Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9

Chuyên đề Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c\ \ \ (1) \\ a'x + b'y = c'\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Trong đó $a;b;a';b'$ là các số thực cho trước và $\left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} \neq 0 \\ a'^{2} + b'^{2} \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ và $x;y$ là ẩn số.

Nếu hai phương trình $(1);(2)$ có nghiệm chung $\left( x_{0};y_{0} \right)$ được gọi là nghiệm của hệ phương trình. Nếu hai phương trình $(1);(2)$ không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm.
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung của hai đường thẳng $d:ax + by = c$ và $d':a'x + b'y = c'$ .

Trường hợp 1: $d \cap d' = A\left( x_{0};y_{0} \right)$ khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ .
Trường hợp 2: $d//d'$ khi đó hệ phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 3: $d \equiv d'$ khi đó hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chú ý:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ .
Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$
Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Dạng 1: Dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp giải

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c\ \ \ (1) \\ a'x + b'y = c'\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$ .
Hệ phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$
Hệ phương trình có vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$

Ví dụ: Dựa vào hệ số $a,b,c,a',b',c'$ dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} 3x - 2y = 4 \\ - 6x + 4y = - 8 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} - 2x + y = - 3 \\ 3x - 2y = 7 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{2}x - 2y = 3 \\ 3\sqrt{2}x - 6y = 7 \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} 2x - 5y = - 11 \\ 3x - 0y = 2\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a = 3;b = - 2;c = 4;a' = - 6;b' = 4;c' = - 8$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = - \frac{1}{2}$

Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm.

b) Ta có: $a = - 2;b = 1;c = - 3;a' = 3;b' = - 2;c' = 7$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Ta có: $a = \sqrt{2};b = - 2;c = 3;a' = 3\sqrt{2};b' = - 6;c' = 7$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$

Suy ra hệ phương trình vô nghiệm.

d) Ta có: $a = 2;b = - 5;c = - 11;a' = 3;b' = - 0;c' = 2\sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + y = 5 \\ (2m - 3)x + y = 7 \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $mx + y = 5$ là: $y = - mx + 5$ .

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $(2m - 3)x + y = 7$ là: $y = - (2m - 3)x + 7$ .

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + y = 5 \\ (2m - 3)x + y = 7 \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng $y = - mx + 5$ và $y = - (2m - 3)x + 7$ cắt nhau.

Để hai đường thẳng $y = - mx + 5$ và $y = - (2m - 3)x + 7$ cắt nhau thì $- m \neq - 2m + 3 \Leftrightarrow m \neq 3$

Vậy để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + y = 5 \\ (2m - 3)x + y = 7 \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm duy nhất thì $m \neq 3$

Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 5 \\ mx + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $2x + y = 5$ là: $y = - 2x + 5$

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $mx + y = 3$ là $y = - mx + 3$

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 5 \\ mx + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ vô nghiệm thì đường thẳng $y = - 2x + 5$ và $y = - mx + 3$ song song với nhau

Để đường thẳng $y = - 2x + 5$ song song với $y = - mx + 3$ thì $\left\{ \begin{matrix} - 2 = - m \\ 5 \neq 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m = 2$

Vậy để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 5 \\ mx + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ vô nghiệm thì $m = 2$ .

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 1 \\ mx + y = 2m \\ \end{matrix} \right.$ . Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất

b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm

Hướng dẫn giải

Xét các tỉ số $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a'}{a} = \dfrac{m}{1} = m \\\dfrac{b'}{b} = 1 \\\dfrac{c'}{c} = 2m \\\end{matrix} \right.$ . Hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} \Leftrightarrow m \neq 1$ .

b) Vô nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ m \neq 2m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1$

c) Vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing$

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx - y = 1 \\ x - my = m^{2} \\ \end{matrix} \right.$ . Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất

b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm

Hướng dẫn giải

Với $m = 0$ hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Với $m \neq 0$ . Xét các tỉ số $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{a'} = \dfrac{m}{1} = m \\\dfrac{b}{b'} = \dfrac{1}{m} \\\dfrac{c}{c'} = \dfrac{1}{m^{2}} \\\end{matrix} \right.$ . Hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'} \Leftrightarrow m \neq \pm 1$ .

b) Vô nghiệm $\Leftrightarrow\frac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} \neq \dfrac{c}{c'}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \pm 1 \\m \neq \dfrac{1}{m^{2}} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \pm 1 \\m \neq 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1$

c) Vô số nghiệm $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = \frac{1}{m^{2}} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1$ .

Dạng 2: Kiểm tra một số cặp số cho trước có phải là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hay không.

Phương pháp

Cặp số $\left( x_{0};y_{0} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{matrix} \right.$ khi và chỉ khi nó thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Ví dụ: Kiểm tra xem cặp số $( - 4;5)$ là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau đây:

a) $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = - 3 \\ - 3x + 2y = 21 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{2}x - 2y = - 12 \\x + \dfrac{1}{3}y = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = - 4;y = 5$ vào $- 3x + 2y = 21$ ta được:

$- 3.( - 4) + 2.5 = 21(ktm)$

Suy ra $( - 4;5)$ không là nghiệm của hệ phương trình.

b) Thay $x = - 4;y = 5$ vào các phương trình của hệ phương trình ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy $( - 4;5)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2mx + y = m \\ x - my = - 1 - 6m \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm các giá trị của tham số m để cặp số $( - 2;1)$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Để cặp số $( - 2;1)$ là nghiệm của hệ phương trình thì

$\left\{ \begin{matrix} 2m.2 + ( - 1) = m \\ 2 - m.( - 1) = - 1 - 6m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m.( - 2) + 1 = m \\ ( - 2) - m.1 = - 1 - 6m \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow m = \frac{1}{5}$

Vậy $m = \frac{1}{5}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Hãy kiểm tra xem mỗi cặp số sau có là nghiệm của hệ phương trình tương ứng không?

a) $(1;2)$ và $\left\{ \begin{matrix} 3x - 5y = - 7 \\ 2x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

b) $(4;5)$ và $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{2}x - 2y = - 12 \\x + \dfrac{1}{3}y = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

a) Thay cặp số $(1;2)$ vào hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x - 5y = - 7 \\ 2x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.$ ta thấy thỏa mãn.

Vậy $(1;2)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x - 5y = - 7 \\ 2x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.$ .

b) Thay cặp số $(4;5)$ vào hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{2}x - 2y = - 12 \\x + \dfrac{1}{3}y = - \dfrac{7}{3} \\\end{matrix} \right.$ ta thấy không thỏa mãn.

Vậy $(4;5)$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đồ thị.

Phương pháp

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{matrix} \right.$ bằng phương pháp đồ thị ta làm như sau:

Bước 1: Vẽ hai đường thẳng $ax + by = c$ và $a'x + b'y = c'$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Bước 2: Xác định nghiệm của hệ phương trình dựa vào đồ thị đã vẽ ở bước 1.

Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ x + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ bằng phương pháp đồ thị.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $y = 2$ đi qua điểm $A(0;2)$ và song song với trục $Ox$ .

Phương trình đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình $x + y = 3$ là đường thẳng $(d'):y = - x + 3$

Xét đường thẳng $(d'):y = - x + 3$

x	0	3
y	3	0

Đường thẳng $(d'):y = - x + 3$ đi qua hai điểm $(0;3),(3;0)$

Đồ thị hai hàm số $y = 2;y = - x + 3$ như hình vẽ:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y = 2;y = - x + 3$ là $M(1;2)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} y = 2 \\ y = - x + 3 \\ \end{matrix} \right.$ là $(x;y) = (1;2)$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Không giải phương trình, dự đoán số nghiệm của hệ phương trình:

a) $\left\{ \begin{matrix} 3x - 2y = 4 \\ 0x + 4y = - 8 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} 0x - 5y = - 11 \\ 2x - 0y = 2\sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix}- 2x + y = \dfrac{1}{2} \\- 3x + \dfrac{3}{2}y = \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix}2\sqrt{2}x + 4y = 3 \\- \sqrt{2}x - 2y = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$

Bài 2: Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) $\left\{ \begin{matrix} - mx + y = 6 \\ 2x + y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} (2m - 1)x + y = 2 \\ 3mx + 2y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 3: Tìm m để các hệ phương trình sau vô nghiệm:

a) $\left\{ \begin{matrix} x + my = 6 \\ 2x + (3m - 1)y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} mx + (2m - 1)y = 4 \\ 3x + (2m + 1)y = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3mx + y = 2m \\ - 3x - my = - 1 + m \\ \end{matrix} \right.$ . Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình:

a) Có nghiệm duy nhất

b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm

d) Nhận $\left( \frac{1}{9}; - \frac{10}{3} \right)$ làm nghiệm.

Bài 5: Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x - 4y = 3 \\ 2x - y = 4 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 1 \\ \end{matrix} \right.$	c) $\left\{ \begin{matrix} 3x + 4y = 0 \\ 4x - 3y = 0 \\ \end{matrix} \right.$
d) $\left\{ \begin{matrix} 0x - 2y = 0 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 1 \\ \end{matrix} \right.$	e) $\left\{ \begin{matrix}2x + 2y = 2 \\\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{3} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} \right.$	f) $\left\{ \begin{matrix} x - y = 4 \\ 0x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 6: Tìm m để cặp số $(x;y) = (2;1)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + (m - 1)y = 5 \\ m^{2}x - (3m - 1)y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ .

Bài 7: Cặp số $(x;y) = (3;1)$ là nghiệm của hệ phương trình nào trong các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x - 4y = 3 \\ 2x - y = 4 \\ \end{matrix} \right.$	b) $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 4 \\ x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.$
c) $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ 2x - y = - 1 \\ \end{matrix} \right.$	d) $\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} - x + 2y = 3 \\ mx + y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ nhận cặp số $(x;y) = ( - 1;1)$ là nghiệm.

Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = m \\ 2x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.$ nhận cặp số $(x;y) = (2;3)$ là nghiệm.

Bài 10: Tìm các giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} mx + y = 5 \\ m^{2}x - 6my = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ nhận cặp số $(x;y) = (2;1)$ là nghiệm.