Phương pháp chọn điểm rơi của biểu thức bất đối xứng

Chuyên đề Bất đẳng thức gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương pháp chọn điểm rơi của biểu thức bất đối xứng 5,0

1. Biểu thức không đối xứng với các biến

Cho biểu thức $Q = 4a + 5b + \frac{12}{a} + \frac{6}{b}$

Nếu ta hoán đổi vai trò của $a;b$ cho nhau thì biểu thức $Q$ sẽ thay đổi nên ta nói biểu thức $Q$ không là biểu thức đối xứng với vai trò các biến không bình đẳng với nhau. Vậy điểm rơi $a \neq b$ .

2. Phương pháp chọn điểm rơi của biểu thức bất đối xứng

Dạng 1: Giả sử điểm rơi

Ví dụ. Cho $a,b > 0$ và thỏa mãn $a + b \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức: $P = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: $a = x,b = y(x,y > 0) \Rightarrow x + y = 3$

Dựa trên liên hệ x và y ta đặt:

$x = ty(t > 0) \Rightarrow x + y = y.(t + 1) = 3 \Leftrightarrow y = \frac{3}{t + 1}$

Khi đó thì: $P = \frac{t + 1}{6t} +\frac{2}{3}(t + 1) + 3$ $= \left( \frac{1}{6t} + \frac{2t}{3} \right) +\frac{32}{6} \geq 2\sqrt{\frac{1}{9}} + \frac{32}{6} =\frac{9}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{1}{6t} = \frac{2t}{3}(t > 0) \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \frac{b}{2};a + b = 3 \Rightarrow a = 1;b = 2$

Vậy $MinP = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 1,b = 2$

Nhận xét: Khi đã biết điểm rơi đạt tại $a = 1,b = 2$

Ta tách như sau:

$M = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}$ $=\left( \frac{1}{2a} + \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{2}{b} +\frac{b}{2} \right) + \frac{a + b}{2}$ $\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}} + 2 +\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Ví dụ. Cho $a,b > 0$ và $a + b = \frac{5}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{4}{a} + \frac{1}{4b}$ .

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: $a = x,b = y(x,y > 0) \Rightarrow x + y = \frac{5}{4}$

Ta đặt $x = ty(t > 0) \Rightarrow y(t +1) = \frac{5}{4}$ $\Leftrightarrow y = \frac{5}{4(t + 1)} \Rightarrow x =\frac{5t}{4(t + 1)}$

Khi đó $P = \frac{16(t + 1)}{5t} + \frac{t + 1}{5} = \frac{1}{5}\left( \frac{16}{t} + t \right) + \frac{17}{5} = 5.$

Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{16}{t} = t(t> 0) \Leftrightarrow t = 4$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 4y \\x + y = \dfrac{5}{4} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = a = 1 \\y = b = \dfrac{1}{4} \\\end{matrix} \right.\ .$

Vậy $MinP = 5 \Leftrightarrow a = 1,b = \frac{1}{4}.$

Nhận xét: Với điểm rơi bên trên, ta có hướng tách như sau:

Ta có $a = 1,b = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow P= \left( \frac{4}{a} + 4a \right) + \left( \frac{1}{4b} + 4b \right) - 3$ $\geq 2\sqrt{16} + 2 - 5 = 5.$

Ví dụ. Cho $a,b > 0$ và $\sqrt{ab}(a - b) = a + b.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = a + b$ .

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có:

$\sqrt{ab}(a - b) = a + b > 0 \Rightarrow a > b.$

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: $a = x,b = y$ ( $x > y$ do $a > b$ ) $\Rightarrow \sqrt{xy}(x - y) = x + y.$

Ta đặt: $x = ty$ ( $t > 1$ do $x > y$ ) $\Rightarrow y\sqrt{t}(t - 1) = t + 1 \Leftrightarrow y = \frac{t + 1}{\sqrt{t}(t - 1)}$ .

Ta có: $P = y(t + 1) = \frac{(t +1)^{2}}{\sqrt{t}(t - 1)}$ $= \frac{(t - 1)^{2} + 4t}{\sqrt{t}(t - 1)} =\frac{t - 1}{\sqrt{t}} + \frac{4\sqrt{t}}{t - 1} \geq 4.$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{t -1}{\sqrt{t}} = \frac{4\sqrt{t}}{t - 1}(t > 1)$ $\Leftrightarrow t^{2} -6t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 3 + 2\sqrt{2}.$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} x = \left( 3 + 2\sqrt{2} \right)y \\ x + y = 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = a = 2 + \sqrt{2} \\ y = b = 2 - \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $MinP = 4 \Leftrightarrow a = 2 + \sqrt{2},b = 2 - \sqrt{2}.$

Nhận xét: Với ví dụ trên thì vị trí điểm rơi “rất xấu” nên kỹ thuật này tỏ ra rất hiệu quả, khi đã biết điểm rơi ta có thể làm như sau:

$(a + b)^{2} = ab(a - b)^{2} = \frac{1}{4}.4ab.\left\lbrack (a + b)^{2} - 4ab \right\rbrack.$

$\Rightarrow (a + b)^{2} \leq \frac{1}{16}\left\lbrack 4ab + (a + b)^{2} - 4ab \right\rbrack^{2} = \frac{(a + b)^{4}}{16}.$

Khi đó $a + b \geq 4 \Rightarrow MinP = 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a + b = 4 \\\sqrt{ab}(a - b) = a + b \\4ab = (a + b)^{2} - 4ab \\\end{matrix} \right.\ (a > b > 0)$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = 2 + \sqrt{2} \\b = 2 - \sqrt{2} \\\end{matrix} \right.\ .$

Ví dụ. Cho $a,b > 0$ và $2a + 3b \leq 4$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$P = \frac{2002}{a} + \frac{2017}{b} + 2996a - 5501b.$

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm rơi đạt tại $a = \frac{1}{2},b = 1.$

Ta tách $P = 2002\left( \frac{1}{a} + 4a \right) + 2017\left( \frac{1}{b} + b \right) - 2506(2a + 3b) \geq 2018.$

Vậy $MinP = 2018 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2},b = 1.$

Dạng 2: Cân bằng hệ số

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 4a^{2} + 6b^{2} + 3c^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta giả sử điểm rơi đạt tại: $\left\{ \begin{matrix} a = x \\ b = y \\ c = z \\ \end{matrix} \right.\ ;(x;y;z > 0) \Rightarrow x + y + z = 3$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} 4\left( a^{2} + x^{2} \right) \geq 8ax \\ 6\left( b^{2} + y^{2} \right) \geq 12by \\ 3\left( c^{2} + z^{2} \right) \geq 6cz \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left( 4a^{2} + 6b^{2} +3c^{2} \right) + \left( 4x^{2} + 6y^{2} + 3z^{2} \right)$ $\geq 8ax + 12by+ 6cz$

Ta cần tìm x, y, z sao cho: $\left\{\begin{matrix}8x = 12y = 6z \\x + y + z = 3 \\\end{matrix} \right.\ (x,y,z > 0)$ $\Leftrightarrow x = 1,y =\frac{2}{3},z = \frac{4}{3}$

Từ đó: $A \geq 8x(a + b + c) - \left( 4x^{2} + 6y^{2}3z^{2} \right) = 24 - 12 = 12$

Vậy $MinA = 12 \Leftrightarrow x = 1,\ \ y = \frac{2}{3},\ \ z = \frac{4}{3}\ \ hay\ \ a = 1,b = \frac{2}{3},c = \frac{4}{3}$

Ví dụ. Cho $x;y;z > 0$ và $xy + yz + zx = 1$ . Tìm GTNN của biểu thức $B = x^{2} + 28y^{2} + 28z^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: $y = z \neq x$

Do đó $B = {x^2} + 28{y^2} + 28{z^2}$ $= \left( {28 - k} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right) + \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + k{y^2}} \right),\left( {0 < k < 28} \right)$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$B \geq 2(28 - k)yz + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.xy + 2\sqrt{\frac{k}{2}}.zx$

Dựa trên giả thiết ta cần tìm k sao cho: $\left\{ \begin{gathered} 28 - k = \sqrt {\frac{k}{2}} \hfill \\ 0 < k < 28 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow k = \frac{{49}}{2}$

Vậy $B = \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2}\right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49y^{2}}{2} \right)$ $\geq 7(xy +yz + zx) = 7$

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}y = z = \dfrac{x}{7} \\xy + yz + zx = 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\\end{matrix} \right.$

Cách 2: Vì vai trò bình đẳng của y và z nên điểm rơi đạt được tại: $y = z \neq x$

Do đó: $\left\{ \begin{matrix} a\left( y^{2} + z^{2} \right) \geq 2a.yz \\ bx^{2} + cz^{2} \geq 2\sqrt{bc}.zx \\ bx^{2} + cy^{2} \geq 2\sqrt{bc}.xy \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 2bx^{2} + (a + c)y^{2} + (a+ c)z^{2}$ $\geq 2\sqrt{bc}.xy + 2a.yz + 2\sqrt{bc}.zx$

Dựa trên giả thiết ta cần tìm $a;b;c$ sao cho:

$\left\{ \begin{matrix}a = \sqrt{bc} \\2b = 1 \\a + c = 28 \\\end{matrix} \right.\ (a,b,c > 0) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = \dfrac{7}{2} \\b = \dfrac{1}{2} \\c = \dfrac{49}{2} \\\end{matrix} \right.$

Từ đó ta được:

$B = \left( \frac{x^{2}}{2} +\frac{49}{2}z^{2} \right) + \left( \frac{x^{2}}{2} + \frac{49}{2}y^{2}\right) + \frac{7}{2}\left( y^{2} + z^{2} \right)$ $\geq 7(xy + yz + zx) =7$

Vậy $MinB = 7 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y = z = \dfrac{x}{7} \\xy + yz + zx = 1 \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{7}{\sqrt{15}} \\y = z = \dfrac{1}{\sqrt{15}} \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ. Cho $a;b > 0$ và thoả mãn $a + b \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $M = a + b + \frac{1}{2a} + \frac{2}{b}$ .

Hướng dẫn giải

Để tìm điểm rơi ta giả sử đạt tại:

a = x, b = y $\Rightarrow$ x + y = 3 $\Leftrightarrow$ y = 3 – x > 0 $\Rightarrow$ 0 < x < 3.

Ý tưởng là quy về một ẩn x xét cho dễ:

$M_{\min} = (x + y) + \frac{1}{2x} + \frac{2}{y} = 3 + \frac{1}{2x} + \frac{2}{3 - x}(0 < x < 3).$

Dùng máy tính CASIO với chức năng TABLE tìm ra x = 1 $\Rightarrow$ y = 2

Như vậy điểm rơi đạt tại a = 1, b = 2

Ta tách:

$M = a + b + \frac{1}{2a} +\frac{2}{b}$

$= \left( \frac{1}{2a} + \frac{a}{2} \right) + \left(\frac{2}{b} + \frac{b}{2} \right) + \frac{a + b}{2}$

$\geq2\sqrt{\frac{1}{4}} + 2 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Vậy Min M = $\frac{9}{2}$ $\Leftrightarrow a = 1,b = 2$ .

Dạng 3: Điểm rơi đạt tại biên

Ví dụ. Cho $a;b;c$ thỏa mãn $abc \geq 6,bc \geq 6,c \geq 3$ . Chứng minh rằng: $a + b + c \geq 6$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại biên: $\left\{ \begin{matrix} abc = 6 \\ bc = 6 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow a = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$

Từ đó ta ghép:

$\left( a + \frac{b}{2} +\frac{c}{3} \right) + \left( \frac{b}{2} + \frac{c}{3} \right) +\frac{c}{3}$ $\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{6}} + 2\sqrt{\frac{bc}{6}} +\frac{c}{3} \geq 3 + 2 + 1 = 6$

Vậy $a + b + c \geq 6$ .

Ví dụ. Cho $x;y$ thỏa mãn $0 < x \leq 1;2 \leq y < 3;x + y = 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại biên: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow y = 2x$

Từ đó ta xét:

$2P = \frac{2}{x} + \frac{2}{y} = \left(\frac{1}{2x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} \right) + \frac{3}{2x}$ $\geq\frac{9}{2(x + y)} + \frac{3}{2} = 3 \Rightarrow P \geq\frac{3}{2}$

Vậy MinP = $\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow x = 1,y = 2$ .

Ví dụ. Cho $a;b;c \geq 0$ và $a + b + c = 1$ . Chứng minh rằng:

$\sqrt{5a + 4} + \sqrt{5b + 4} + \sqrt{5c + 4} \geq 7$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta dễ thấy điểm rơi tại (a, b, c) = (1, 0, 0) và các hoán vị.

Từ giả thiết ta có:

$0 \leq a \leq 1 \Rightarrow a^{2} \leq a$ $\Rightarrow \sqrt{5a + 4} = \sqrt{a + 4a + 4}$ $\geq \sqrt{a^{2} + 4a + 4}= a + 2$

Tương tự ta có: $\sqrt{5b + 4} \geq b + 2,$ $\sqrt{5c + 4} \geq c + 2$

Vậy: $\sqrt{5a + 4} + \sqrt{5b + 4} + \sqrt{5c + 4} \geq a + b + c + 6 = 7$

Cách 2: Ta đặt: $x = \sqrt{5a + 4}$ ; $y = \sqrt{5b + 4}$ , $z = \sqrt{5c + 4}$ $\Rightarrow x^{2} + y^{2}+ z^{2} = 17$

Vì $0 \leq a,b,c \leq 1 \Rightarrow 2 \leq x,y,z \leq 3$ $\Rightarrow (x - 2)(x - 3) \leq 0 \Leftrightarrow x^{2}\leq 5x - 6.$

Tương tự ta được: $y^{2} \leq 5y - 6$ , $z^{2} \leq 5z - 6$ .

Cộng vế với vế ta được:

$5(x + y + z) - 18 \geq 17 \Leftrightarrow 5P \geq 35 \Leftrightarrow P \geq 7$

3. Ứng dụng nguyên lí Dirichlet chứng minh bất đẳng thức

a) Nguyên lý Dirichlet cơ bản

Nếu nhốt $n + 1$ con thỏ vào $n$ chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ $\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)$ .

Nguyên lý này tưởng chừng đơn giản nhưng nó có nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học (số học, hình học tổ hợp …). Cụ thể hơn ta có mệnh đề sau.

b) Mệnh đề

Trong ba số thức bất kỳ $a;b;c$ luôn tìm được hai số có tích không âm (cùng dấu).

Đây là một mệnh đề quan trọng bởi khi ta đã tìm ra điểm rơi thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức.

Cụ thể nếu điểm rơi đạt tại $a = b = c = k$ thì ta có thể giả sử hai số là $a - k$ và $b - k$ có tích không âm tức là $(a - k)(b - k) \geq 0$ .

Ví dụ. Cho $a;b;c > 0$ . Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc + 1 \geq 2(ab + bc + ca)$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: $a = b = c = 1$

Theo mệnh đề trên trong 3 số $a - 1;b - 1;c - 1$ luôn có hai số có tích không âm.

Không mất tính tổng quát ta giả sử:

$(a - 1)(b - 1) \geq 0 \Leftrightarrow ab + 1 \geq a + b$

$\Leftrightarrow 2c(ab + 1) \geq 2c(a + b) \Leftrightarrow 2abc \geq 2ac + 2bc - 2c$

Vậy ta cần chứng minh: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 \geq 2ab + 2c$

Thật vậy: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1 \geq2ab + 2c$ $\Leftrightarrow (a - b)^{2} + (c - 1)^{2} \geq 0\forall a;b;c$

Bất đẳng thức sau luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi: $a = b = c = 1$ .

Ví dụ. Cho $a;b;c > 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} + abc = 4$ . Chứng minh rằng: $ab + bc + ca \leq 2$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: a = b = c = 1.

Theo mệnh đề trên trong 3 số a - 1; b – 1 và c - 1 luôn có hai số có tích không âm.

Không mất tính tổng quát ta giả sử: (a - 1)(b - 1) ≥ 0 ⇔ ac + bc - c ≤ abc (1).

Mặt khác:

4 = a² + b² + c² + abc ≥ 2ab + c² + abc ⇔ 4 - c² ≥ ab (c + 2) ⇔ ab ≤ 2 - c (2).

Cộng vế của (1) và (2) ta được: ab + bc + ca ≤ abc + 2.

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = 1.

Ví dụ. Cho $a;b;c > 0$ và $abc = 1$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + 3 \geq 2(a + b + c)$ .

Hướng dẫn giải

Ta đặt: $x = \frac{1}{a};y = \frac{1}{b};z = \frac{1}{c}$ (x; y; z > 0 và xyz = 1).

Ta cần chứng minh:

x² + y² + z² + 3 ≥ 2 ( $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ ) ⇔ x² + y² + z² + 3 ≥ 2(xy + yz + zx).

Lại có:

x² + y² + z² + 3 = x² + y² + z² + 2xyz + 1 ≥ 2(xy + yz + zx).

Suy ra điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = 1.

4. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho $a,b > 0$ và $a + b \geq 6$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = 3a + 2b + \frac{6}{a} + \frac{8}{b}$ .

Bài 2: Cho $a,b > 0$ và $4a + b + \sqrt{ab} = 1.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{ab}.$

Bài 3: Cho $a,b > 0$ và $2a + b \geq 7.$ Tìm GTNN của biểu thức $S = a^{2} - a + 3b + \frac{9}{a} + \frac{1}{b} + 9.$

Bài 4: Cho $a,b > 0$ và $\frac{2017}{a} + \frac{2018}{b} = 1.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = a + b.$

Bài 5: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = a^{2} + b^{2} + c^{3}$ .

Bài 6: Cho $x,y,z\mathbb{\in R}$ và $xy + yz + zx = 1$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = 10x^{2} + 10y^{2} + z^{2}$ .

Bài 7: Cho $a;b;c$ thỏa mãn $a,b \geq 0,\ \ c \geq 3,\ \ a + b + c = 6$ . Chứng minh rằng: $abc \leq \frac{27}{4}$ .

Bài 8: Cho a, b thỏa mãn 0 $\leq$ a $\leq$ 3, a = b = 11. Chứng minh rằng: ab $\leq$ 24.

Bài 9: Cho $x;y > 0$ và $xy \geq 6;y \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = x + y + 2013$ .

Bài 10: Cho $0 \leq x,y,z \leq 1$ . Tìm GTLN của biểu thức: $M = x^{10} + y^{6} - z^{2016} - xy - yz - zx$ .

Bài 11: Cho $0 \leq x \leq 1.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} + 2\sqrt{x}.$

Bài 12: Cho $a;b;c > 0$ . Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc + 3 \geq (a + 1)(b + 1)(c + 1)$ .

Bài 13: Cho $a;b;c > 0$ và $abc = 1$ . Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + a + b + c \geq 2(ab + bc + ca)$ .

Bài 14: Cho $a;b;c > 0$ và thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} + abc = 4$ . Chứng minh rằng: $a + b + c \leq 3$ .

Bài 15: Cho $a;b;c > 0$ và thỏa mãn $ab + bc + ca + abc = 4$ . Chứng minh rằng: $a + b + c \geq ab + bc + ca$ .

Bài 16: Cho $a;b;c > 0$ và $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2abc = 1$ . Tìm GTLN của $P = ab + bc + ca - abc$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

90.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ