Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

Chuyên đề Đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Định lí: Trong một đường tròn

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

$AB = CD \Leftrightarrow OH = OK$

Định lí: Trong hai dây của một đường tròn

a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

$AC > BC > AB \Leftrightarrow OF < OE < OD$

Dạng 1: Tính độ dài của dây

Phương pháp giải

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
Dùng định lí Pythagore, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và bán kính $R = 5cm$ và dây $AB = 8cm$ .

a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ .

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $AB$ sao cho $AI = 1cm$ . Kẻ dây $CD$ qua $I$ và vuông góc với $AB$ . Chứng minh rằng $CD = AB$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

a) Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ , suy ra $OH\bot AB$ . Khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$ là:

$OH = \sqrt{OA^{2} - HA^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3(cm)$

b) Kẻ $OK\bot CD \equiv K$ suy ra $OKIH$ là hình chữ nhật mà $IH = AH - AI = 3cm$

$\Rightarrow IH = OH$

Suy ra $OKIH$ là hình vuông $\Rightarrow OK = OH$

Do đó khoảng cách từ tâm $O$ đến hai dây $AB$ và $CD$ bằng nhau.

Suy ra $AB = CD$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ có hai đây $AB;CD$ bằng nhau và vuông góc với nhau tại $I$ . Giả sử $AI = 2;IB = 4$ . Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi dây.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

Ta có: $AB = IA + IB = 2 + 4 = 6(cm)$

Gọi $E;F$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$

Khi đó ta có: $OE\bot AB;OF\bot CD$ và $OE = OF$

Vậy tứ giác $OEIF$ là hình vuông.

Khi đó $OE = OF = \frac{1}{2}(AB - AI) = 1(cm)$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến dây $AB;CD$ là $1cm$ .

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $4cm$ . Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AB;BC$ và $E$ là giao điểm của $CM;DN$ .

a) Chứng minh các điểm $M;B;N;E$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tính bán kính đường tròn đó và tính khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây $ME$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

a) Ta có: $\Delta DCN = \Delta CBM \Rightarrow \widehat{D_{1}} = \widehat{C_{1}} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{D_{1}} + \widehat{N_{1}} = \widehat{C_{1}} + \widehat{N_{1}}$

Xét tam giác $ECN$ có: $\widehat{C_{1}} + \widehat{N_{1}} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{NEC} = 90^{0}$

Vì tam giác $MNE$ vuông tại $E$ nên ba điểm $M;N;E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MN$ .

Vì tam giác $MBN$ vuông tại $B$ nên ba điểm $M;N;B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MN$

Vậy bốn điểm $B;M;N;E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $MN$

b) Xét tam giác $ABC$ có $MN$ là đường trung bình nên $MN = \frac{1}{2}AC$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABC$ có:

$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} = 4^{2} + 4^{2}$

$\Rightarrow AC = 4\sqrt{2}(cm)$

Vậy bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm $B;M;N;E$ là: $R = \frac{1}{4}AC = \sqrt{2}(cm)$

Gọi $O$ là trung điểm của $MN$ . Kẻ $OH\bot ME$ suy ra khoảng cách từ tâm đường tròn đến dây $ME$ là đoạn $OH$ .

Lại có $NE\bot ME$ suy ra $OH//NE$ hay $OH$ là đường trung bình của tam giác $MNE$ suy ra $OH = \frac{1}{2}NE$

Theo định lý Pythagore cho tam giác vuông $DCN$ ta có:

$DN = \sqrt{DC^{2} + NC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}(cm)$

Lại có $CE$ là đường cao của tam giác $DCN$ nên

$EN.DN = NC^{2}$

$\Rightarrow EN = \frac{NC^{2}}{DN} = \frac{4^{2}}{2\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}(cm)$

Vậy $OH = \frac{1}{2}EN = \frac{4\sqrt{5}}{5}cm$

Dạng 2: So sánh độ dài của các dây cung và các đoạn thẳng liên quan

Phương pháp giải

Trong một đường tròn:

Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Trong một đường tròn:

Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Ví dụ: Cho đường tròn tâm $(O)$ , dây $AB$ và dây $CD$ , $AB < CD$ . Giao điểm $K$ của các đường thẳng $AB;CD$ nằm ngoài đường tròn. Đường tròn $(O;OK)$ cắt $KA$ và $KC$ tại $M;N$ . Chứng minh rằng $KM < KN$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

Kẻ $\left\{ \begin{matrix} OE\bot AB \equiv E \\ OF\bot CD \equiv F \\ \end{matrix} \right.$

Trong đường tròn nhỏ ta có: $AB < CD \Rightarrow OE > OF$

Trong đường tròn lớn ta có: $OE > OF \Rightarrow KM < KN$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB;AC$ sao cho $AB < AC$ và tâm $O$ nằm trong góc $\widehat{ABC}$ . Chứng minh rằng $\widehat{OAB} > \widehat{OAC}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

Kẻ $\left\{ \begin{matrix} OE\bot AB \equiv E \\ OF\bot AC \equiv F \\ \end{matrix} \right.$

Trong đường tròn $(O)$ ta có:

$AB < AC \Rightarrow OE > OF$

$\Rightarrow \sin\widehat{OAE} = \frac{OE}{OA} > \frac{OF}{OA} = \sin\widehat{OAF}$

$\Rightarrow \widehat{OAE} > \widehat{OAF}$ hay $\widehat{OAB} > \widehat{OAC}$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và hai dây $AB;CD$ cắt nhau tại $M$ nằm bên trong đường tròn. Gọi $H;K$ theo thứ tự là trung điểm của $AB;CD$ . Cho biết $AB > CD$ . Chứng minh rằng $MH > MK$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

Tam giác $OHM$ và $OKM$ vuông tại $H;K$ ta có:

$MH^{2} - MK^{2} = \left( MO^{2} - OH^{2} \right) - \left( MO^{2} - OK^{2} \right) = OK^{2} - OH^{2}$

Mặt khác trong đường tròn $(O)$ ta có:

$AB > AC \Rightarrow OH < OK \Rightarrow OK^{2} - OH^{2} > 0$

Suy ra $MH^{2} > MK^{2}$ hay $MH > MK$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ các dây $MN;QP$ bằng nhau, các tia $MN;PQ$ cắt nhau tại $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Gọi $E;F$ theo thứ tự là trung điểm của $MN;PQ$ . Chứng minh rằng:

a) $AE = AF$

b) $AE = AF$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây Toán 9

a) Chứng minh $AE = AF$

Vì $E;F$ lần lượt là trung điểm của $MN;QP$ nên $OE\bot MN;OF\bot QP$

Mặt khác $MN = QP \Rightarrow OE = OF$

Suy ra $AE = \sqrt{OA^{2} - OE^{2}} = \sqrt{OA^{2} - OF^{2}} = AF$

b) Chứng minh $AE = AF$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AN = AE - NE \\ AQ = AF - FQ \\ \end{matrix} \right.$ mà $\left\{ \begin{matrix} NE = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}PQ = QF \\ AE = AF \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow AE = AF$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn $(O)$ và điểm $I$ nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây $AB$ vuông góc với $OI$ tại $I$ ngắn hơn mọi dây khác đi qua $I$ .

Bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$ dây $AB$ di động sao cho $\widehat{AOB} = 60^{0}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ . Chứng minh rằng điểm $M$ luôn di động trên đường tròn cố định.

Bài 3: Cho đường tròn $(O;R)$ có $R = OA = 11cm$ . Điểm $M$ thuộc bán kính $OA$ và cách $O$ là $7cm$ . Qua điểm $M$ kẻ dây $CD$ có độ dài $18cm$ , $MC < MD$ . Tính các độ dài $MC;MD$ .

Bài 4: Cho đường tròn $(O;25)$ . Hai dây $AB;CD$ song song với nhau và có độ dài lần lượt là $40cm;48cm$ . Tính khoảng cách giữa hai dây $AB;CD$ .

Bài 5: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $10dm$ . Điểm $M$ cách $O$ một khoảng bằng $3dm$ .

a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua $M$ .

b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua $M$ .

Bài 6: Cho đường tròn tâm $O$ , dây $AB = 24cm$ dây $AC = 20cm$ . Biết $\widehat{BAC} < 90^{0}$ và điểm $O$ nằm trong góc $\widehat{BAC}$ . Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ , khoảng cách từ $M$ đến $AB$ bằng $8cm$ .