Hệ số góc của đường thẳng

Chuyên đề Hàm số bậc nhất - Vị trí tương đối của hai đường thẳng gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hệ số góc của đường thẳng 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Dạng 1: Tìm hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp

Dựa vào kiến thức vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng song song khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$
Hai đường thẳng trùng nhau khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$
Hai đường thẳng cắt nhau khi $a \neq a'$

Đường thẳng $(d):y = ax + b$ với trục $Ox$ một góc $\alpha$ thì $a = \tan\alpha$

Ví dụ: Xác định hệ số góc của đường thẳng $(d):y = ax + b;(a \neq 0)$ . Biết góc tạo bởi $(d)$ với trục $Ox$ là $30^{0}$ .

Hướng dẫn giải

Vì góc tạo bởi $(d)$ với trục $Ox$ là $30^{0}$ nên

$a = tan30^{0} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy hệ số góc của đường thẳng $(d):y = ax + b;(a \neq 0)$ tạo với trục $Ox$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ví dụ: Cho đường thẳng $(d):y = mx + 2m - 1$ . Tìm hệ số góc của đường thẳng $(d)$ biết rằng $(d)$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $- 1$ .

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng $(d):y = mx + 2m - 1$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $- 1$ suy ra đường thẳng $(d):y = mx + 2m - 1$ đi qua điểm $A( - 1;0)$ .

Vậy với $x = - 1 \Rightarrow y = 0$ suy ra $0 = m.( - 1) + 2m - 1 \Rightarrow m = 1$

Với $m = 1$ đường thẳng $(d):y = mx + 2m - 1$ có dạng $y = x + 1$

Vậy số góc của đường thẳng $(d):y = mx + 2m - 1$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1 là 1.

Ví dụ: Tìm m để đường thẳng $(d):y = \left( m^{2} + 1 \right)x - 3m + 2$ có hệ số góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $(d):y = \left( m^{2} + 1 \right)x - 3m + 2$ có hệ số góc $a = m^{2} + 1$

Ta có: $m^{2} \geq 0 \rightarrow m^{2} + 1 \geq 1 \Rightarrow a \geq 1$

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của đường thẳng $(d):y = \left( m^{2} + 1 \right)x - 3m + 2$ là 1 khi $m = 0$ .

Dạng 2: Xác định góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b;(a \neq 0)$ với trục Ox.

Phương pháp

Nếu $a > 0$ thì góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $(d):y = ax + b$ với trục $Ox$ là góc nhọn $\left( 0^{0} < \alpha < 90^{0} \right)$ và được tính theo công thức $a = \tan\alpha$ .
Nếu $a < 0$ thì góc $\alpha$ tạo bởi đường thẳng $(d):y = ax + b$ với trục $Ox$ là góc tù $\left( 90^{0} < \alpha < 180^{0} \right)$ và được tính theo công thức $a = - \tan\left( 180^{0} - \alpha \right)$ .

Chú ý: Hệ số góc $a$ càng lớn thì góc càng lớn nhưng vẫn nhỏ hơn $180^{0}$ .

Ví dụ: Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d):y = 2x + 3$ với trục $Ox$ .

Hướng dẫn giải

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $(d):y = 2x + 3$ với trục $Ox$ suy ra $\tan\alpha = 2$

$\Rightarrow \alpha = 63^{0}26'$

Vậy góc tạo bởi $(d):y = 2x + 3$ với trục $Ox$ bằng $63^{0}26'$ .

Ví dụ: Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 3m$ với trục $Ox$ . Biết đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $9$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 3m$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là 9 tức là đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 3m$ đi qua điểm $A(0;9)$

Với $x = 0;y = 9$ suy ra $9 = (m - 1).0 + 3m \Rightarrow m = 3$

Với $m = 3$ phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng $y = 2x + 6$

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $y = 2x + 6$ và trục $Ox$

$\Rightarrow \alpha = 63^{0}26'$

Dạng 3: Xác định đường thẳng biết hệ số góc

Phương pháp:

Bước 1: Xác định hệ số góc a dựa vào kiến thức góc và hệ số góc.

Bước 2: Thay tọa độ các điểm đi qua vào phương trình đường thẳng xác định hệ số b.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng $(d)$ biết đường thẳng $(d)$ hợp với trục $Ox$ một góc bằng $60^{0}$ và đi qua điểm $A\left( \sqrt{3};2 \right)$ .

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường thẳng $(d):y = ax + b;(a \neq 0)$

Vì đường thẳng $(d)$ hợp với trục $Ox$ một góc bằng $60^{0}$ suy ra $a = tan60^{0} = \sqrt{3}$

Vậy phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng $y = x\sqrt{3} + b$

Mặt khác đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $A\left( \sqrt{3};2 \right)$ nên $2 = \sqrt{3}.\sqrt{3} + b \Rightarrow b = - 1$

Vậy phương trình đường thẳng $(d)$ hợp với trục $Ox$ một góc $60^{0}$ và đi qua điểm $A\left( \sqrt{3};2 \right)$ là $y = \sqrt{3}x - 1$ .

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng $(d)$ , biết đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(2; - 1)$ và cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác vuông cân.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tọa độ một tam giác cân suy ra góc tạo bởi $(d)$ với trục Ox là $45^{0}$ hoặc $135^{0}$ .

Vậy suy ra hệ số góc của đường thẳng $(d)$ là $\left\lbrack \begin{matrix} a = tan45^{0} = 1 \\ a = - \tan\left( 180^{0} - 135^{0} \right) = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Gọi phương trình đường thẳng $(d)$ có dạng $y = ax + b$

Với $a = 1$ đường thẳng có dạng $y = x + b$ . Mặt khác ta lại có đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(2; - 1)$ suy ra $- 1 = 2 + b \Rightarrow b = - 3$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2; - 1)$ và cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân là $y = x - 3$ .

Với $a = - 1$ đường thẳng có dạng $y = - x + b$ . Mặt khác ta lại có đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(2; - 1)$ suy ra $- 1 = - 2 + b \Rightarrow b = 1$

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2; - 1)$ và cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân là $y = - x + 1$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = x - 3$ hoặc $y = - x + 1$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Xác định hệ số góc của đường thẳng biết đường thẳng đó vuông góc với đường thẳng $y = 2x + 7$ .

Bài 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 2m - 3$ biết đường thẳng đi qua điểm $A( - 1;2)$ .

Bài 3: Xác định hệ số góc của đường thẳng $(d):y = \left( m^{2} - 1 \right)x - 2m - 3$ biết đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $9$ .

Bài 4: Xác định hệ số góc lớn nhất của đường thẳng $(d):y = \left( - m^{2} + 2m - 3 \right)x + 4m - 1$ ?

Bài 5: Đường thẳng $(d)$ lần lượt cắt trục hoành và trục tung tại điểm có hoành độ là -1 và tung độ là 1. Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d)$ với trục $Ox$ .

Bài 6: Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d)$ với trục $Ox$ biết đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng $y = 2x + 3$ .

Bài 7: Biết đường thẳng $(d)$ đi qua hai điểm $A(1;3),B(2;5)$ . Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d)$ với trục $Ox$ ?

Bài 8: Xác định góc tạo bởi đường thẳng $(d)$ và trục $Ox$ , biết đường thẳng $(d)$ cắt trục $Ox,Oy$ tạo thành một tam giác vuông cân?

Bài 9: Viết phương trình đường thẳng $(d)$ biết đường thẳng $(d)$ hợp với trục $Ox$ một góc bằng $30^{0}$ và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$ .

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng $(d)$ biết đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(1;4)$ và cắt hai trục tọa độ $Ox;Oy$ lần lượt tại $A;B$ và $OB = 2OA$ .