đường tròn $(O)$ , cắt đường tròn $(A)$ tại điểm $E$ ở bên trong đường tròn $(O)$ . Chứng minh: