Hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm số bậc nhất

Chuyên đề Hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm số bậc nhất 5,0

A. Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y = ax + b;(a \neq 0)$

Hàm số bậc nhất $y = ax + b;(a \neq 0)$ xác định với mọi $x\mathbb{\in R}$ có tính chất:

a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a > 0$ .

b) Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a < 0$ .

Ví dụ: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất và xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đó?

$y = - 2x + 1$	$y = 5 - 3x$
$y = 3 - x^{2}$	$y = x\sqrt{2} - 4$
$y = x + \frac{1}{x}$

Hướng dẫn giải

Các hàm số bậc nhất là:

$y = - 2x + 1$ là hàm số nghịch biến vì $a = - 2 < 0$

$y = 5 - 3x$ là hàm số nghịch biến vì $a = - 3 < 0$

$y = x\sqrt{2} - 4$ là hàm số đồng biến vì $a = \sqrt{2} > 0$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = - 4x + 2$ .

a) Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập số thực?

b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: $0;2;2 - \sqrt{3};4 - 3\sqrt{2}$ .

c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: $- 2;4;5 - \sqrt{6};4 + \sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

a) $y = - 4x + 2$ là hàm số nghịch biến vì $a = - 4 < 0$ .

b) Ta có bảng sau:

x	0	2	$2 - \sqrt{3}$	$4 - 3\sqrt{2}$
y	$2$	$- 6$	$- 6 + 4\sqrt{3}$	$- 14 + 12\sqrt{2}$

c) Ta có bảng sau:

$y = - 4x + 2$	-2	4	$5 - \sqrt{6}$	$4 + \sqrt{2}$
x	1	$- \frac{1}{2}$	$\frac{- 3 + \sqrt{6}}{4}$	$- \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Ví dụ: Tìm điều kiện của tham số m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất?

a) $y = (2m - 1)x - 2m + 1$	b) $y = \left( m^{2} - 4 \right)x + 5$
c) $y = \left( m^{2} + 2 \right)x + 3$	d) $y = \left( \frac{m - 3}{m - 1} \right)x + 2m - 1$

Hướng dẫn giải

a) $y = (2m - 1)x - 2m + 1$

Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì

$2m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2}$ .

b) $y = \left( m^{2} - 4 \right)x + 5$

Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì

$m^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow (m - 2)(m + 2) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2$

c) $y = \left( m^{2} + 2 \right)x + 3$

Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì

$m^{2} + 2 \neq 0$ đúng với mọi $m\mathbb{\in R}$ .

d) $y = \left( \frac{m - 3}{m - 1} \right)x + 2m - 1$

Để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất thì

$\frac{m - 3}{m - 1} \neq 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 3 \neq 0 \\ m - 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 3 \\ m \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$ đúng với mọi $m\mathbb{\in R}$ .

B. Đồ thị hàm số bậc nhất

Cách vẽ đồ thị hàm số $y = ax + b;(a \neq 0)$ :

Khi $b = 0 \Rightarrow y = ax$ . Đồ thị của hàm số $y = ax$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm $A(1;a)$ .
Khi $b \neq 0$ thì đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm $A(0;b)$ và $B\left( - \frac{b}{a};0 \right)$ .

Ví dụ: Vẽ các đồ thị hàm số $y = 2x + 1$ và $y = - 3x + 2$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Hướng dẫn giải

Ta có:

x	0	1
$y = 2x + 1$	1	3

Vậy hàm số $y = 2x + 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0;1);B(1;3)$ .

Lại có:

x	0	1
$y = - 3x + 2$	2	-1

Vậy hàm số $y = - 3x + 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $C(0;2);D(1; - 1)$ .

Ta có đồ thị các hàm số như hình vẽ:

Hàm số bậc nhất. Đồ thị hàm số bậc nhất

Ví dụ: Cho hàm số $y = (2m + 1)x - 4 + 3m\ \ \ (d)$

a) Tìm m để (d) đi qua điểm $A(1; - 5)$ .

b) Tìm m để (d) đi qua điểm $B(3;1)$ .

Hướng dẫn giải

a) Thay $A(1; - 5)$ vào (d) ta được:

$- 5 = (2m + 1).1 - 4 + 3m$

$\Leftrightarrow - 5 = 2m + 1 - 4 + 4m$

$\Leftrightarrow 6m = - 2 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Vậy $m = - \frac{1}{3}$ thì (d) đi qua điểm $A(1; - 5)$ .

b) Thay $B(3;1)$ vào (d) ta được:

$1 = (2m + 1).3 - 4 + 3m$

$\Leftrightarrow 1 = 6m + 3 - 4 + 3m$

$\Leftrightarrow 9m = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{9}$

Vậy $m = \frac{2}{9}$ thì (d) đi qua điểm $B(3;1)$ .

C. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $(d):y = ax + b$ và $(d'):y = a'x + b'$ với $a;a' \neq 0$ :

$(d) \equiv (d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$	$(d)//(d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$
$(d)$ cắt $(d')$ $\Leftrightarrow a \neq a'$	$(d)\bot(d') \Leftrightarrow a.a' = - 1$

Ví dụ: Tìm các đường thẳng song song, vuông góc và cắt nhau:

a) $y = 2x + 1$	b) $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$
c) $y = 2x - 2 + \sqrt{7}$	d) $y = 3 - \sqrt{2} + 2x$
e) $y = \frac{1}{3}x + 5$	f) $y = - \frac{1}{2}x + 100$

Hướng dẫn giải

Các đường thẳng song song với nhau là:

$;y = -\frac{1}{2}x + 100$ $y = 2x + 1;y = 3 - \sqrt{2} + 2x;y = 2x - 2 + \sqrt{7}$

Đường thẳng $y = - \frac{1}{2}x + 100$ vuông góc với các đường thẳng $y= 2x + 1$ $;y = 3 - \sqrt{2} + 2x$ $;y = 2x - 2 + \sqrt{7}$

Đường thẳng $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$ vuông góc với đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 5$ .

Ta có:

Đường thẳng $y = 2x + 1$ cắt các đường thẳng $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$ $;y =\frac{1}{3}x + 5$ $;y = - \frac{1}{2}x + 100$ .

Đường thẳng $y = - 3x + 2 + \sqrt{2}$ cắt các đường thẳng $y = 2x- 2 + \sqrt{7}$ $;y = 3 - \sqrt{2} + 2x$ $;y = \frac{1}{3}x + 5$ .

Đường thẳng $y = 2x - 2 + \sqrt{7}$ cắt các đường thẳng $y = \frac{1}{3}x + 5;y = - \frac{1}{2}x + 100$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = (m + 2)x - 2\ \ \ (d)$ :

a) Tìm m để (d) song song với $\left( d_{1} \right):y = 2x + 3$ .

b) Tìm m để (d) vuông góc với $\left( d_{2} \right):y = - 3x - 2$ .

c) Tìm m để (d) cắt nhau với $\left( d_{3} \right):y = - x + 3$ .

Hướng dẫn giải

a) Để (d) song song với $\left( d_{1} \right):y = 2x + 3$ thì:

$\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2 = 2 \\ - 2 \neq 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0$ .