Hệ thức Vi – et và ứng dụng Toán 9

Chuyên đề Hệ thức Vi - et gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Hệ thức Vi – et và ứng dụng Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Hệ thức Vi - et

Phương trình bậc hai tổng quát $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ . Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ thì $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

Đảo lại nếu hai số $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} \\ P = x_{1}.x_{2} \\ \end{matrix} \right.$ thì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - S.x + P = 0$ (điều kiện $S^{2} - 4P \geq 0$ )

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng giải toán là:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right)$
${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = \left( {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} \right)^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2} = \left\lbrack \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} \right\rbrack^{2} - 2{x_{1}}^{2}.{x_{2}}^{2}$
$\left| x_{1} - x_{2} \right| = \sqrt{\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}.x_{2}}$
$\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{1}.x_{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$
$\left( x_{1} - x_{2} \right)^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

Ứng dụng hệ thức Vi – et

1) Nhẩm nghiệm phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)(*)$

Nếu phương trình $(*)$ có $a;b;c$ thỏa mãn:

$a + b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a}$
$a - b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a}$

Nếu phương trình $(*)$ có $\frac{- b}{a} = m + n;\frac{c}{a} = mn$ với $m;n\mathbb{\in Z}$ thì $x_{1} = m;x_{2} = n$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

2) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - Sx + P = 0$

Điều kiện để hai số đó là $S^{2} - 4P \geq 0$

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm $x_{1};x_{2}$ của phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)(*)$ là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị $x_{1};x_{2}$ . Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm $x_{1};x_{2}$ theo $S$ và $P$ , ví dụ như:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = S^{2} - 2P$
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{S}{P}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$
${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{3} - 3x_{1}.x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = S^{3} - 3SP$
$\frac{1}{{x_{1}}^{2}} + \frac{1}{{x_{2}}^{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}}{\left( x_{1}x_{2} \right)^{2}} = \frac{S^{2} - 2P}{P^{2}}$ với $x_{1};x_{2} \neq 0$

Ví dụ: Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 5x + 3 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

a) $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$	b) $B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2}$
c) $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$	d) $D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\Delta = ( - 5)^{2} - 4.1.3 = 25 - 12 = 13 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng hệ thức Vi – et ta có: $\left\{\begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = - \dfrac{- 5}{1} = 5 \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{3}{1} = 3 \\\end{matrix} \right.$

a) $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 25 - 6 = 19$

b) $B = {x_{1}}^{2}x_{2} + x_{1}{x_{2}}^{2} = x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) = 3.5 = 15$

c) $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5}{3}$

d) $D = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2}}{x_{1}.x_{2}} = \frac{5^{2} - 2.3}{3} = \frac{19}{3}$

Ví dụ: Giả sử phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ . Hãy biểu thị các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm theo $S;P$ trong các trường hợp sau:

a) $- x_{1}$ và $- x_{2}$	b) $2x_{1}$ và $2x_{2}$
c) ${x_{1}}^{2}$ và ${x_{2}}^{2}$	d) $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$
e) $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ ta có: $\left\{ \begin{matrix}S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} \\P = x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$

a) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} \right) + \left( - x_{2} \right) = - S \\ \left( - x_{1} \right).\left( - x_{2} \right) = P \\ \end{matrix} \right.$ . Do đó $- x_{1}$ và $- x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - S.X + P = 0$ .

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( 2x_{1} \right) + \left( 2x_{2} \right) = 2S \\ \left( 2x_{1} \right).\left( 2x_{2} \right) = 4P \\ \end{matrix} \right.$ . Do đó $2x_{1}$ và $2x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - 2S.X + 4P = 0$ .

c) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( {x_{1}}^{2} \right) + \left( {x_{2}}^{2} \right) = S^{2} - 2P \\ \left( {x_{1}}^{2} \right).\left( {x_{2}}^{2} \right) = P^{2} \\ \end{matrix} \right.$ . Do đó ${x_{1}}^{2}$ và ${x_{2}}^{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - \left( S^{2} - 2P \right).X + P^{2} = 0$ .

d) Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} + x_{2} \right) + \left( x_{1}x_{2} \right) = S + P \\ \left( x_{1} + x_{2} \right).\left( x_{1}x_{2} \right) = S.P \\ \end{matrix} \right.$ . Do đó $x_{1} + x_{2}$ và $x_{1}x_{2}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - (S + P).X + S.P = 0$ .

e) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\left( \dfrac{1}{x_{1}} \right) + \left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) =\dfrac{S}{P} \\\left( \dfrac{1}{x_{1}} \right).\left( \dfrac{1}{x_{2}} \right) =\dfrac{1}{P} \\\end{matrix} \right.$ . Do đó $\frac{1}{x_{1}}$ và $\frac{1}{x_{2}}$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - \frac{S}{P}.X + \frac{1}{P} = 0$ .

Dạng 2: Nhẩm nghiệm của phương trình

Phương pháp giải

Cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)(*)$

Nếu phương trình $(*)$ có $a;b;c$ thỏa mãn:

$a + b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a}$
$a - b + c = 0$ thì phương trình có hai nghiệm là $x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a}$

Nếu phương trình $(*)$ có $\frac{- b}{a} = m + n;\frac{c}{a} = mn$ với $m;n\mathbb{\in Z}$ thì $x_{1} = m;x_{2} = n$ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Sử dụng hệ thức Vi – et tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau:

a) $x^{2} - 5x + 4 = 0$	b) $5x^{2} + 9x - 14 = 0$
c) $5x^{2} + 7x + 2 = 0$	d) $x^{2} - 7x + 10 = 0$

Hướng dẫn giải

a) $x^{2} - 5x + 4 = 0$ ta có: $a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0$ nên phương trình có nghiệm là

$x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$

b) $5x^{2} + 9x - 14 = 0$ ta có: $a + b + c = 5 + 9 - 14 = 0$ nên phương trình có nghiệm là

$x_{1} = 1;x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 14}{5}$

c) $5x^{2} + 7x + 2 = 0$ ta có: $a - b + c = 5 - 7 + 2 = 0$ nên phương trình có nghiệm là

$x_{1} = - 1;x_{2} = - \frac{c}{a} = - \frac{2}{5}$

d) $x^{2} - 7x + 10 = 0$

Vì $2 + 5 = 7 = - \frac{b}{a};2.5 = 10 = \frac{c}{a}$ nên $x_{1} = 2;x_{2} = 5$ là hai nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Cho phương trình $(m - 2)x^{2} - (2m + 5)x + m + 7 = 0$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số $m$ ?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a + b + c = (m - 2) + ( - 2m - 5) + m + 7 = 0$

Suy ra phương trình luôn có nghiệm $x_{1} = 1$ không phụ thuộc vào tham số m.

b) Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = 1$

Với $m \neq 2$ phương trình có hai nghiệm $x = 1$ và $x = \frac{m + 7}{m - 2}$ .

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} - 3(m + 1)x + m^{2} - 13m - 4 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có một nghiệm $x = - 2$ . Xác định nghiệm còn lại.

Hướng dẫn giải

Thay $x = - 2$ vào phương trình ta tìm được $m = 1$ hoặc $m = 2$

Với $m = 1$ ta có: $x^{2} - 6x - 16 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 8 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Với $m = 2$ ta có: $2x^{2} - 9x - 26 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{13}{2} \\x = - 2 \\\end{matrix} \right.$

Dạng 3: Tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện

Ví dụ: Cho phương trình $x^{2} - 5x + m = 0$ với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = 6$ .

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3$ .

Hướng dẫn giải

a) Với $m = 6$ ta có phương trình $x^{2} - 5x + 6 = 0$ có $\Delta = 25 - 4.6 = 1$

Suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 3;x_{2} = 2$ .

b) Ta có: $\Delta = 25 - 4m$

Để phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta \geq 0 \Leftrightarrow m \leq \frac{25}{4}(*)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 5\ \ \ (1) \\ x_{1}.x_{2} = m\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Mặt khác $\left| x_{1} - x_{2} \right| = 3\ \ \ \ (3)$

Từ (1) và (3) suy ra

$\left| x_{1} - 5 + x_{1} \right| = 3$

$\Leftrightarrow \left| 2x_{1} - 5 \right| = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x_{1} - 5 = 3 \\ 2x_{1} - 5 = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = 4 \Rightarrow x_{2} = 1 \\ x_{1} = 1 \Rightarrow x_{2} = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ (4)$

Từ (2) và (4) suy ra $m = 4$

Thử lại thì thỏa mãn. Vậy với $m = 4$ thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ: Cho phương trình $x^{2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0(1)$ với $m$ là tham số.

a) Giải phương trình với $m = - 3$ .

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10$ .

Hướng dẫn giải

a) Với $m = - 3$ ta có phương trình $x^{2} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 8 \\ \end{matrix} \right.$

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi

$\Delta' \geq 0 \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + (m + 3) \geq 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - m + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{15}{4} \geq 0\forall m$

Vậy chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) \\ x_{1}.x_{2} = - m - 3 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = 10 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}.x_{2} = 10$

$\Leftrightarrow 4(m - 1)^{2} + 2(m + 3) = 10$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 6m + 10 = 10$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}m = 0 \\m = \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m = 0;m = \frac{3}{2}$ là các giá trị cần tìm.

Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Phương pháp giải

Để tìm hai số x; y khi biết tổng $S = x + y$ và $P = x.y$ ta làm như sau:

Bước 1: Xét điều kiện để có hai số là $S^{2} - 4P \geq 0$ . Khi đó $x;y$ là nghiệm của phương trình $X^{2} - SX + P = 0$ .

Bước 2: Giải phương trình và kết luận.

Ví dụ: Tìm hai số $u;v$ biết $u + v = 14;u.v = 24$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $S^{2} - 4P = 14^{2} - 4.24 = 196 - 96 = 100 > 0$ nên $u;v$ là hai nghiệm của phương trình $X^{2} - 14X + 24 = 0$

$\Delta' = 7^{2} - 1.24 = 49 - 24 = 25 > 0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = \frac{7 + \sqrt{25}}{1} = 2;x_{2} = \frac{7 - \sqrt{25}}{1} = 12$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} u = 2 \\ v = 12 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} u = 12 \\ v = 2 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Tìm hai số x; y biết:

a) $x^{2} + y^{2} = 20$ và $xy = 8$

b) $x + y = 35$ và $x^{2} + y^{2} = 625$

Hướng dẫn giải

a) $x^{2} + y^{2} = 20$ và $xy = 8$

Ta có: $(x + y)^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy = 20 + 2.8 = 36$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + y = 6 \\ x + y = - 6 \\ \end{matrix} \right.$

Với $\left\{ \begin{matrix} x + y = 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $S^{2} - 4P = 6^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0$ nên $x;y$ là hai nghiệm của phương trình $X^{2} - 6X + 8 = 0$

$\Delta' = ( - 3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0$ . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$X_{1} = \frac{3 + \sqrt{1}}{1} = 4;X_{2} = \frac{3 - \sqrt{1}}{1} = 2$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 2 \\ y = 4 \\ \end{matrix} \right.$ (*)

Với $\left\{ \begin{matrix} x + y = - 6 \\ xy = 8 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $S^{2} - 4P = ( - 6)^{2} - 4.8 = 36 - 32 = 4 > 0$ nên $x;y$ là hai nghiệm của phương trình $X^{2} + 6X + 8 = 0$

$\Delta' = (3)^{2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0$ . Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$X_{1} = \frac{- 3 + \sqrt{1}}{1} = - 2;X_{2} = \frac{- 3 - \sqrt{1}}{1} = - 4$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} x = - 4 \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = - 2 \\ y = - 4 \\ \end{matrix} \right.$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $(x;y) \in \left\{ (4;2),(2;4),( - 2; - 4),( - 4; - 2) \right\}$

b) $x + y = 35$ và $x^{2} + y^{2} = 625$

Ta có:

$x^{2} + y^{2} = 625 \Leftrightarrow (x + y)^{2} - 2xy = 625$

$\Leftrightarrow 35^{2} - 2xy = 625 \Leftrightarrow 2xy = 600 \Leftrightarrow xy = 300$

Vì $S^{2} - 4P = 35^{2} - 4.300 = 25 > 0$ nên $x;y$ là hai nghiệm của phương trình $X^{2} - 35X + 300 = 0$

Ta có:

$\Delta = ( - 35)^{2} - 4.1.300 = 25 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$X_{1} = \frac{35 + \sqrt{25}}{2.1} = 20;X_{2} = \frac{35 - \sqrt{25}}{2.1} = 15$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} x = 20 \\ y = 15 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} x = 15 \\ y = 20 \\ \end{matrix} \right.$

Dạng 5: Xét dấu hai nghiệm của phương trình bậc hai.

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta \geq 0;(\Delta' \geq 0) \\ \end{matrix} \right.$
Phương trình có hai nghiệm cùng dấu khi $\left\{ \begin{matrix} \Delta > 0;(\Delta' > 0) \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.$
Phương trình có hai nghiệm trái dấu $P < 0$ (khi phương trình có hai nghiệm trái dấu không cần điều kiện $\Delta > 0,(\Delta' > 0)$ do khi $P < 0$ thì hiển nhiên $\Delta > 0,(\Delta' > 0)$ .
Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0;(\Delta' > 0) \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \\ \end{matrix} \right.$
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0;(\Delta' > 0) \\ S = x_{1} + x_{2} < 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Cho phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} - 4m + 3 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm điều kiện tham số m để:

a) Phương trình đã cho có nghiệm.

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

c) Phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

d) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

e) Phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta' \geq 0 \Leftrightarrow (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 \right) \geq 0$

$\Leftrightarrow 6m - 2 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{3}$

Vậy $m \geq \frac{1}{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 \right) > 0 \\ m^{2} - 4m + 3 > 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{3} \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 3 \\ \frac{1}{3} < m < 1 \\ \end{matrix} \right.$

c) Phương trình đã cho có hai nghiệm khác dấu.

$P < 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4m + 3 < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 3$

d) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương.

$\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 \right) > 0 \\ 2(m + 1) > 0 \\ m^{2} - 4m + 3 > 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{3} \\ m > - 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 3 \\ \frac{1}{3} < m < 1 \\ \end{matrix} \right.$

e) Phương trình đã cho có hai nghiệm âm.

$\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} < 0 \\ P = x_{1}.x_{2} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 \neq 0 \\ (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 4m + 3 \right) > 0 \\ 2(m + 1) < 0 \\ m^{2} - 4m + 3 > 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{3} \\ m < - 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - x - 3 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$	b) $B = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$
c) $C = \left\| x_{1} - x_{2} \right\|$	d) $D = \frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1}$

Bài 2: Gọi $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - 3x - 7 = 0$ . Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức:

a) $A = \left( 3x_{1} - 2x_{2} \right)\left( 3x_{2} - 2x_{1} \right)$	b) $B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1}$
c) $C = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}$	d) $D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2} + 2}{x_{2}}$

Bài 3: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $7x^{2} - 9x + 2 = 0$	b) $23x^{2} - 9x - 32 = 0$
c) $1975x^{2} + 4x - 1979 = 0$	d) $31,1x^{2} - 50,9x + 19,8 = 0$
e) $\left( 2 - \sqrt{3} \right)x^{2} + 2\sqrt{3}x - \left( 2 + \sqrt{3} \right) = 0$	f) $\sqrt{5}x^{2} - \left( 2 - \sqrt{5} \right)x - 2 = 0$

Bài 4: Cho phương trình $(2m - 1)x^{2} - (m - 3)x - 6m - 2 = 0$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm $x = - 2$ .

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số $m$ ?

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = 2x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - 2mx + m + 1$ . Tì $m$ $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $x_{1};x_{2}$ sao cho $\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 2$ .

Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 1$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh: Khi giá trị của $m$ thay đổi thì $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ . Tìm giá trị tham số m sao cho ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$ .

Bài 7: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) $u + v = 12;uv = 35$ b) $u + v = - 15;uv = 54$ c) $u - v = 9;uv = 90$ d) $u - 2v = - 17;uv = 240$

Bài 8: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) $x^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $x^{2} - 8x + 2m + 6 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) $x^{2} - 2(m - 3)x + 8 - 4m = 0$ có hai nghiệm phân biệt âm.

d) $x^{2} - 6x + 2m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt cùng dương.

d) $x^{2} - 2(m - 1)x - 3 - m = 0$ có đúng một nghiệm dương.

Bài 9: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) $2x^{2} - 3(m + 1)x + m^{2} - m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) $3mx^{2} + 2(2m + 1)x + m = 0$ có hai nghiệm âm.

c) $x^{2} + mx + m - 1 = 0$ có hai nghiệm lớn hơn m.

d) $mx^{2} - 2(m - 2)x + 3(m - 2) = 0$ có hai nghiệm cùng dấu.

Bài 10: Chứng minh rằng phương trình $x^{2} - 2(m + 1)x + m - 4 = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ và biểu thức $M = x_{1}\left( 1 - x_{2} \right) + x_{2}\left( 1 - x_{1} \right)$ không phụ thuộc vào m?

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

90.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ