Hàm số bậc hai y = ax^2 (a ≠ 0)

Chuyên đề Hàm số bậc hai y = ax^2 (a ≠ 0) gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hàm số bậc hai y = ax^2 (a ≠ 0) 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tính chất của hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$

Hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$ xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$ .

Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$ .
Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$ .

Nhận xét:

Nếu $a > 0$ thì $y \geq 0$ với mọi $x$ . Khi đó $\min y = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Nếu $a < 0$ thì $y \leq 0$ với mọi $x$ . Khi đó $\max y = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Dạng 1: Tính giá trị hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$ tại một điểm cho trước.

Phương pháp giải

Tính giá trị của hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$ tại điểm $x = x_{0}$ .

Bước 1: Thay $x = x_{0}$ vào hàm số $y = ax^{2}$ ta được $y = a{x_{0}}^{2}$ .

Bước 2: Kết luận.

Ví dụ: Cho hàm số $y = 4x^{2}$ . Hoàn thành bảng số liệu sau:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = f(x) = 4x^{2}$

Hướng dẫn giải

Thay lần lượt các giá trị $x = x_{0}$ vào hàm số $y = f(x) = 4x^{2}$ ta được: $\left\{ \begin{matrix} f( - 2) = f(2) = 1 \\ f( - 1) = f(1) = 4 \\ f(0) = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Hoàn thành bảng số liệu như sau:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = f(x) = 4x^{2}$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = x^{2}$ :

a) Chứng minh rằng $f(a) - f( - a) = 0;\forall a$ .

b) Tìm $a\mathbb{\in R}$ biết $f(a - 1) = 4$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f(a) = a^{2} \\ f( - a) = ( - a)^{2} = a^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow f(a) - f( - a) = 0;\forall a$

b) Ta có: $f(a - 1) = (a - 1)^{2} = a^{2} - 2a + 1$

Lại có:

$f(a - 1) = 4 \Leftrightarrow (a - 1)^{2} = 4$

$\Leftrightarrow |a - 1| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a - 1 = 2 \\ a - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 \\ a = 1 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $a = 3;a = 1$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho hàm số $y = f(x) = 2x^{2}$ .

a) Tính giá trị của hàm số lần lượt tại $x = 1;x = \sqrt{3};x = - 2;x = 3 - 2\sqrt{2}$ .

b) Tìm giá trị của $a$ biết $f(a) = 10 + 4\sqrt{6}$ .

c) Tìm giá trị của $b$ biết $f(b) \geq 8b + 14$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$f(1) = 2.1^{2} = 2$

$f\left( \sqrt{3} \right) = 2.\left( \sqrt{3} \right)^{2} = 2.3 = 6$

$f( - 2) = 2.( - 2)^{2} = 2.4 = 8$

$f\left( 3 - 2\sqrt{2} \right) = 2.\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^{2} = 2.\left( 17 - 12\sqrt{2} \right) = 34 - 24\sqrt{2}$

b) Ta có: $f(a) = 2a^{2}$

Mà $f(a) = 10 + 4\sqrt{6} \Leftrightarrow 2a^{2} = 10 + 4\sqrt{6}$

$\Leftrightarrow a^{2} = 5 + 2\sqrt{6} \Leftrightarrow a = \pm \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$

$\Leftrightarrow a = \pm \sqrt{\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^{2}} \Leftrightarrow a = \pm \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)$

Vậy $a = \pm \left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)$ thì $f(a) = 10 + 4\sqrt{6}$

c) Ta có: $f(b) = 2b^{2}$

Mà $f(b) \geq 8b + 14 \Leftrightarrow 2b^{2} \geq 8b + 14$

$\Leftrightarrow b^{2} - 4b - 7 \geq 0 \Leftrightarrow \left( b^{2} - 4b + 4 \right) - 11 \geq 0$

$\Leftrightarrow (b - 2)^{2} - 11 \geq 0 \Leftrightarrow (b - 2)^{2} \geq 11$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b - 2 \geq \sqrt{11} \\ b - 2 \leq - \sqrt{11} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b \geq 2 + \sqrt{11} \\ b \leq 2 - \sqrt{11} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $b \geq 2 + \sqrt{11}$ hoặc $b \leq 2 - \sqrt{11}$ thì $f(b) \geq 8b + 14$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = (2m - 1)x^{2}$ (với $m$ là tham số)

a) Tìm các giá trị của tham số $m$ để $y = - 1$ khi $x = - 1$ .

b) Tìm giá trị của $m$ biết $(x;y)$ thỏa mãn:

+) $\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

+) $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{2} - 2y = - 4 \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Thay $y = - 2;x = - 1$ vào hàm số $y = (2m - 1)x^{2}$ với $m$ là tham số ta được:

$- 2 = (2m - 1)( - 1)^{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$

Vậy $m = - \frac{1}{2}$ là giá trị cần tìm.

b) Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ như sau:

$\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 1 \\ \end{matrix} \right.$ thay vào hàm số $y = (2m - 1)x^{2}$ ta được:

$1 = (2m - 1).2^{2} \Leftrightarrow m = \frac{5}{8}$

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{2} - 2y = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ như sau:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{2} - 2y = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 4 \\ x^{2} - 2y = - 4 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x^{2} + 2x = 0 \\ x + y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 2 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Thay $(0;2)$ vào hàm số $y = (2m - 1)x^{2}$ ta được:

$2 = (2m - 1).0$ (vô lí)

Thay $(2;4)$ vào hàm số $y = (2m - 1)x^{2}$ ta được:

$4 = (2m - 1).( - 2)^{2} \Leftrightarrow m = 1$ .

Ví dụ: Một người thực hiện nhảy dù ở độ cao $325m$ so với mực nước biển. Quãng đường chuyển động $S$ (đơn vị: mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: giây) được xác định bởi công thức $S = 5t^{2}$ .

a) Hỏi sau khoảng thời gian $4s$ , người đó cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau khoảng thời gian bao lâu thì người du khách cách mặt đất $200m$ .

Hướng dẫn giải

a) Sau $4s$ người đó rơi được quãng đường là $S = 5.4^{2} = 80(m)$

Suy ra người đó cách mặt đất một khoảng là $325 - 80 = 245(m)$ .

b) Khi người đó cách mặt đất $200m$ thì người đó rơi được quãng đường là:

$325 - 200 = 125(m)$

Ta có: $S = 5t^{2} = 125 \Leftrightarrow t^{2} = 25 \Leftrightarrow t = 5$

Vậy sau 5 giây người du khách cách mặt đất $200m$ .

Ví dụ: Biết rằng thể tích của một khối nón được xác định bởi công thức $V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h$ , trong đó $h$ là chiều cao của hình nón và bán kính đáy $R$ (đơn vị: mét).

a) Tính thể tích của khối hình nón khi $R$ nhận các giá trị lần lượt là $3;5;\sqrt{3};2 + \sqrt{3}$ khi $2,5$ .

b) Nếu bán kính $R$ tăng ba lần thì thể tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

c) Tìm giá trị bán kính $R$ biết rằng $V = 90,66m^{3};h = 2,5m$ .

(Lấy $\pi = 3,14$ và kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Hướng dẫn giải

a) Ta có bảng sau:

$R(cm)$	$3$	$5$	$\sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$
$V = \frac{1}{3}\pi R^{2}h$	$23,55$	$65,42$	$7,85$	$36,45$

b) Giả sử $R' = 3R$

Suy ra $V' = \frac{1}{3}\pi R'^{2}h = \frac{1}{3}\pi(3R)^{2}h = 9V$

Vậy khi bán kính R tăng lên 3 lần thì thể tích tăng 9 lần.

c) Ta có: $V = 90,66m^{3} \Leftrightarrow \frac{1}{3}\pi R^{2}h = 90,66$

$\Leftrightarrow R \approx 5,89(m)$

Dạng 2: Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$

Phương pháp

Xét hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$ ; ta có:

Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$ .
Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$ .

Ví dụ: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \left( m^{2} + 1 \right)x^{2}$

b) $y = - \frac{1}{2}x^{2}$

Hướng dẫn giải

a) Vì $m^{2} \geq 0;\forall m \Rightarrow m^{2} + 1 \geq 1 > 0;\forall m$

Suy ra hàm số $y = \left( m^{2} + 1 \right)x^{2}$ nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$ .

b) Xét hàm số $y = - \frac{1}{2}x^{2}$

Vì $a = - \frac{1}{2} < 0$ nên hàm số $y = - \frac{1}{2}x^{2}$ đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = (3m + 2)x^{2};\left( m \neq \frac{- 2}{3} \right)$ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

a) Đồng biến với mọi $x < 0$ .	b) Nghịch biến với mọi $x < 0$ .
c) Đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ .	d) Đạt giá trị lớn nhất bằng $0$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$3m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{2}{3}$

Vậy $m < - \frac{2}{3}$ thì hàm số đã cho đồng biến với mọi $x < 0$ .

b) Ta có:

$3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{2}{3}$

Vậy $m > - \frac{2}{3}$ thì hàm số nghịch biến với mọi $x < 0$ .

c) Ta có:

$3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{2}{3}$

Vậy $m > - \frac{2}{3}$ thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ .

d) Ta có:

$3m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{2}{3}$

Vậy $m < - \frac{2}{3}$ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $0$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = \left( - m^{2} - 4m - 7 \right)x^{2}$ .

a) Chứng minh với mọi tham số $m$ thì hàm số luôn nghịch biến với mọi $> 0$ và đồng biến với mọi $x < 0$ .

b) Tìm các giá trị của tham số $m$ để khi $x = - 2$ thì $y = - 16$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$a = - m^{2} - 4m - 7 = - m^{2} - 4m - 4 - 3$

$= - (m - 2)^{2} - 3$

Vì $- (m - 2)^{2} - 3 < 0\forall m$ nên hàm số hàm số luôn nghịch biến với mọi $> 0$ và đồng biến với mọi $x < 0$ .

b) Thay $x = - 2$ ; $y = - 16$ vào phương trình hàm số ta được:

$- 16 = \left( - m^{2} - 4m - 7 \right).( - 2)^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 4m + 7 = 4$

$\Leftrightarrow m^{2} + 4m + 3 = 0 \Leftrightarrow (m + 1)(m + 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 1 = 0 \\ m + 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m = - 1;m = - 3$ là các giá trị cần tìm.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số $y = f(x) = 2x^{2}$

a) Tính các giá trị $f( - 3);f( - 1);f(0);f(1);f(3)$ .

b) Tìm giá trị của $x$ biết $f(x) = \frac{1}{2};f(x) = 8 - 4\sqrt{3}$ .

Bài 2: Cho hàm số $y = f(x) = - 2x^{2}$

a) Tìm các giá trị của hàm số khi $x$ nhận các giá trị lần lượt là $- 2;0;3 - 2\sqrt{2}$

b) Tìm các giá trị của $a$ biết $f(a) = - 10 + 4\sqrt{6}$ .

c) Tìm điều kiện của $b$ biết rằng $f(b) \geq 4b + 6$ .

Bài 3: Cho hàm số $y = f(x) = 3x^{2}$

a) Tìm các giá trị của hàm số khi $x$ nhận các giá trị lần lượt là $- 3;2\sqrt{2};1 - 2\sqrt{3}$

b) Tìm các giá trị của $a$ biết $f(a) = 12 + 6\sqrt{3}$ .

c) Tìm điều kiện của $b$ biết rằng $f(b) \geq 6b + 12$ .

Bài 4: Biết rằng diện tích của một mặt cầu bán kính $R$ được xác định bởi công thức $S = 4\pi R^{2}$ .

a) Tính diện tích mặt cầu khi $R$ nhận lần lượt các giá trị $1;4;8;2\sqrt{3}$ (đơn vị $cm$ ).

b) Nếu bán kính $R$ tăng lên $5$ lần thì diện tích sẽ tăng lên bao nhiêu lần?

c) Tìm bán kính $R$ biết rằng $S = 168,33cm^{2}$ (làm tròn đến kết quả số thập phân thứ hai, lấy $\pi = 3,14$ ).

Bài 5: Động năng $(J)$ của một quả sầu riêng rơi được tính bằng công thức $W_{d} = \frac{mv^{2}}{2}$ với $m$ là khối lượng quả sầu riêng $(kg)$ , $V$ là vận tốc của sầu riêng $(m/s)$ . Tính vận tốc rơi của quả sầu riêng nặng $1kg$ thời điểm quả sầu riêng đạt động năng $32J$ ?

Bài 6: Cho hàm số $y = (2n + 3)x^{2}$ với $n$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số $n$ biết $(x;y)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 2x - y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ .

Bài 7: Cho hàm số $y = \left( \sqrt{3m + 4} - 3 \right)x^{2}$ với $m \neq - \frac{5}{3};m \geq - \frac{4}{3}$ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

a) Đồng biến với mọi $x > 0$ .	b) Nghịch biến với mọi $x > 0$ .
c) Đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ .	d) Đạt giá trị lớn nhất bằng $0$ .

Bài 8: Cho hàm số $y = \left( m^{2} + 3m + 3 \right)x^{2}$

a) Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến với mọi $x < 0$ và đồng biến với mọi $x > 0$ .

b) Khi $m = 1$ tìm giá trị $x$ để khi $y = 7$ ; $y = - 7$ .

c) Tìm giá trị $m$ để khi $x = 1$ thì $y = 3$ .

Bài 9: Cho hàm số $y = - \left( k^{2} - 2k + 3 \right)x^{2}$

a) Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến với mọi $x > 0$ và đồng biến với mọi $x < 0$ .

b) Khi $k = 1$ tìm giá trị $y$ để khi $x = 2 - \sqrt{3}$ ; $x = 2 + \sqrt{3}$ .

c) Tìm giá trị $k$ để khi $x = 2$ thì $y = 10$ .

Bài 10: Cho hàm số $y = \left( \sqrt{2m - 3} - 2 \right)x^{2}$ với $m \neq \frac{7}{2};m \geq \frac{3}{2}$ . Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến với mọi $x > 0$ và nghịch biến với mọi $x < 0$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ

Hàm số bậc hai y = ax^2 (a ≠ 0)

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tính chất của hàm số

Dạng 1: Tính giá trị hàm số tại một điểm cho trước.

Dạng 2: Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Tính chất của hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$

Dạng 1: Tính giá trị hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$ tại một điểm cho trước.

Dạng 2: Xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = ax^{2};(a \neq 0)$