Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Liên hệ giữa phép nhân, phép chia và phép khai phương 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Với $A \geq 0;B \geq 0$ ta có: $\sqrt{AB} = \sqrt{A}.\sqrt{B}$
Với $A \geq 0;B > 0$ ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$
Với $A \geq 0;B \geq 0$ ta có: $\sqrt{A^{2}B} = A.\sqrt{B}$
Với $A.B \geq 0;B \neq 0$ ta có: $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{AB}}{|B|}$

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5\sqrt{5} - 3\sqrt{45} + \sqrt{20}$	b) $14\sqrt{\frac{18}{49}} - 5\sqrt{\frac{32}{25}} + 6\sqrt{\frac{8}{9}}$
c) $5\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{48}$	d) $\frac{1}{5}\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{8} + 3\sqrt{2}$

Hướng dẫn giải

a) $5\sqrt{5} - 3\sqrt{45} + \sqrt{20} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

b) $14\sqrt{\frac{18}{49}} - 5\sqrt{\frac{32}{25}} + 6\sqrt{\frac{8}{9}}$

$= 14.\frac{3\sqrt{2}}{7} - 5.\frac{4\sqrt{2}}{5} + 6.\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$= 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

c) $5\sqrt{3} + \sqrt{12} - \sqrt{48} = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

d) $\frac{1}{5}\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{8} + 3\sqrt{2}$

$= \frac{5\sqrt{2}}{5} - 4\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{7 + \sqrt{7}}{2 + \sqrt{28}}$	b) $\left( \frac{\sqrt{6} + 6}{1 + \sqrt{6}} + 1 \right)\left( \frac{6 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} + 1 \right)$
c) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{16}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$	d) $\frac{\sqrt{8} - \sqrt{12}}{\sqrt{18} - \sqrt{48}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{27}}{\sqrt{30} + \sqrt{162}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{7 + \sqrt{7}}{2 + \sqrt{28}} = \frac{\sqrt{7}\left( \sqrt{7} + 1 \right)}{2\left( 1 + \sqrt{7} \right)} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

b) $\left( \frac{\sqrt{6} + 6}{1 + \sqrt{6}} + 1 \right)\left( \frac{6 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} + 1 \right)$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{6}\left( 1 + \sqrt{6} \right)}{1 + \sqrt{6}} + 1 \right\rbrack.\left\lbrack \frac{\sqrt{6}\left( \sqrt{6} - 1 \right)}{1 - \sqrt{6}} + 1 \right\rbrack$

$= \left( \sqrt{6} + 1 \right).\left( 1 - \sqrt{6} \right) = 1 - 6 = - 5$

c) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{16}}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$

$= \frac{\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} \right) + \sqrt{2}\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} \right)}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}$

$= \frac{\left( \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} \right)\left( 1 + \sqrt{2} \right)}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}} = 1 + \sqrt{2}$

d) $\frac{\sqrt{8} - \sqrt{12}}{\sqrt{18} - \sqrt{48}} - \frac{\sqrt{5} + \sqrt{27}}{\sqrt{30} + \sqrt{162}}$

$= \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}}{3\sqrt{2} - 3\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{5} + 3\sqrt{3}}{\sqrt{6}\left( \sqrt{5} + 3\sqrt{3} \right)}$

$= \frac{2}{3} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{4 - \sqrt{6}}{6}$

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức:

a) $A = \frac{\sqrt{x^{3} + 3x^{2}}}{\sqrt{x + 2}} + 4x - 7$ tại $x = - \sqrt{2}$

b) $B = \frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}$ tại $x = 10$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = - \sqrt{2}$ vào biểu thức $A = \frac{\sqrt{x^{3} + 3x^{2}}}{\sqrt{x + 2}} + 4x - 7$ ta được:

$A = \frac{\sqrt{- 2\sqrt{2} + 4}}{\sqrt{- \sqrt{2} + 2}} + 4.\left( - \sqrt{2} \right) - 7$

$A = \sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 7 = - 3\sqrt{2} - 7$

b) Thay $x = 10$ vào biểu thức $B = \frac{1}{\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}} + \frac{1}{\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}$ ta được:

$B = \frac{1}{\sqrt{10 + 2\sqrt{9}}} + \frac{1}{\sqrt{10 - 2\sqrt{9}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

Với $A \geq 0;A \neq B^{2}$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \frac{C\left( \sqrt{A} \mp B \right)}{A - B^{2}}$
Với $A \geq 0;B \geq 0;A \neq B$ ta có: $\frac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \frac{C\left( \sqrt{A} \mp \sqrt{B} \right)}{A - B}$

Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:

a) $\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{6}{\sqrt{7} - 1}$	b) $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$
c) $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}$	d) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{6}{\sqrt{7} - 1} = \frac{4\left( \sqrt{5} + 1 \right)}{5 - 1} - \frac{6\left( \sqrt{7} + 1 \right)}{7 - 1}$

$= \frac{4\left( \sqrt{5} + 1 \right)}{4} - \frac{6\left( \sqrt{7} + 1 \right)}{6} = \sqrt{5} - \sqrt{7}$

b) $\frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$

$= \frac{4\left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)}{7 - 3} + \frac{3\left( \sqrt{6} + \sqrt{3} \right)}{6 - 3}$

$= \frac{4\left( \sqrt{7} - \sqrt{3} \right)}{4} + \frac{3\left( \sqrt{6} + \sqrt{3} \right)}{3} = \sqrt{7} + \sqrt{6}$

c) $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}}$

$= \sqrt{\frac{\left( 2 + \sqrt{3} \right)\left( 2 + \sqrt{3} \right)}{4 - 3}} + \sqrt{\frac{\left( 2 - \sqrt{3} \right)\left( 2 - \sqrt{3} \right)}{4 - 3}}$

$= \sqrt{\left( 2 + \sqrt{3} \right)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{3} \right)^{2}}$

$= \left| 2 + \sqrt{3} \right| + \left| 2 - \sqrt{3} \right| = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4$

d) $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 - \left( 2 - \sqrt{3} \right)} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2 - \left( 2 - \sqrt{3} \right)}$

$= \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$

$= \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $2\sqrt{32} - 4\sqrt{18} + 5\sqrt{2} - \sqrt{50}$	b) $3\sqrt{45} - 7\sqrt{80} + \sqrt{125} - 2\sqrt{20}$
c) $\frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{6}}{2 + \sqrt{3}} + \frac{2\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 1}$	e) $\sqrt{\frac{x - 4\sqrt{x} + 4}{x + 4\sqrt{x} + 4}};(x \geq 0)$
d) $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \left( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right)^{2}$ với $x,y > 0,x \neq y$