Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , cạnh huyền $BC = a$ , các cạnh góc vuông $AC = b;AB = c$ . Gọi $AH = h$ là đường cao ứng với cạnh huyền và $CH = b';BH = c'$ lần lượt là hình chiếu của $AC;AB$ trên cạnh huyền $BC$ . (như hình vẽ)

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền

Định lí 1: Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

$b^{2} = ab';c^{2} = ac'$

Một số hệ thức liên quan tới đường cao

Định lí 2: Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

$h^{2} = b'.c'$

Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

$bc = ah$

Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

$\frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}$

Sơ đồ hệ thống hóa công thức

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định xem đề bài yêu cầu tính yếu tố nào của tam giác vuông, yếu tố nào đã cho.

Bước 2: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông để tính độ dài.

Ví dụ: Xác định các giá trị $x;y$ trong các hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Ta có:

Áp dụng hệ thức về cạnh ta có:

$b^{2} = b'.a \Rightarrow 10^{2} = 8(y + 8) \Leftrightarrow y = \frac{9}{2}$

Áp dụng hệ thức về cạnh ta có:

$c^{2} = c'.a \Rightarrow x^{2} = \frac{9}{2}\left( 8 + \frac{9}{2} \right) = \left( \frac{15}{2} \right)^{2}$

$\Leftrightarrow x = \frac{15}{2}$

b) Áp dụng hệ thức về cạnh $c^{2} = c'.a$ ta được:

$\Rightarrow 30^{2} = y(y + 32)$

$\Leftrightarrow (y - 18)(y + 50) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 18(TM) \\ y = - 50(L) \\ \end{matrix} \right.$

Áp dụng hệ thức về cạnh $b^{2} = b'.a$ ta được:

$\Rightarrow x^{2} = 32(32 + 18) \Leftrightarrow x^{2} = 40^{2} \Leftrightarrow x = 40(tm)$

Ví dụ: Cho tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết rằng $AB = 20cm;BC = 25cm$ . Tính độ dài cạnh $BH;CH;AC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ , ta có:

$AB^{2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{20^{2}}{25} = 16(cm)$

Mà $BH + CH = BC \Rightarrow CH = 25 - 16 = 9(cm)$

Ta cũng có: $AC^{2} = CH.BC \Rightarrow AC = \sqrt{9.25} = 15(cm)$

Ví dụ: Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Tính độ dài $BH;CH;AH;BC$ biết rằng $AB = 12cm;AC = 9cm$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Theo định lí Pythagore ta có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} \Rightarrow BC = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = 15(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ta có:

$AB^{2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{12^{2}}{15} = 9,6(cm)$

Ta có: $BC = BH + CH$

$\Rightarrow CH = 15 - 9,6 = 5,4(cm)$

Mặt khác $AH^{2} = BC.CH \Rightarrow AH = \sqrt{9,6.5,4} = 7,2(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $DEF$ vuông tại $D$ , đường cao $DI$ . Biết rằng $DE = 15cm;DF = 20cm$ . Tính độ dài của $DI$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $DEF$ vuông tại $D$ đường cao $DI$ ta có:

$\frac{1}{DI^{2}} = \frac{1}{DE^{2}} + \frac{1}{DF^{2}}$

$\Rightarrow DI = \sqrt{\frac{DE^{2}.DF^{2}}{DE^{2} + DF^{2}}} = \sqrt{\frac{15^{2}.20^{2}}{15^{2} + 20^{2}}} = 12(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ , phân giác $AD$ . Biết $BD = 75cm;DC = 100cm$ . Tính độ dài cạnh $BH;CH$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: AD là đường phân giác $\Rightarrow \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ta có:

$\left. \ \begin{matrix} AB^{2} = BH.BC \\ AC^{2} = CH.BC \\ \end{matrix} \right\} \Rightarrow \frac{AB^{2}}{AC^{2}} = \frac{BH.BC}{CH.BC} = \frac{BH}{CH}$

$\Rightarrow \frac{BH}{CH} = \left( \frac{AB}{AC} \right)^{2} = \frac{9}{16} \Rightarrow BH = \frac{9}{16}CH(*)$

Hơn nữa $BC = BD + DC = 75 + 100 = 175(cm)$

Do đó $BC = BD + CH = 175(**)$

Thay (*) và (**) ta có:

$\frac{9}{16}CH + CH = 175 \Leftrightarrow \frac{25}{16}CH = 175 \Leftrightarrow CH = 112(cm)$

$\Rightarrow BH = 175 - 112 = 63(cm)$

Dạng 2: Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông đã biết để chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Gọi $HD;HE$ lần lượt là đường cao của tam giác $AHB$ và tam giác $AHC$ . Chứng minh rằng

a) $\frac{AB^{2}}{AC^{2}} = \frac{HB}{HC}$

b) $\frac{AB^{3}}{AC^{3}} = \frac{BD}{EC}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta có:

$\left. \ \begin{matrix} AB^{2} = BH.BC \\ AC^{2} = CH.BC \\ \end{matrix} \right\} \Rightarrow \frac{BH}{CH} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}}$

b) Do $\frac{AB^{2}}{AC^{2}} = \frac{HB}{HC}$ nên $\left( \frac{AB^{2}}{AC^{2}} \right)^{2} = \left( \frac{HB}{HC} \right)^{2}(*)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABH vuông tại H, đường cao HD ta có:

$BH^{2} = BD.AB(**)$

Tương tự đối với tam giác AHC, ta cũng có: $CH^{2} = CE.CA(***)$

Từ (*); (**); (***) suy ra $\frac{AB^{3}}{AC^{3}} = \frac{BD}{EC}$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường cao $AH;BK$ . Qua $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ , cắt tia đối của tia $AC$ tại $D$ . Chứng minh rằng:

a) $BD = 2AH$

b) $\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BC^{2}} + \frac{1}{4AH^{2}}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

a) Xét tam giác ABC cân tại A đường cao AH

Suy ra AH là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.

Xét tam giác BCD có $\left\{ \begin{matrix} BH = HC;H \in BC \\ AH//BD;A \in DC \\ \end{matrix} \right.$

Suy ra AH là đường trung bình của tam giác BDC

Do đó $BD = 2AH$ .

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BDC vuông tại B, có BK là đường cao ta có:

$\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BC^{2}} + \frac{1}{BD^{2}}$

Thay $BD = 2AH$ ta có: $\frac{1}{BK^{2}} = \frac{1}{BC^{2}} + \frac{1}{4AH^{2}}$ .

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Kéo dài $AM$ cắt tia $DC$ tại $N$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ cắt tia $CB$ tại $E$ . Chứng minh:

a) $AE = AN$

b) $\frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AN^{2}}$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao

a) Ta có:

$\widehat{EAB} = \widehat{DAN} = 90^{0} - \widehat{MAB}$

Xét tam giác $AND$ và tam giác $AEB$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} AD = AB \\ \widehat{ADN} = \widehat{ABE} = 90^{0} \\ \widehat{DAN} = \widehat{EAB} \\ \end{matrix} \right.$

Suy ra $\Delta AND = \Delta AEB \Rightarrow AN = AE$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AEM vuông tại A, đường cao AB ta có:

$\frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AE^{2}}$

Mà $AE = AN$ nên $\frac{1}{AB^{2}} = \frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AN^{2}}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm các giá trị $x;y$ trong các hình vẽ sau:

a)	b)
c)	d)

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH;(H \in BC)$ có $BH = 10cm,CH = 42cm$ . Tính $BC;AH;AB;AC$ .

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ có $AB = 6cm;AC = 8cm;BC = 10cm$ .

a) Chứng minh $\Delta ABC$ vuông.

b) Tính đường cao $AH$ .

c) Gọi $M;N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB;AC$ . Tính $HM;HN$ .

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ .

a) Biết $AB = 30cm;\frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$ . Tính $AC;BC;BH;CH$ .

b) Biết $AH = 6cm;\frac{HB}{HC} = \frac{9}{16}$ . Tính $BC$ .

Bài 5: Cho hình thang $ABCD;(AB//CD)$ , hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc nhau tại $O$ .

a) Chứng minh $S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD$ .

b) Biết $BD = 5cm$ , đường cao $BH = 4cm$ . Tính diện tích hình thang $ABCD$ .

Bài 6: Cho hình vuông $ABCD$ , một điểm $E$ bất kỳ thuộc cạnh $AB$ . Gọi $F$ là giao điểm của $DE;BC$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{DE^{2}} + \frac{1}{DF^{2}}$ không đổi.

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A;\left( \widehat{A} < 90^{0} \right)$ . Kẻ $BM\bot CA$ . Chứng minh rằng $\frac{AM}{MC} = 2\left( \frac{AB}{AC} \right)^{2} - 1$ .

Bài 8: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$ . Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa điểm $D$ sao cho $DB = DC = \frac{AB}{\sqrt{2}}$ . Chứng minh rằng $BD;DH$ và $AH$ là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Bài 9: Cho hình thoi $ABCD$ với $\widehat{A} = 120^{0}$ . Tia $Ax$ tạo với tia $AB$ góc bằng $15^{0}$ và cắt cạnh $BC$ tại $M$ , cắt đường thẳng $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng $\frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AN^{2}} = \frac{4}{3AB^{2}}$ .

Bài 10: Cho đoạn thẳng $AB = 4cm$ . Gọi $C$ là điểm di động sao cho $BC = 3cm$ . Vẽ tam giác $AMN$ vuông tại $A$ có $AC$ là đường cao. Xác định vị trí của điểm $C$ để $\frac{1}{AM^{2}} + \frac{1}{AN^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.