Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm

Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn, công thức nghiệm của phương trình bậc hai gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ trong đó $x$ là ẩn, $a;b;c$ là các hệ số và $a \neq 0$ .

Giải phương trình bậc hai một ẩn là đi tìm tập nghiệm của phương trình đó.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ có biệt thức $\Delta = b^{2} - 4ac$

Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a};x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2a}$ .
Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai

Cho phương trình $ax^{2} + bx + c = 0;(a \neq 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta' = b'^{2} - ac$

Nếu $\Delta' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{b + \sqrt{\Delta'}}{a};x_{2} = \frac{- b - \sqrt{\Delta'}}{2a}$

Nếu $\Delta' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép $x_{1} = x_{2} = \frac{- b'}{a}$ .
Nếu $\Delta' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Dạng 1: Xác định các hệ số của phương trình bậc hai

Ví dụ: Xác định các hệ số $a;b;c$ của các phương trình bậc hai sau, (với $m$ là tham số)

a) $- 2x^{2} + x = 0$	b) $3x^{2} - x = 2x + 1$
c) $4x - 2 + \sqrt{3}x^{2} = 4x - 6 + x^{2}$	c) $mx^{2} - 5x + 7 = 2x^{2} - 3mx + 7$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình $- 2x^{2} + x = 0$ có hệ số $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 1 \\ c = 0 \\ \end{matrix} \right.$

b) Phương trình $3x^{2} - x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3x - 1 = 0$ có hệ số $\left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = - 3 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

c) Ta có:

$4x - 2 + \sqrt{3}x^{2} = 4x - 6 + x^{2}$

$\Leftrightarrow \left( \sqrt{3} - 1 \right)x^{2} + 4 = 0$ có hệ số $\left\{ \begin{matrix} a = \sqrt{3} - 1 \\ b = 0 \\ c = 4 \\ \end{matrix} \right.$

c) Ta có:

$mx^{2} - 5x + 7 = 2x^{2} - 3mx + 7$

$\Leftrightarrow mx^{2} - 5x + 7 - 2x^{2} + 3mx - 7 = 0$

$\Leftrightarrow (m - 2)x^{2} + (3m - 5)x = 0$ có hệ số $\left\{ \begin{matrix} a = m - 2 \\ b = 3m - 5 \\ c = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Cho phương trình $x^{2} + mx - 48 = 0(*)$

a) Tìm $m$ biết rằng phương trình có một nghiệm bằng $8$ .

b) Giải phương trình với $m$ vừa tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Vì $x = 8$ là nghiệm của phương trình (*) nên

$8^{2} + 8m - 48 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$

Vậy $m = - 2$ thì phương trình có một nghiệm bằng $8$ .

b) Với $m = - 2$ phương trình đã cho đã trở thành $x^{2} - 2x - 48 = 0$

Ta có:

$x^{2} - 2x - 48 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 6x - 48 = 0$

$\Leftrightarrow x(x - 8) + 6(x - 8) = 0 \Leftrightarrow (x + 6)(x - 8) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 8 \\ x = - 6 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 6;8 \right\}$ .

Ví dụ: Cho phương trình $x^{2} + px + q = 0$ . Tìm $p;q$ biết rằng phương trình có hai nghiệm $x_{1} = 2$ và $x_{2} = 5$ .

Hướng dẫn giải

Thay $x_{1} = 2$ và $x_{2} = 5$ vào phương trình $x^{2} + px + q = 0$ ta được:

$\left\{ \begin{matrix} 4 + 2.p + q = 0 \\ 25 + 5.p + q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3p = - 21 \\ 4 + 2.p + q = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} p = - 7 \\ q = 10 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $p = - 7;q = 10$ .

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn.

Ví dụ: Dùng công thức nghiệm để giải phương trình:

a) $x^{2} + 2x - 15 = 0$	b) $x\left( x - \sqrt{3} = 1 \right)$
c) $- 5x^{2} + 4x + 2 = 0$	d) $2(x - 1)^{2} = - 2x + 5$

Hướng dẫn giải

a) $x^{2} + 2x - 15 = 0$ có $a = 1;b = 2;c = - 15$

$\Delta = 2^{2} - 4.1.( - 15) = 4 + 60 = 64 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \frac{- 2 + \sqrt{64}}{2.1} = \frac{- 2 + 8}{2} = 3$

$x_{2} = \frac{- 2 - \sqrt{64}}{2.1} = \frac{- 2 - 8}{2} = - 5$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ - 5;3 \right\}$ .

b) $x\left( x - \sqrt{3} \right) = - 1 \Leftrightarrow x^{2} - \sqrt{3}x + 1 = 0$ có $a = 1;b = - \sqrt{3};c = 1$

$\Delta = \left( - \sqrt{3} \right)^{2} - 4.1.1 = - 1 < 0$

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $- 5x^{2} + 4x + 2 = 0$ có $a = 1;b' = 2;c = 2$

$\Delta' = 2^{2} - ( - 5).2 = 4 + 10 = 14 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \frac{2 - \sqrt{14}}{5}$ ; $x_{2} = \frac{2 + \sqrt{14}}{5}$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ \frac{2 - \sqrt{14}}{5};\frac{2 + \sqrt{14}}{5} \right\}$ .

d) $2(x - 1)^{2} = - 2x + 5 \Leftrightarrow 2x^{2} - 2x - 3 = 0$ có $a = 2;b' = - 1;c = - 3$

$\Delta' = ( - 1)^{2} - 2.( - 3) = 1 + 6 = 7 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$ ; $x_{2} = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm $S = \left\{ \frac{1 + \sqrt{7}}{2};\frac{1 - \sqrt{7}}{2} \right\}$ .

Dạng 3: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp

Xét phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$

1. Phương trình có một nghiệm kép $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.$

2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.$

3. Phương trình có một nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b \neq 0 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta = 0 \\ \end{matrix} \right.$

4. Phương trình vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.$ hoặc $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} + 2(m + 1)x + m - 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị tham số m để:

a) Phương trình có nghiệm kép.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

d) Phương trình vô nghiệm.

e) Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

c) Phương trình có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b' \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 0 \\ m + 1 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ 4m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

d) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0;b' = 0;c \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m + 1 = 0;m - 2 \neq 0 \\ m \neq 0,4m + 1 < 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0;m = - 1;m \neq 2 \\ m \neq 0,m < \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

e) Phương trình vô nghiệm.

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = b' = c = 0 \\ a = 0;b' \neq 0 \\ a \neq 0;\Delta' \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = m + 1 = m + 2 = 0 \\ m = 0;m + 1 \neq 0 \\ m \neq 0;4m + 1 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{4}$

Ví dụ: Cho phương trình $mx^{2} - 2(m - 1)x + m + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} a = m;b = - (m - 1);c = m + 1 \\ \Delta' = (m - 1)^{2} - m(m + 1) = - 3m + 1 \\ \end{matrix} \right.$

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3m + 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m < \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $m \neq 0;m < \frac{1}{3}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \neq 0 \\ \Delta' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ - 3m + 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq 0 \\ m = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

Vậy $m = \frac{1}{3}$ thì phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình vô nghiệm.

Với $m = 0$ ta có phương trình $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm.

Với $m \neq 0$ phương trình vô nghiệm nếu $- 3m + 1 < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Vậy $m > \frac{1}{3}$ thì phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình có nghiệm.

Dạng 4: Một số bài toán liên quan đến tính số nghiệm của phương trình bậc hai

Bài toán 1: Chứng minh ít nhất một trong các phương trình bậc hai có nghiệm

Phương pháp

Bước 1: Tính các biệt thức $\Delta;\Delta'$ .

Bước 2: Chứng minh tồn tại một $\Delta > 0;(\Delta' \geq 0)$ và kết luận.

Ví dụ: Cho hai phương trình $x^{2} - 2ax - 2b - 1 = 0$ và $x^{2} - 2bx + 4a - 6 = 0$ . Chứng minh rằng trong hai phương trình có ít nhất một phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét biệt thức $\Delta'$ của hai phương trình $\left\{ \begin{matrix} \Delta'_{1} = a^{2} + 2b + 1 \\ \Delta'_{2} = b^{2} - 4a + 6 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có:

$\Delta'_{1} + \Delta'_{2} = a^{2} + 2b + 1 + b^{2} - 4a + 6$

$= \left( a^{2} - 4a + 4 \right) + \left( b^{2} + 2b + 1 \right) + 2$

$= (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} + 2$

$\Rightarrow \Delta'_{1} + \Delta'_{2} > 0$ với mọi $a;b$

Do đó tồn tại ít nhất một $\Delta'_{i} \geq 0;(i = 1;2)$

Vậy tồn tại ít nhất một phương trình có nghiệm.

Bài toán 2: Chứng minh hai phương trình bậc hai có nghiệm chung.

Phương pháp

Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ và $a'x^{2} + b'x + c' = 0$ có nghiệm chung, ta làm như sau:

Bước 1: Gọi $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình. Từ đó thay $x_{0}$ vào hai phương trình để tìm được điều kiện của tham số.

Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem hai phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.

Ví dụ: Cho hai phương trình $x^{2} + ax + b = 0$ và $x^{2} + cx + d = 0$ . Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì $(b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0$ .

Hướng dẫn giải

Giả sử $x_{0}$ là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, ta có hệ sau: $\left\{ \begin{matrix} {x_{0}}^{2} + ax_{0} + b = 0\ \ (1) \\ {x_{0}}^{2} + cx_{0} + d = 0\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Lấy (1) – (2) ta được

$x_{0}(a - c) = - (b - d) \Leftrightarrow {x_{0}}^{2}(a - c)^{2} = (b - d)(*)$

Lấy $(1)$ nhân với $(c)$ , lấy $(2)$ nhân với $a$ ta có: $\left\{ \begin{matrix} c{x_{0}}^{2} + acx_{0} + bc = 0\ \ (3) \\ a{x_{0}}^{2} + cax_{0} + da = 0\ \ (4) \\ \end{matrix} \right.$

Lấy (4) – (3) ta được

$(a - c){x_{0}}^{2} + ad - bc = 0$

$\Leftrightarrow (a - c){x_{0}}^{2} = - (ad - bc)$

$\Leftrightarrow (a - c)^{2}{x_{0}}^{2} = - (a - c)(ad - bc)(**)$

Từ (*) và (**) suy ra

$(b - d)^{2} = - (a - c)(ad - bc)$

$\Leftrightarrow (b - d)^{2} + (a - c)(ad - bc) = 0(dpcm)$

Bài toán 3: Xét điều kiện để hai phương trình tương đương

Phương pháp giải

Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ và $a'x^{2} + b'x + c' = 0$ tương đương, ta xét hai trường hợp sau:

TH1: Hai phương trình cùng vô nghiệm.

TH2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:

- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có cùng tập nghiệm. Từ đó tìm được điều kiện của tham số.

- Với giá trị của tham số m vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem hai phương trình có tập nghiệm bằng nhau hay không rồi kết luận.

Ví dụ: Cho hai phương trình $x^{2} - x + m = 0$ và $x^{2} - mx - 1 = 0$ . Tìm các giá trị của tham số m để hai phương trình tương đương.

Hướng dẫn giải

Hai phương trình $x^{2} - x + m = 0$ (1) và $x^{2} - mx - 1 = 0$ (2)

Hai phương trình (1) và (2) tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Hai phương trình trên có nghiệm chung nhưng hai tập nghiệm khác nhau. Do đó để hai phương trình tương đương thì (1) và (2) phải cùng vô nghiệm.

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} \Delta_{1} = 1 - 4m < 0 \\ \Delta_{2} = m^{2} + 4 < 0 \\ \end{matrix} \right.$ (vô lí vì $m^{2} + 4 > 0$ với mọi m).

Vậy không có giá trị nào của tham số m để hai phương trình tương đương.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Đưa các phương trình sau về dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ rồi chỉ rõ các hệ số $a;b;c$ của từng phương trình:

a) $x^{2} - 3x = - 4$

b) $4x^{2} + 2x = 5 - x$

c) $3x^{2} - 5x = \sqrt{3}x + 2$

d) $(2x - 1)^{2} = 3(x + 3)$

e) $3x^{2} + 3x + 5 = 5x + 1$

f) $\frac{3}{4}x^{2} + 6x - 3 = 6x + \frac{1}{2}$

g) $- \sqrt{2}x^{2} + x + \sqrt{3} = \sqrt{2}x + \sqrt{3}$

h) $(x - 2)\left( x + \sqrt{3} \right) = 3$

Bài 2: Đưa các phương trình sau về dạng $ax^{2} + bx + c = 0$ rồi chỉ rõ các hệ số $a;b;c$ của từng phương trình:

a) $\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{4}$

b) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 3} = 5$

c) $(x - 3)\left( \frac{1}{x} + 2 \right) = 4$

d) $(x + 1)\left( \frac{2}{x} - 4 \right) = 7$

Bài 3: Các phương trình sau là phương trình bậc hai khi nào? Xác định các hệ số $a;b;c$ của phương trình đó (với $m$ là hằng số).

a) $x^{2} - 3(m - 1)x = 1 - m^{2}$

b) $1 + mx^{2} = m^{2}$

c) $m^{2}x^{2} - 3mx = 3x^{2} - 5$

d) $m(x - 1)^{2} = mx^{2} - 3$

Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để các phương trình có nghiệm bằng $1$ :

a) $3x^{2} + m^{2}x + 4m = 0$

b) $x^{2} - (m + 3)x + m^{2} = 0$

Bài 5: Tìm giá trị của tham số m để các phương trình có nghiệm bằng $- 1$ :

a) $4x^{2} - 25m^{2} = 0$

b) $x^{2} - 3mx + 3m^{2} = 0$

Bài 6: Tìm $p;q$ để các phương trình sau tương đương:

a) $x^{2} - 4 = 0$ và $x^{2} + px + q = 0$

b) $x^{2} - 5 = 0$ và $x^{2} + px + q = 0$

Bài 7: Dùng công thức nghiệm giải các phương trình sau:

a) $x^{2} - x - 20 = 0$

b) $5x^{2} - 7x - 6 = 0$

c) $5x^{2} - 2\sqrt{5}x + 1 = 0$

d) $x^{2} - \left( 1 + \sqrt{3} \right)x + \sqrt{3} = 0$

e) $- 3x^{2} - 6x + 2 = 0$

f) $x^{2} - 2\sqrt{11}x + 11 = 0$

g) $x^{2} - 2\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)x + 4\sqrt{6} = 0$

h) $\sqrt{2}x - 2\left( \sqrt{3} - 1 \right)x + 3\sqrt{2} = 0$

i) $2x^{2} - x = 3$

k) $- x^{2} - 3x = x - 1$

l) $- x^{2} - \sqrt{5}x = 4$

m) $x^{2} + \sqrt{8}x = - 2$

Bài 8: Dùng công thức nghiệm, giải các phương trình sau:

a) $x^{2} - \sqrt{3}(x - 1) = 0$

b) $x\left( x - \sqrt{5} \right) = 3x^{2} - 1$

c) $(x - 2)(x - 1) = - \frac{1}{4}$

d) $(2x - 1)^{2} = - 3x + 6$

e) $x(2x - 4) = x^{2} + 12$

f) $\left( \sqrt{5} - x \right)^{2} = 2\sqrt{5}x - 15$

g) $x^{2} = 6\left( \sqrt{2}x - 4 \right)$

h) $(x - 2)^{2} = 2(1 - x)$

Bài 9: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $x^{2} - x + m - 2 = 0$

b) $- 2x^{2} + 3x + m - 3 = 0$

c) $3x^{2} - 2x + m - 5 = 0$

d) $x^{2} - 8x + m^{2} = 0$

Bài 10: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau có nghiệm kép? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $2x^{2} - mx + 2 = 0$

b) $(m - 1)x^{2} + 2x + 3 = 0$

Bài 11: Với giá trị nào của tham số m thì mỗi phương trình sau vô nghiệm? Tính nghiệm của phương trình theo m:

a) $x^{2} - 3x - m - 5 = 0$

b) $mx^{2} + 3x + m = 0$

Bài 12: Cho phương trình $mx^{2} - 3x + 1 = 0$ với m là tham số. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt.

b) Có nghiệm kép.

c) Vô nghiệm.

d) Có nghiệm.

Bài 13: Cho $a + b + c = 6$ . Chứng minh ít nhất một trong các phương trình sau có nghiệm: $x^{2} + ax + 1 = 0;x^{2} + bx + 1 = 0;x^{2} + cx + 1 = 0$ .

Bài 14: Cho hai phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ và $a\left( 1 - x^{2} \right) + c(1 - x) - b = 0;(a \neq 0)$ . Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Bài 15: Cho các phương trình $x^{2} + mx + n = 0\ \ \ (1)$ và $x^{2} + nx + m = 0\ \ \ (2)$ trong đó $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{2}$ . Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Bài 16: Cho phương trình $x^{2} + (a + b + c)c + (ab + bc + ca) = 0$ với $a;b;c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình luôn vô nghiệm.