Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Chuyên đề Liên hệ giữa cung và dây gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Liên hệ giữa cung và dây Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Nghĩa là: $\widehat{AB} = \widehat{CD} \Leftrightarrow AB = CD$

Định lí 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Nghĩa là: $\widehat{AB} > \widehat{CD} \Leftrightarrow AB > CD$

Tính chất: Trong một đường tròn:

a) Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

b) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy và ngược lại.

c) Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

Dạng 1: Chứng minh hai cung bằng nhau

Phương pháp giải

Để giải các bài toán chứng minh hai cung bằng nhau, cần nắm chắc định nghĩa góc ở tâm và kết hợp với sự liên hệ giữa cung và dây để tìm ra các góc chắn các cung bằng nhau.

Ví dụ: Cho hai đường tròn bằng nhau $(O);(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$ . Kẻ các đường kính $AOC;AO'D$ . Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AC$ với đường tròn $(O')$ , khác $A$ .

a) So sánh các cung nhỏ $BC;BD$ .

b) Chứng minh rằng $B$ là điểm chính giữa của $\widehat{EBD}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

a) Điểm $B$ nằm trên đường tròn đường kính $AC$ và nằm trên đường tròn đường kính $AD$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{ABD} = 90^{0}$

$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta ABD(ch - gn) \Rightarrow BC = BD$

Đường tròn $(O);(O')$ bằng nhau suy ra $\widehat{BC} = \widehat{BD}$ .

b) Điểm $E$ nằm trên đường tròn đường kính $AD$ nên $\widehat{AED} = 90^{0}$

Xét $\Delta ECD$ vuông tại $E$ , có $EB$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $EB = BD$ .

Suy ra $\widehat{EB} = \widehat{BD}$ tức $B$ là điểm chính giữa của cung $\widehat{EBD}$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $MN$ . Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm $C;D$ . Kẻ $CH\bot MN$ ; $CH$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $E$ . Kẻ $MK\bot CD$ , $MK$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $F$ . Chứng minh rằng:

a) $sd\widehat{CF} = sd\widehat{DN}$

b) $DF = NE$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

a) Kéo dài $MF$ cắt $CD$ tại $K$ .

Ta có: $CD//FN$ (do cùng vuông góc với $MK$ )

Suy ra $sd\widehat{CF} = sd\widehat{DN}$ (hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau)

b) Ta có: $CH\bot MN \Rightarrow HC = HE$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Suy ra tam giác $CNE$ cân tại $N$ (do đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

$\Rightarrow CN = NE \Rightarrow sd\widehat{CN} = sd\widehat{NE}$

Mặt khác $sd\widehat{CF} = sd\widehat{DN}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow sd\widehat{CN} + sd\widehat{CF} = sd\widehat{NE} + sd\widehat{DN}$

$\Rightarrow sd\widehat{DF} = sd\widehat{NE} \Rightarrow DF = NE$ (Liên hệ giữa cung và dây)

Ví dụ: Vẽ về phía ngoài của tam giác đều $ABC$ nửa đường tròn đường kính $BC$ . Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $\widehat{CF} = \widehat{DE} = \widehat{EC}$ . Các tia $AD;AE$ cắt cạnh $BC$ tại $M;N$ . Chứng minh rằng $BM = MN = NC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Xét tam giác $OBD$ có

$OB = OB( = R)$

$\widehat{BOD} = 60^{0}$ (vì số đo cung BC bằng $60^{0}$

Vậy tam giác $OBD$ đều suy ra $\widehat{OBD} = 60^{0}$

Xét hai tam giác $BMD$ và tam giác $AMC$ có:

$\widehat{M_{1}} = \widehat{M_{2}}$ (Hai góc đối đỉnh)

$\widehat{MBD} = \widehat{MCA}\left( = 60^{0} \right)$

Do đó $\Delta BMD\sim\Delta CMA(g - g)$

$\Rightarrow \frac{BM}{CM} = \frac{BD}{CA}$ mà $BD = OB = \frac{BC}{2} = \frac{AC}{2}$

$\Rightarrow \frac{BM}{CM} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{BM}{CM + BM} = \frac{1}{3}$

Mà $CM + BM = BC \Rightarrow BM = \frac{BC}{3}$

Chứng minh tương tự ta được $CN = \frac{BC}{3}$

Vậy $BM = MN = NC$ .

Dạng 2: Chứng minh hai cung không bằng nhau

Phương pháp giải

Để giải các bài toán chứng minh hai cung không bằng nhau, cần vận dụng thành thạo mối liên hệ giữa cung và dây, kết hợp với các định lí Pythagore, Talet, … tìm ra các góc chắn các cung không bằng nhau hoặc tính độ lớn của từng cung.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ . Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AC$ . Vẽ đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $BCD$ . Từ $O$ lần lượt hạ các đường vuông góc $OH;OK$ với $BC$ ( $H \in BC;K \in BD$ ). Hãy so sánh:

a) Độ dài các đoạn thẳng $OH$ và $OK$ .

b) Hai cung nhỏ $BD$ và $BC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

a) Trong tam giác $ABC$ ta có:

$BC < AB + AC$ (bất đẳng thức tam giác)

Mà $AC = AD$ $\Rightarrow BC < AB + AD = BD$

Mà $OH\bot BC;OK\bot BD \Rightarrow OH > OK$ (liên hệ dây cung và khoảng cách đến tâm)

b) Ta có: $BC < BD$ (chứng minh trên) nên suy ra $\widehat{BC} < \widehat{BD}$ (liên hệ cung và dây).

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Biết $\widehat{A} = 50^{0}$ , hãy so sánh các cung nhỏ $AB;AC$ và $BC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Ta có: $\widehat{B} = \widehat{C} = \frac{180^{0} - 50^{0}}{2} = 65^{0}$ nên $\widehat{B} = \widehat{C} > \widehat{A}$

$\Rightarrow AC = AB > BC$

$\Rightarrow \widehat{AC} = \widehat{AB} > \widehat{BC}$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB;CD$ song song với nhau. Gọi $I;K$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ . Chứng minh rằng các điểm $O;I;K$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa cung và dây Toán 9

Gọi $MN$ là đường kính đi qua tâm $O$ và $MN\bot AB$ .

Dễ thẫy $MN\bot CD$ (quan hệ giữa vuông góc và song song)

$MN\bot AB$ suy ra $MN$ đi qua $I$ với $I$ là trung điểm của $AB$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Tương tự $MN\bot CD$ suy ra $MN$ đi qua $K$ với $K$ là trung điểm của $CD$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Suy ra các điểm $I;K;O$ thẳng hàng (vì cùng nằm trên $MN$ )

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ , dây $EF$ không cắt đường kính $AB$ (với $F$ nằm trên $\widehat{AE}$ ). Gọi $I;K$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $A$ và $B$ đến $EF$ . Chứng minh $KE = IF$ .

Bài 2: Giả sử $ABC$ là tam giác nhọn có các đỉnh thuộc đường tròn $(O)$ . Đường cao $AH$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$ . Kẻ đường kính $AE$ của đường tròn $(O)$ . Chứng minh rằng tứ giác $BCED$ là hình thang cân.

Bài 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ . Gọi $M;N$ là hai điểm bên trong hình vuông. Chứng minh rằng $MN \leq a\sqrt{2}$ .

Bài 4: Cho tam giác đều $ABC$ . Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ không chứa $A$ dựng nửa đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ . Trên nửa đường tròn lấy các điểm $D;E$ sao cho $\widehat{BD} = \widehat{DE} = \widehat{EC}$ . Các đường thẳng $AD;AE$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $M$ và $N$ . Chứng minh rằng $BM = MN = NC$ .

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ có $AB > AC$ . Trên cạnh $AB$ lấy một điểm $D$ sao cho $AD = AC$ . Vẽ đường tròn tâm $O$ ngoại tiếp tam giác $DBC$ . Từ $O$ lần lượt hạ các đường vuông góc $OH;OK$ với $BC$ và $DB$ ; $(H \in BC;K \in BD)$ .

a) Chứng minh $OH < OK$ .

b) So sánh hai cung nhỏ $BD;BC$ .

Bài 6: Cho hình thoi $ABCD$ . Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $AD$ . Vẽ đường tròn tâm $C$ bán kính $CB$ . Lấy điểm $E$ bất kì trên đường tròn tâm $A$ ( $A \neq B;A \neq D$ ), điểm $F$ trên đường tròn tâm $C$ sao cho $BF$ song song với $ED$ . So sánh hai cung nhỏ $DE$ và $BF$ .

Bài 7: Cho đường tròn tâm $O$ . Trên nửa đườnh tròn đường kính $AB$ lấy điểm $C;D$ . Từ $C$ kẻ $CH\bot AB$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $E$ . Từ $A$ kẻ $AK\bot DC$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $F$ . Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ $CF$ và $BD$ bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ $BF$ và $DE$ bằng nhau.

c) $DE = BF$ .

Bài 8: Trên dây cung $AB$ của một đường tròn $O$ , lấy hai điểm $C$ và $D$ chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau $AC = CD = DB$ . Các bán kính qua $C$ và $D$ cắt cung nhỏ $AB$ lần lượt tại $E$ và $F$ . Chứng minh rằng: