Phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9

Chuyên đề Phương trình bậc nhất hai ẩn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 5,0

A. Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là phương trình có dạng $ax + by = c$ . Trong đó $a;b;c$ là các số cho trước $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$
Nếu các số thực $x_{0};y_{0}$ thỏa mãn $ax_{0} + by_{0} = c$ thì cặp số $\left( x_{0};y_{0} \right)$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$ .
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $\left( x_{0};y_{0} \right)$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bởi điểm có tọa độ $\left( x_{0};y_{0} \right)$ .

B. Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c$
Nếu $a \neq 0;b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{c}{a} \\y\mathbb{\in R} \\\end{matrix} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung.
Nếu $a = 0;b \neq 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{matrix}x\mathbb{\in R} \\y = \dfrac{c}{b} \\\end{matrix} \right.$ và đường thẳng $d$ song song với trục hoành.
Nếu $a \neq 0;b \neq 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{matrix}x\mathbb{\in R} \\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b} \\\end{matrix} \right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}y\mathbb{\in R} \\x = - \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} \\\end{matrix} \right.$ khi đó đường thẳng $d$ cắt cả hai trục tọa độ. Đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ .

Dạng 1: Xác định cặp số là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn hay không.

Phương pháp giải

Nếu cặp số thực $\left( x_{0};y_{0} \right)$ thỏa mãn phương trình $ax_{0} + by_{0} = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$ .

Ví dụ: Tìm căp số là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn $2x - 5y = 19$ trong các cặp số sau: $(1; - 2),(1;1),(12;1),(2; - 3)$ ?

Hướng dẫn giải

Xét cặp số $(1; - 2)$ thay $x = 1;y = - 2$ vào phương trình $2x - 5y = 19$ ta có: $2.1 - 5.( - 2) = 12 \neq 19$ nên $(1; - 2)$ không là nghiệm của phương trình.

Xét cặp số $(1;1)$ thay $x = 1;y = 1$ vào phương trình $2x - 5y = 19$ ta có: $2.1 - 5.1 = - 3 \neq 19$ nên $(1;1)$ không là nghiệm của phương trình.

Xét cặp số $(12;1)$ thay $x = 12;y = 1$ vào phương trình $2x - 5y = 19$ ta có: $2.12 - 5.1 = 19$ nên $(12;1)$ là nghiệm của phương trình.

Xét cặp số $(2; - 3)$ thay $x = 2;y = - 3$ vào phương trình $2x - 5y = 19$ ta có: $2.2 - 5.( - 3) = 19$ nên $(2; - 3)$ là nghiệm của phương trình

Ví dụ: Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào nhận cặp số $( - 2;3)$ làm nghiệm?

a) $x - y = 1$	b) $2x + 3y = 5$	c) $2x + y = - 4$
d) $2x - y = - 7$	e) $x - 3y = - 10$	f) $2x - y = 2$

Hướng dẫn giải

Thay $x = - 2;y = 3$ vào phương trình $x - y = 1$ ta được:

$- 2 - 3 = - 5 \neq 1$

Vậy cặp số $( - 2;3)$ không là nghiệm của phương trình $x - y = 1$ .

Thay $x = - 2;y = 3$ vào phương trình $2x + 3y = 5$ ta được:

$2( - 2) + 3.3 = 5$

Vậy cặp số $( - 2;3)$ là nghiệm của phương trình $2x + 3y = 5$ .

Thay $x = - 2;y = 3$ vào phương trình $2x + y = - 4$ ta được:

$2.\left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = - 7 \ne - 4$

Vậy cặp số $( - 2;3)$ không là nghiệm của phương trình $2x + 3y = 5$ .

Tương tự với các phương trình còn lại, kiểm tra được phương trình $2x - y = - 7$ nhận $( - 2;3)$ làm nghiệm và các phương trình $x - 3y = - 10$ ; $2x - y = 2$ không nhận $( - 2;3)$ làm nghiệm.

Ví dụ: Tìm các giá trị của tham số m để cặp số $(2; - 1)$ là nghiệm của phương trình $mx - 5y = 3m - 1$ .

Hướng dẫn giải

Để cặp số $(2; - 1)$ là nghiệm của phương trình $mx - 5y = 3m - 1$ ta phải có:

$2m - 5.( - 1) = 3m - 1 \Leftrightarrow m = 6$

Vậy $m = 6$ thì $(2; - 1)$ là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Viết phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm $(2;0)$ và $( - 1; - 2)$ .

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$

Thay các nghiệm $(2;0)$ và $( - 1; - 2)$ vào phương trình $ax + by = c$ ta được:

$\left\{ \begin{matrix}2a + 0b = c \\- a - 2b = c \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{c}{2} \\b = - \dfrac{3}{4}c \\\end{matrix} \right.$

Chọn $c = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 2x - 3y = 4$

Nếu chọn $c = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 0 \\ b = 0 \\ \end{matrix} \right.$ (Loại)

Nếu $c \neq 0$ ta có thể chọn c tùy ý. Tuy nhiên nên cân nhắc chọn giá trị c hợp lí để tìm được $a;b$ là những số đẹp.

Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

Phương pháp

Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$

Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) rồi đưa ra kết luận về công thức nghiệm tổng quát.

Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$ .

Ví dụ: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $2x - 3y = 5$

b) $4x + 0y = 12$

c) $0x - 3y = 6$

Hướng dẫn giải

Biểu diễn nghiệm như sau:

a) $\left\{ \begin{matrix}x\mathbb{\in R} \\y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3} \\\end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} \right.$

c) $\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in R} \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Học sinh tự biểu diễn các tập nghiệm của các phương trình bằng cách lần lượt vẽ các đường thẳng có phương trình $y = \frac{2}{3}x - \frac{5}{3}$ ; $x = 3;y = - 2$ .

Ví dụ: Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm của các phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $2x - y = 3$

b) $5x + 0y = 20$

c) $0x - 8y = 16$

Hướng dẫn giải

Biểu diễn nghiệm như sau:

a) $\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in R} \\ y = 2x - 3 \\ \end{matrix} \right.$

b) $\left\{ \begin{matrix} x = 4 \\ y\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} \right.$

c) $\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in R} \\ y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Học sinh tự biểu diễn các tập nghiệm của các phương trình bằng cách lần lượt vẽ các đường thẳng có phương trình $y = 2x - 3$ ; $x = 4y = - 2$ .

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp

Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c$

Nếu $a \neq 0;b = 0$ thì phương trình đường thẳng $d:ax + by = c$ có dạng $x = \frac{c}{a}$ . Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ .

Nếu $a = 0;b \neq 0$ thì phương trình đường thẳng $d:ax + by = c$ có dạng $y = \frac{c}{b}$ . Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ .

Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ khi và chỉ khi $ax_{0} + by_{0} = c$ .

Ví dụ: Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:

a) $d$ song song với trục hoành.

b) $d$ song song với trục tung.

c) $d$ đi qua gốc tọa độ.

d) $d$ đi qua điểm $A(1; - 1)$

Hướng dẫn giải

a) $d$ song song với trục hoành.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 2 = 0 \\ 3m - 1 \neq 0 \\ 6m - 2 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2$

b) $d$ song song với trục tung.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 2 \neq 0 \\ 3m - 1 = 0 \\ 6m - 2 \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing$

c) $d$ đi qua gốc tọa độ.

$\Rightarrow O \in d \Leftrightarrow 6m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{3}$

d) $d$ đi qua điểm $A(1; - 1)$

$\Leftrightarrow (m - 2) - (3m - 1) = 6m - 2 \Leftrightarrow m = \frac{1}{8}$

Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương pháp

Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ ta làm như sau:

Bước 1: Tìm một nghiệm nguyên $\left( x_{0};y_{0} \right)$ của phương trình.

Bước 2: Đưa phương trình về dạng $a\left( x - x_{0} \right) + b\left( y - y_{0} \right) = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho.

Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $3x - 2y = 5$ ?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Vì $( - 1;1)$ là nghiệm của phương trình $3x - 2y = 5$ nên ta có:

$3(x - 1) = 2(y + 1)$

$\Leftrightarrow \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = t$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 - 3t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in Z} \right)$

Cách 2: Ta có: $3x - 2y = 5 \Rightarrow y = \frac{3x - 5}{2} = x + \frac{x - 5}{2}$

Đặt $\frac{x - 5}{2} = t \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 5 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in Z} \right)$

Ví dụ: Cho phương trình $5x + 7y = 112$

a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình.

b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $(14;6)$ là nghiệm của phương trình $5x + 7y = 112$

$\Rightarrow 5(x - 14) + 7(y - 6) = 112$

$\begin{matrix} \Rightarrow 5\left( {x - 14} \right) = - 7\left( {y - 6} \right) \hfill \\ \Rightarrow \dfrac{{x - 14}}{{ - 7}} = \dfrac{{y - 6}}{5} = t \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 14 - 7t \hfill \\ y = 5t + 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}$

b) Ta có tất cả các nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{matrix} x = 14 - 7t \\ y = 5t + 6 \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in Z} \right)$

Để các nghiệm nguyên dương thì $\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 14 - 7t > 0 \hfill \\ 5t + 6 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} t < 2 \hfill \\ t > - \frac{6}{5} \hfill \\ t \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow t \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}$