Phương pháp chọn điểm rơi của biểu thức đối xứng

Chuyên đề Bất đẳng thức gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương pháp chọn điểm rơi của biểu thức đối xứng 5,0

1. Biểu thức đối xứng với các biến

Cho biểu thức $P = \frac{1}{2a + b + c} + \frac{1}{a + 2b + c} + \frac{1}{a + b + 2c}$

Nếu ta hoán đổi vai trò của $a;b;c$ cho nhau thì biểu thức P không thay đổi nên ta nói biểu thức P là biểu thức đối xứng với vai trò các biến bình đẳng với nhau.
Vậy điểm rơi đạt được khi các biến có giá trị bằng nhau tức là $a = b = c$ .

2. Phương pháp chọn điểm rơi

Chọn điểm rơi chính là việc dự đoán dấu bằng xảy ra tại các giá trị của biến.
Nếu biểu thức có điều kiện rằng buộc thì GTNN hoặc GTLN thường đạt tại vị trí biên.
Thông thường với các biểu thức đối xứng thì dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau.

Dạng 1: Dự đoán điểm rơi

Ví dụ. Cho $a \geq 3$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = a + \frac{1}{a}$ .

Phân tích

Sai lầm: Nếu vội vàng, ta dẫn đến lời giải sau:

Sử dụng đẳng thức AM-GM cho 2 số dương, ta được: $P = a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}} = 2$

Đẳng thức xảy ra khi $a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1 < 3$

Vậy không có a thỏa mãn nên lời giải trên là sai.

Từ đó việc dự đoán dấu “=” xảy ra (tức chọn điểm rơi) là vô cùng quan trọng.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Chọn điểm rơi tại $a = 3$ .

Với $a = 3 \Rightarrow a \neq \frac{1}{a}$ nên để sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta phải thêm hệ số $k > 0$ như sau: $P = \left( \frac{1}{a} + ka \right) + (a - ka)$

Tìm k dựa trên dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{1}{a} = ka \\a = 3 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow 3k = \frac{1}{3} \Leftrightarrow k =\frac{1}{9}$ .

Với hướng phân tích như trên, ta có lời giải chi tiết:

$P = \frac{1}{a} + \frac{a}{9} + \frac{8a}{9} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{9}} + \frac{8.3}{9} = \frac{10}{3} \Rightarrow MinP = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$

Cách 2:

Ta có: $P = \left( a + \frac{9}{a} \right) - \frac{10}{3} \geq 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \Rightarrow \min P = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3$

Cách 3:

$P - \frac{10}{3} = a + \frac{1}{a} -\frac{10}{3} = \frac{3a^{2} - 10a + 3}{3a}$ $= \frac{3(a - 3)^{2} + 8(a -3)}{3a} \geq 0 \Rightarrow P \geq \frac{10}{3}$

Đẳng thức xảy ra tại $a = 3$

Ví dụ. Cho $a \geq 2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2}} + a$ .

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại $a = 2$

Ta có: $P = \frac{1}{a^{2}} + \frac{a}{8}+ \frac{a}{8} + \frac{3a}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} +\frac{3}{4}.2 = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow \min P = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2$

Cách 2:

Ta có: $P = \left( \frac{a}{2} +\frac{a}{2} + \frac{4}{a^{2}} \right) - \frac{3}{a^{2}} \geq 3 -\frac{3}{4} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow MinP = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2.$

Cách 3:

Xét hiệu:

$P - \frac{9}{4} = \frac{1}{a^{2}} + a -\frac{9}{4} = \frac{4a^{3} - 9a^{2} + 4}{4a^{2}}$ $= \frac{(a - 2)\left(4a^{2} - a - 2 \right)}{4a^{2}} \geq 0\ (\forall a \geq 2) \Rightarrow P\geq \frac{9}{4}.$

Dấu bằng xảy ra tại $a = 2.$

Cách 4:

Ta có: $P = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{4} \right) + \frac{3a}{4} - \frac{1}{4} \geq 0 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.$

Đẳng thức xảy ra khi $a = 2.$

Ví dụ. Cho $x > 0;y > 0$ và $x + y = 2.$ Chứng minh rằng: $x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: $x = y = 1.$

Khi đó ta có: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} + 1 \geq 2x \\ y^{2} + 1 \geq 2y \\ \end{matrix} \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 \geq 2(x + y) \right.\ = 4 \Rightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Cách 2:

Ta có: $(x - y)^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2xy \Leftrightarrow 2\left( x^{2} + y^{2} \right) \geq (x + y)^{2} = 4 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2.$

Cách 3:

Ta có: $2 = x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow \sqrt{xy} \leq 1 \Leftrightarrow xy \leq 1 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy \geq 2^{2} - 2.1 = 2.$

Ví dụ. Cho $a > 0;b > 0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = \frac{a + b}{\sqrt{ab}} + \frac{\sqrt{ab}}{a + b}.$

Hướng dẫn giải

Đặt: $t = \frac{a + b}{\sqrt{ab}}(t \geq 2) \Rightarrow P = t + \frac{1}{t} = \left( \frac{t}{4} + \frac{1}{t} \right) + \frac{3t}{4} \geq 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}.$

Vậy: $MinP = \frac{5}{2} \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow a = b > 0.$

Ví dụ. Cho $x,y > 0$ và thỏa mãn $x + y = 3.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{5}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3}{xy}.$

Hướng dẫn giải

$P = \frac{5}{x^{2} + y^{2}} +\frac{3}{xy} = 5\left( \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy} \right) +\frac{1}{2xy}$

$\geq 5.\frac{4}{(x + y)^{2}} + \frac{2}{(x + y)^{2}} =\frac{22}{(x + y)^{2}} = \frac{22}{9}.$

Vậy: $MinP = \frac{22}{9} \Leftrightarrow x = y = \frac{3}{2}.$

Ví dụ. Cho $a,b > 0$ và $a + b = 1.$ Chứng minh $\frac{3}{a^{2} + b^{2}} + \frac{2}{ab} \geq 14.$

Hướng dẫn giải

$\frac{3}{a^{2} + b^{2}} + \frac{2}{ab} =3\left( \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2ab} \right) + \frac{1}{2ab}$

$\geq 3.\frac{4}{(a + b)^{2}} + \frac{2}{(a + b)^{2}} = \frac{14}{(a +b)^{2}} = 14.$

Đẳng thức xảy ra khi: $a = b = \frac{1}{2}.$

Ví dụ. Cho $x,y > 0$ và thỏa mãn $x + y \leq 1.$ Tìm GTNN của $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy.$

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: $x = y = \frac{1}{2}.$

$P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} +\frac{1}{xy} + 4xy$

$= \left( \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}\right) + \left( 4xy + \frac{1}{4xy} \right) + \frac{1}{4xy}$

$\geq\frac{4}{(x + y)^{2}} + 2 + \frac{1}{(x + y)^{2}} \geq 7.$

Vậy $MinP = 7 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.$

Ví dụ. Cho $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $x + y \leq 4$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{xy} + 2xy$ .

Hướng dẫn giải

Ta dễ thấy điểm rơi tại $x = y = 2$

$\begin{matrix} P = \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{{35}}{{xy}} + 2xy \hfill \\= 2\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {2xy + \dfrac{{32}}{{xy}}} \right) + \dfrac{2}{{xy}} \hfill \\ \Rightarrow P \geqslant \dfrac{8}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + 16 + \dfrac{8}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \geqslant 17 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $MinP = 17 \Leftrightarrow x = y = 2$

Ví dụ. Cho $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $(x + y - 1)^{2} = xy$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{\sqrt{xy}}{x + y}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$xy = (x + y - 1)^{2} \leq \frac{(x +y)^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow 3(x + y)^{2} - 8(x + y) + 4 \leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq x + y \leq 2$

Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại $x = y = 1$

$\begin{matrix} P = \dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} \hfill \\ = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + {y^2}}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) + \left( {\dfrac{{\sqrt {xy} }}{{x + y}} + \dfrac{1}{{2xy}}} \right) \hfill \\ \Rightarrow P \geqslant \dfrac{4}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \dfrac{2}{{\sqrt {2\left( {x + y} \right)\sqrt {xy} } }} \geqslant 2 \hfill \\ \end{matrix}$

Vì $(x + y)2\sqrt{xy} \leq (x + y)^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{(x + y)2\sqrt{xy}}} \geq \frac{2}{x + y} \geq 1$

Vậy $MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1$

Ví dụ. Cho $a,\ b > 0$ và thỏa mãn $ab + 4 \leq 2b$ . Tìm GTLN của biểu thức $B = \frac{ab}{a^{2} + 2b^{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $2b \geq ab + 4 \geq 4\sqrt{ab} \Leftrightarrow \sqrt{b} \geq 2\sqrt{a} \Leftrightarrow \frac{b}{a} \geq 4$

Ta đặt $t = \frac{b}{a}\ \ (t \geq 4)$

$\Rightarrow \frac{1}{B} = \frac{a}{b} +\frac{2b}{a} = \frac{1}{t} + 2t = \left( \frac{1}{t} + \frac{t}{16}\right) + \frac{31}{16}t$

$\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{31}{16}.4 =\frac{33}{4} \Leftrightarrow B \leq \frac{4}{33}$

Vậy $MaxB = \frac{4}{33} \Leftrightarrow t = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} ab = 4 \\ b = 4a \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ. Cho $a,\ b,\ c > 0$ và $a + b + c + ab + bc + ca = 6abc$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $a + b + c + ab + bc + ca = 6abc$ $\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} = 6$

Ta đặt: $x = \frac{1}{a};\ \ y = \frac{1}{b};\ \ z = \frac{1}{c}\ \ (x,\ y,\ z > 0) \Rightarrow x + y + x + xy + yz + zx = 6$

Ta cần chứng minh: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3$

Dễ thấy điểm rơi đạt tại $x = y = z = 1$

Từ đó: $x^{2} + 1 \geq 2x;\ \ y^{2} + 1\geq 2y;\ \ z^{2} + 1 \geq 2z$ $\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3 \geq2(x + y + z)$

Mặt khác $2\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) \geq 2(xy + yz + zx)$

Cộng vế với nhau, ta được:

$3\left( x^{2} + y^{2} + z^{2} \right) + 3\geq 2(x + y + z + xy + yz + zx) = 12$ $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} +z^{2} \geq 3$

Vậy: $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 3$ .

Dạng 2: Kỹ thuật ghép cặp

Để sử dụng kỹ thuật này, ta cần chú ý đến bậc của biểu thức để ghép chúng với nhau. Cụ thể hơn chúng ta cùng xét các ví dụ dưới đây:

Ví dụ. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{c^{2}}{a} \geq a + b + c$ .

Hướng dẫn giải

Ta để ý bậc của chúng là bậc 1 nên ta cần ghép các biểu thức đồng bậc với nhau:

Ta có: $\frac{a^{2}}{b} + b \geq 2a$ ; $\frac{b^{2}}{c} + c \geq 2c$ ; $\frac{c^{2}}{a} + a \geq 2c$ .

Đẳng thức xảy ra tại a = b = c.

Ví dụ. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} \geq \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}$ .

Hướng dẫn giải

Ta để ý bậc của chúng là bậc 0, tức là ta cần ghép với hệ số:

$\frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{a^{3}}{b^{3}} + 1 \geq 3\frac{a^{2}}{b^{2}}$ ; $\frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + 1 \geq 3\frac{b^{2}}{c^{2}}$ ; $\frac{c^{3}}{a^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} + 1 \geq 3\frac{c^{2}}{a^{2}}$ .

Từ đó ta có: $2\left( \frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} \right) + 3 \geq 3\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)$ .

Mặt khác, ta cũng có được:

$3\left(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)$ $= 2\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} +\frac{c^{2}}{a^{2}} \right) + \left( \frac{a^{2}}{b^{2}} +\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)$

$\geq 2\left(\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)+ 3$ .

Khi đó:

$2\left( \frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} \right) + 3 \geq 2\left( \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right) + 3$

$\Leftrightarrow \left( \frac{a^{3}}{b^{3}} + \frac{b^{3}}{c^{3}} + \frac{c^{3}}{a^{3}} \right) \geq \left( \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \right)$

Đẳng thức xảy ra tại: a = b = c.

Ví dụ. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{(a + b)(a + c)} + \frac{b^{3}}{(b + c)(b + a)} + \frac{c^{3}}{(c + a)(c + b)} \geq \frac{3}{4}.$

Hướng dẫn giải

Ta để ý bậc của chúng là bậc 1 và điểm rơi tại a = b = c = 1.

Ta có: $\frac{a^{3}}{(a + b)(a + c)} + \frac{a + b}{8} + \frac{a + c}{8} \geq \frac{3a}{4}.$

Tương tự ta cũng có:

$\frac{b^{3}}{(b + c)(b + a)} + \frac{b + c}{8} + \frac{b + a}{8} \geq \frac{3b}{4}$ ;

$\frac{c^{3}}{(c + a)(c + b)} + \frac{c + a}{8} + \frac{c + b}{8} \geq \frac{3c}{4}.$

Cộng vế ta được: $VT \geq \frac{3(a + b + c)}{4} - \frac{a + b + c}{2} = \frac{3}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra tại: a = b = c = 1.

Ví dụ. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{b(2c + a)} + \frac{b^{3}}{c(2a + b)} + \frac{c^{3}}{a(2b + c)} \geq 1.$

Hướng dẫn giải

Ta để ý bậc của chúng là bậc 1 và điểm rơi đạt tại a = b = c = 1.

Ta có: $\frac{a^{3}}{b(2c + a)} + \frac{b}{3} + \frac{2c + a}{9} \geq a.$

Tương tự: $\frac{b^{3}}{c(2a + b)} + \frac{c}{3} + \frac{2a + b}{9} \geq b$ ; $\frac{c^{3}}{a(2b + c)} + \frac{a}{3} + \frac{2b + c}{9} \geq c.$

Vậy $\frac{a^{3}}{b(2c + a)} + \frac{b^{3}}{c(2a + b)} + \frac{c^{3}}{a(2b + c)} \geq a + b + c - \frac{2(a + b + c)}{3} = 1.$

Đẳng thức xảy ra tại: a = b = c = 1.

Dạng 3: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu

Có những bài toán áp dụng BĐT Cauchy dẫn đến việc chiều của BĐT bị ngược.

Để giải quyết vấn đề đó ta dùng kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1 + b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}} \geq \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm rơi đạt tại $a = b = c = 1$ .

Ta có: $\frac{a}{1 + b^{2}} = a.\frac{1}{1 + b^{2}} = a.\left( 1 - \frac{b^{2}}{1 + b^{2}} \right) \geq a\left( 1 - \frac{b}{2} \right) = a - \frac{ab}{2}$ .

Tương tự ta được: $\frac{b}{1 + c^{2}} \geq b - \frac{bc}{2}$ , $\frac{c}{1 + a^{2}} \geq c - \frac{ca}{2}$ .

Cộng vế với vế, ta có:

$\frac{a}{1 +b^{2}} + \frac{b}{1 + c^{2}} + \frac{c}{1 + a^{2}}$ $\geq (a + b + c) -\frac{ab + bc + ca}{2} \geq \frac{3}{2}$

Vì $ab + bc + ca \leq \frac{1}{3}(a + b +c)^{2} = 3$ $\Rightarrow (a + b + c) - \frac{ab + bc + ca}{2} \geq 3 -\frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ .

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$Q = \frac{a}{1 + b^{2}c} + \frac{b}{1 + c^{2}a} + \frac{c}{1 + a^{2}b}$

Hướng dẫn giải

Ta thấy điểm rơi đạt tại $a = b = c = 1$ .

Ta có:

$\frac{a}{1 + b^{2}c} =a.\frac{1}{1 + b^{2}c} = a.\left( 1 - \frac{b^{2}c}{1 + b^{2}c} \right)$ $\geq a.\left( 1 - \frac{b\sqrt{c}}{2} \right) = a -\frac{ab\sqrt{c}}{2}$

Tương tự ta được: $\frac{b}{1 + c^{2}a} \geq b - \frac{bc\sqrt{a}}{2}$ ; $\frac{c}{1 + a^{2}b} \geq c - \frac{ca\sqrt{b}}{2}$ .

Cộng vế với vế, ta có: $Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2}$ .

Mặt khác với điểm rơi trên ta có:

$\sqrt{c} \leq \frac{c + 1}{2} \Leftrightarrow ab\sqrt{c} \leq \frac{abc + ab}{2}$

$\Rightarrow ab\sqrt{c} + bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b} \leq \frac{1}{2}(3abc + ab + bc + ca) \leq 3$

Vì $\left\{ \begin{matrix}ab + bc + ca \leq \dfrac{1}{3}(a + b + c)^{2} = 3 \\abc \leq \left( \dfrac{a + b + c}{3} \right)^{3} = 1 \\\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow 3abc + ab + bc + ca \leq6$

Khi đó ta có :

$Q \geq (a + b + c) - \frac{ab\sqrt{c} +bc\sqrt{a} + ca\sqrt{b}}{2} \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow MinQ = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c = 1$ .

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{a + b + c}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} =a.\frac{a^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a\left( 1 - \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}}\right)$ $\geq a\left( 1 - \frac{b}{2a} \right) = a -\frac{b}{2}$ .

Tương tự ta được $\frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} \geq b - \frac{c}{2}$ ; $\frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq c - \frac{a}{2}$ .

Cộng vế với vế, ta có: $\frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{c^{3}}{c^{2} + a^{2}} \geq \frac{a + b + c}{2}$

Ví dụ. Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Chứng minh:

$\frac{1}{2 + a^{2}b} + \frac{1}{2 + b^{2}c} + \frac{1}{2 + c^{2}a} \geq 1$

Hướng dẫn giải

Ta dễ tìm thấy điểm rơi đạt tại a = b = c = 1

Với điểm rơi trên ta có:

$2 + a^{2}b = 1 + 1 + a^{2}b \geq3\sqrt[3]{a^{2}b}$ $\Rightarrow \frac{a^{2}b}{2 + a^{2}b^{2}} \leq\frac{a^{2}b}{3\sqrt[3]{a^{2}b}} =\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^{4}b^{2}}$

Ta có:

$\frac{1}{2 + a^{2}b} = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{a^{2}b}{2 + a^{2}b} \right) \geq \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{1}{3}\sqrt[3]{a^{4}b^{2}} \right)$

$\geq \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt[3]{a^{4}b^{2}} \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{18}\left( a^{2} + 2ab \right)$

Vì $\sqrt[3]{a^{4}b^{2}} = a\sqrt[3]{a.b.b} \leq \frac{a}{3}(a + 2b) = \frac{a^{2} + 2ab}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{2 + a^{2}b} \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{18}\left( c^{2} + 2ac \right)$

Tương tự $\frac{1}{2 + b^{2}c} \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{18}\left( b^{2} + 2bc \right);\frac{1}{2 + c^{2}a} \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{18}\left( c^{2} + 2ca \right)$

Vậy $\frac{1}{2 + a^{2}b} + \frac{1}{2 + b^{2}c} + \frac{1}{2 + c^{2}a} \geq \frac{3}{2} - \frac{1}{18}(a + b + c)^{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

Đẳng thức xảy ra: $a = b = c = 1$ .

3. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho $a \geq 2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P = a^{2} + \frac{1}{a}$ .

Bài 2: Cho $x,y > 0$ thỏa mãn $x \geq 2y.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M = \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}.$

Bài 3: Cho $x,y > 0$ và thỏa mãn $x + y \leq 1.$ Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy}.$

Bài 4: Cho $x,y > 0.$ Tìm GTNN của biểu thức $S = \frac{(x + y)^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{(x + y)^{2}}{xy}.$

Bài 5: Cho $x,y > 0$ và thỏa mãn $x + y \leq 1.$ Tìm GTNN của $P = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}.$

Bài 6: Cho $a,\ b > 0$ và thỏa mãn $a + b \leq 4$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab} + ab$ .

Bài 7: Cho $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $xy + 4 \leq 2y$ . Tìm GTNN của biểu thức $A = \frac{x^{2} + 2y^{2}}{xy}$ .

Bài 8: Cho $x,\ y > 0$ và thỏa mãn $xy + 1 \leq x$ . Tìm GTLN của biểu thức $Q = \frac{x + y}{\sqrt{3x^{2} - xy + y^{2}}}$ .

Bài 9: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq ab + bc + ca$ .

Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{c + a}$

Bài 11: Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: $\frac{a^{2}}{b - 1} + \frac{b^{2}}{c - 1} + \frac{c^{2}}{a - 1} \geq 12.$

Bài 12: Cho $a,b,c > 0$ và thỏa mãn $a + b + c = 3$ . Tìm GTNN của biểu thức:

$Q = \frac{a + 1}{1 + b^{2}} + \frac{b + 1}{1 + c^{2}} + \frac{c + 1}{1 + a^{2}}$

Bài 13: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Chứng minh:

$\frac{a^{2}}{a^{2} + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2} + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2} + 2a^{2}} \geq 1$

Bài 14: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Chứng minh: $\frac{a}{b^{3} + ab} + \frac{b}{c^{3} + bc} + \frac{c}{a^{3} + ca} \geq \frac{3}{2}$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ