Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Cho tam giác $ABC;\widehat{A} = 90^{0}$ , độ dài các cạnh như hình vẽ:

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Ta có:

$\sin\widehat{B} = \frac{b}{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}b = a.sin\widehat{B} \\a = \dfrac{b}{\sin\widehat{B}} \\\end{matrix} \right.$	$\cos\widehat{B} = \frac{c}{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}c = a.cos\widehat{B} \\a = \dfrac{c}{\cos\widehat{B}} \\\end{matrix} \right.$
$\tan\widehat{B} = \frac{b}{c}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}b = c.tan\widehat{B} \\c = \dfrac{b}{\tan\widehat{B}} \\\end{matrix} \right.$	$\cot\widehat{B} = \frac{c}{b}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}c = b.cot\widehat{B} \\b = \dfrac{c}{\cot\widehat{B}} \\\end{matrix} \right.$

Phát biểu thành lời:

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề.

+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc cotang góc kề.

2. Giải tam giác vuông

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các yếu tố chưa biết của một tam giác vuông khi biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh, không kề góc vuông).

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Phương pháp giải

Ta thực hiện giải tam giác vuông theo các bước sau:

Bước 1: Dùng hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông

Bước 2: Sử dụng bảng lượng giác hoặc máy tính cầm tay để tính các yếu tố còn lại.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ với các cạnh góc vuông $AB = 5;AC = 8$ . Hãy giải tam giác vuông $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Theo định lí Pythagore ta có:

$BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = \sqrt{5^{2} + 8^{2}} \approx 9,43$

Mặt khác $\tan\widehat{C} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{8} = 0,625$

$\Rightarrow \widehat{C} \approx 32^{0} \Rightarrow \widehat{B} \approx 90^{0} - 32^{0} = 58^{0}$

Ví dụ: Giải tam giác vuông $ABC;\widehat{A} = 90^{0}$ biết $AC = 10cm;\widehat{C} = 30^{0}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Xét tam giác $ABC;\widehat{A} = 90^{0}$ ta có:

$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{B} = 90^{0} - \widehat{C} = 90^{0} - 30^{0} = 60^{0}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$AC = BC.cos\widehat{C} \Rightarrow BC =\frac{AC}{\cos\widehat{C}} = \frac{10}{\cos30^{0}} \approx11,55(cm)$

$AB = AC.tan\widehat{C} = 10.tan30^{0} \approx 5,77(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , kẻ phân giác $BD;(D \in AC)$ . Biết $AB = 12cm;\widehat{C} = 40^{0}$ . Tính độ dài các cạnh:

a) $AC$

b) $BC$

c) $BD$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Ta có:

$\tan\widehat{ACB} = \frac{AB}{AC}\Rightarrow AC = \frac{AB}{\tan\widehat{ACB}} = \frac{12}{\tan40^{0}}\approx 14,3(cm)$

$\sin\widehat{ACB} = \frac{AB}{BC}\Rightarrow BC = \frac{AB}{\sin\widehat{ACB}} = \frac{12}{\sin40^{0}}\approx 18,7(cm)$

Lại có:

$\widehat{ABC} = 90^{0} - 40^{0} = 50^{0}$

Vì $BD$ là phân giác góc B nên $\widehat{ABD} = \frac{\widehat{ABC}}{2} = \frac{50^{0}}{2} = 25^{0}$

$\cos\widehat{ABD} = \frac{AB}{BD}\Rightarrow BD = \frac{AB}{\cos\widehat{ABD}} = \frac{12}{\cos25^{0}}\approx 13,2(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $\widehat{C} = 60^{0};AB = 8cm$ . Kéo dài $CA$ một

đoạn $AE = AB$ . Kẻ $EK\bot BC$ ; $EK$ cắt $AB$ tại $Q$ .

a) Giải tam giác $ABC$ .

b) Chứng minh rằng $S_{BCE} =\frac{1}{2}BC.EB.\sin\widehat{EBC}$ .

c) Gọi $M;N;I$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BE;QC;AK$ . Chứng minh rằng: $M;N;I$ thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{0}$ (tính chất hai góc phụ nhau trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{B} = 90^{0} - \widehat{C} = 90^{0} - 60^{0} = 30^{0}$

$AC = AB.\cos\widehat{ACB} = 8.\cos60^{0} =4(cm)$

$AC^{2} + AB^{2} = BC^{2}$ (định lí Pythagore)

$\Rightarrow BC = \sqrt{AC^{2} + AB^{2}} = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} \approx 8,94(cm)$

b) Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác $EKB$ vuông tại $K$ ta có:

$\sin\widehat{EBC} = \frac{EK}{EB}\Rightarrow EK = EB.\sin\widehat{EBC}$

$VP = \frac{1}{2}BC.\left(EB.\sin\widehat{EBC} \right) = \frac{1}{2}EC.EK = S_{BCE} =VT(dpcm)$

c) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có cùng cạnh huyền

$\Delta QKC;\Delta QAC$ có $N$ là trung điểm của $QC$ :

$NK = NA = \frac{QC}{2}$

$\Delta EKB;\Delta EAB$ có $M$ là trung điểm của $EB$ :

$MK = MA = \frac{BE}{2}$

Suy ra $M;N$ thuộc trung trực của $AK$ . Lại có $I$ là trung điểm của $AK$ nên $M;N;I$ thẳng hàng.

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Phương pháp giải

Ta thực hiện giải tam giác vuông theo các bước sau:

Bước 1: làm xuất hiện tam giác vuông bằng cách kẻ thêm đường cao.

Bước 2: Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $BC = 11cm;\widehat{ABC} = 38^{0};\widehat{ACB} = 30^{0}$ . Kẻ đường vuông góc $AN;(N \in BC)$ . Tính độ dài đoạn $AN$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Ta có: $\tan\widehat{ABC} =\tan38^{0} =\frac{AN}{BN} \Rightarrow BN = \frac{AN}{\tan38^{0}}$

Tương tự ta $NC =\frac{AN}{\tan30^{0}}$ .

Ta có:

$BC = BN + NC$

$\Leftrightarrow 11 =\frac{AN}{\tan38^{0}} + \frac{AN}{\tan30^{0}}$

$\Leftrightarrow 11 = AN.\left(\frac{1}{\tan38^{0}} + \frac{1}{\tan30^{0}} \right)$

$\Leftrightarrow AN =\dfrac{11}{\dfrac{1}{\tan38^{0}} + \dfrac{1}{\tan30^{0}}} \approx3,65(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $BC = 6cm;\widehat{B} = 60^{0},\widehat{C} = 40^{0}$ . Tính:

a) Chiều cao $CH$ , độ dài cạnh $AC$ .

b) Diện tích tam giác $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

a) Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin\widehat{HBC} = \frac{CH}{BC}$

$\Rightarrow CH = BC.sin\widehat{HBC} = 6.sin60^{0} = 3\sqrt{3}$

Mà $\widehat{CAB} = 180^{0} - 40^{0} - 60^{0} = 80^{0}$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin\widehat{CAH} = \frac{CH}{AC} \Rightarrow AC = \frac{CH}{\sin\widehat{CAH}} = \frac{3\sqrt{3}}{sin80^{0}} = 5,28(cm)$

b) Ta có: $\tan\widehat{CAH} = \frac{CH}{AH} \Rightarrow AH = \frac{CH}{\tan\widehat{CAH}} = \frac{3\sqrt{3}}{tan80^{0}}$

$\tan\widehat{HBC} = \frac{CH}{HB} \Rightarrow HB = \frac{CH}{tan60^{0}} = 3(cm)$

Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}CH.AB = \frac{1}{2}.CH.(AH + HB)$

$= \frac{1}{2}.3\sqrt{3}.\left( \frac{3\sqrt{3}}{tan80^{0}} + 3 \right) \approx 10,17\left( cm^{2} \right)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết rằng đường cao ứng với cạnh bên bằng $h$ , góc ở đáy bằng $\alpha$ . Chứng minh rằng: $S_{ABC} = \frac{h^{2}}{4sin\alpha.cos\alpha}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Gọi BE là đường cao tương ứng với cạnh AC

Xét tam giác BEC vuông tại E ta có:

$BC = \frac{BE}{\sin\alpha} = \frac{h}{\sin\alpha}$ (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

$\Rightarrow BH = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{h}{2sin\alpha}$

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

$AH = CH.tan\alpha$ (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AH = \frac{h}{2sin\alpha}.tan\alpha = \frac{h}{2sin\alpha}.\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{h}{2cos\alpha}$

Ta có:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{h}{2cos\alpha}.\frac{h}{\sin\alpha} = \frac{h^{2}}{4sin\alpha.cos\alpha}(dpcm)$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác $ABC;\widehat{A} = 90^{0}$ có: $BC = a;AB = c;AC = b$ . Giải tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:

a) $b = 13;\widehat{B} = 45^{0}$	c) $a = 39;b = 36$
b) $b = 25;\widehat{C} = 75^{0}$	d) $b = 8;c = 6$

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $(AC > AB)$ . Kẻ đường cao $AH;(H \in BC)$ . Gọi $D;E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $AB;AC$ .

a) Chứng minh rằng $AD.AB = AE.AC$ và $\Delta ABC\sim\Delta AED$ .

b) Tính độ dài đoạn $DE$ .

c) Tính số đo góc $\widehat{ABC}$ .

d) Tính diện tích tam giác $ADE$ .

Bài 3: Giải tam giác $ABC$ trong các trường hợp sau:

a) $\widehat{B} = 65^{0};\widehat{C} = 45^{0};BC = 4,2cm$

b) $\widehat{A} = 70^{0};AB = 12cm;AC = 17cm$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 70^{0};\widehat{C} = 45^{0};AC = 4cm$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .

Bài 5: Tứ giác $ABCD$ có $O$ là giao điểm hai đường chéo. Biết $AC = 4cm;BD = 5cm;\widehat{AOB} = 60^{0}$ . Tính diện tích tứ giác $ABCD$ .

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Kẻ đường cao $AH;(H \in BC)$ .

a) Biết $BC = 12;CH = 9$ . Tính số đo góc $\widehat{ABC}$ .

b) Lấy điểm $D$ nằm giữa hai điểm $A;C$ . Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$ . Chứng minh rằng: $BK.BD = BH.BC$ .

c) Chứng minh: $\widehat{AHK} = \widehat{KAD}$ .

Bài 7: Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và $B$ ; $\widehat{D} = 45^{0}$ , độ dài đáy nhỏ $BC$ và đáy lớn $AD$ lần lượt là $6cm;8cm$ .

a) Tính độ dài cạnh $AD;CD;S_{ABCD}$ .

b) Gọi $M;N;E;F$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD;BD;AC$ . Chứng minh bồn điểm $M;N;E;F$ thẳng hàng.

c) Tia $BN$ cắt $AD$ tại $K$ , tia $EN$ cắt $CK$ tại $Q$ . Chứng minh $BCKD$ là hình bình hành và $QB = QA$ .

d) Chứng minh: $CK^{2} = AC^{2} + AK^{2} - AC.AK.cos\widehat{KAC}$ .

Bài 8: Cho tam giác nhọn $ABC;(AB > AC)$ . Kẻ đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ . Giả sử $\widehat{MAH} = \alpha$ . Chứng minh $\tan\alpha = \frac{\cot\widehat{B} - \cot\widehat{C}}{2}$ .

Bài 9: Một cano với vận tốc thực 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ một góc $70^{0}$ . Xác định chiều rộng của khúc sông?

Bài 10: Tại độ cao 920m so với mặt đất, trên máy bay trực thăng người ta nhìn 2 điểm $C;D$ của hai đầu cầu so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là $40^{0};30^{0}$ . Xác định độ dài cây cầu $AB$ ?

Bài 11: Sau cơn bão, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất và tạo với mặt đất một góc $30^{0}$ . Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc tre bằng $8,5m$ . Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất, hãy tính chiều cao của cây tre đó? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài 12: Tính chiều cao của ngọn núi, biết rằng tại hai điểm cách nhau $600m$ trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là $48^{0}$ và $34^{0}$ ?

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

90.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ