Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 (tiếp theo)

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán 9 (tiếp theo) 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Dạng 1: Phương trình bậc bốn. Phương trình hồi quy

Phương pháp giải

1) Phương trình đối xứng bậc bốn có dạng $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0;(a \neq 0)$

Bước 1: Kiểm tra $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho $x^{2}$ rồi đặt ẩn phụ $x + \frac{1}{x} = t$ .

Bước 3: Giải phương trình ẩn $t$ rồi trả về biến $x$ và tìm nghiệm.

2) Phương trình hồi quy có dạng $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0;(ae \neq 0)$ trong đó $\frac{e}{a} = \left( \frac{d}{b} \right)^{2}$

Bước 1: Kiểm tra $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình.

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho $x^{2}$ rồi đặt ẩn phụ $x + \frac{d}{bx} = t$ .

Bước 3: Giải phương trình ẩn $t$ rồi trả về biến $x$ và tìm nghiệm.

Ví dụ: Giải các phương trình: $2x^{4} + 3x^{3} - 16x^{2} + 3x + 2 = 0$ .

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình

Với $x \neq 0$ . Chia cả hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$2x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + 3x + \frac{3}{x} - 16 = 0$

$\Leftrightarrow 2\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right) + 3\left( x + \frac{1}{x} \right) - 16 = 0$

Đặt $x + \frac{1}{x} = t \Leftrightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} - 2$ khi đó phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow 2\left( t^{2} - 2 \right) + 3t - 16 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^{2} + 3t - 20 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 4 \\ t = \frac{5}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = - 4 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = - 4 \Leftrightarrow x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Với $t = \frac{5}{2} \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 2 \pm \sqrt{3};2;\frac{1}{2} \right\}$ .

Ví dụ: Giải các phương trình: $x^{4} - 2x^{3} - 4x^{2} - 4x + 4 = 0$ .

Hướng dẫn giải

Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình

Với $x \neq 0$ . Chia cả hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$x^{2} + \frac{4}{x^{2}} - 2x - \frac{4}{x} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \right) - 2\left( x + \frac{2}{x} \right) - 4 = 0$

Đặt $x + \frac{2}{x} = t \Leftrightarrow x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = t^{2} - 4$ khi đó phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow \left( t^{2} - 4 \right) - 2t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow t^{2} - 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 2 \\ t = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = - 2 \Rightarrow x + \frac{2}{x} = - 2 \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + 1 = 0(VN)$

Với $t = 4 \Rightarrow x + \frac{2}{x} = 4$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 - \sqrt{2} \\ x = 2 + \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 2 - \sqrt{2};2 + \sqrt{2} \right\}$ .

Dạng 2: Phương trình có dạng $(x + a)^{4} + (x + b)^{4} = c$

Phương pháp giải

Để giải phương trình ta thực hiện như sau:

Bước 1: Đặt $t = x + \frac{a + b}{2}$ . Phương trình trở thành $\left( t + \frac{a - b}{2} \right)^{4} + \left( t - \frac{a - b}{2} \right)^{4} = c$ .

Bước 2: Khai triển và rút gọn, giải phương trình ẩn t.

Bước 3: Cách giải trên còn áp dụng cho phương trình bậc 6.

Ví dụ: Giải phương trình $(x + 4)^{4} + (x + 6)^{4} = 82$

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x + \frac{4 + 6}{2} = x + 5 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 4 = t - 1 \\ x + 6 = t + 1 \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó phương trình trở thành:

$PT \Leftrightarrow \left( t^{2} - 2t + 1 + t^{2} + 2t + 1 \right)^{2} - 2\left( t^{2} - 1 \right)^{2} = 82$

$\Leftrightarrow (t - 1)^{4} + (t + 1)^{4} = 82$

$\Leftrightarrow \left\lbrack (t - 1)^{2} + (t + 1)^{2} \right\rbrack^{2} - 2(t - 1)^{2}.(t + 1)^{2} - 82 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack 2t^{2} + 2 \right\rbrack^{2} - 2\left( t^{4} - 2t^{2} + 1 \right) - 82 = 0$

$\Leftrightarrow 4t^{4} + 8t^{2} + 4 - 2t^{4} + 4t^{2} - 2 - 82 = 0$

$\Leftrightarrow 2t^{4} + 12t^{2} - 80 = 0 \Leftrightarrow t^{4} + 6t^{2} - 40 = 0$

Đặt $u = t^{2};(u \geq 0)$ . Phương trình trở thành $u^{2} + 6u - 40 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} u = 4(tm) \\ u = - 10(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $u = 4 \Rightarrow t^{2} = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 2 \Leftrightarrow x + 5 = 2 \Leftrightarrow x = - 3$

Với $t = - 2 \Leftrightarrow x + 5 = - 2 \Leftrightarrow x = - 7$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 7; - 3 \right\}$ .

Dạng 3: Phương trình có dạng phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải

Xét một số dạng phương trình như sau:

$\frac{mx}{ax^{2} + bx + c} + \frac{nx}{ax^{2} + cx + d} = p$

$\frac{ax^{2} + mx + c}{ax^{2} + nx + c} + \frac{ax^{2} + px + c}{ax^{2} + qx + c} = d$

$\frac{ax^{2} + mx + c}{ax^{2} + nx + c} + \frac{px}{ax^{2} + qx + c} = d$

Bước 1: Chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x rồi đặt ẩn phụ thích hợp.

Bước 2: Giải phương trình vừa tìm được.

Ví dụ: Giải phương trình: $\frac{4x}{x^{2} + x + 3} + \frac{5x}{x^{2} - 5x + 3} = - \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

$\frac{4x}{x^{2} + x + 3} + \frac{5x}{x^{2} - 5x + 3} = - \frac{3}{2}$

Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả tử và mẫu của phương trình cho x ta được:

$PT \Leftrightarrow \dfrac{4}{x + 1 +\dfrac{3}{x}} + \dfrac{5}{x - 5 + \dfrac{3}{x}} = -\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{4}{x + \dfrac{3}{x}+ 1} + \dfrac{5}{x + \dfrac{3}{x} - 5} = - \dfrac{3}{2}$

Đặt $x + \dfrac{3}{x} = t \Rightarrow\left\{ \begin{matrix}x + \dfrac{3}{x} + 1 = t + 1 \\x + \dfrac{3}{x} - 5 = t - 5 \\\end{matrix} \right.$ . Khi đó với $t \neq - 1;t \neq 5$ phương trình trở thành:

$\Leftrightarrow \frac{4}{t + 1} + \frac{5}{t - 5} = - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 8(t - 5) + 10(t + 1) = - 3(t - 5)(t + 1)$

$\Leftrightarrow 8t - 40 + 10t + 10 = - 3t^{2} + 12t + 15$

$\Leftrightarrow t^{2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 3(tm) \\ t = - 5(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow x + \frac{3}{x} = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 3x + 3 = 0(VN)$

Với $t = - 5 \Rightarrow x + \frac{3}{x} = - 5$

$\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 3 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 5 + \sqrt{13}}{2} \\x = \dfrac{- 5 - \sqrt{13}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{- 5 + \sqrt{13}}{2};\frac{- 5 - \sqrt{13}}{2} \right\}$

Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đánh giá

Những kỹ thuật quan trọng để giải phương trình bằng phương pháp đánh giá thường sử dụng là:

Dùng hằng đẳng thức ${A_{1}}^{2} + {A_{2}}^{2} + .... + {A_{n}}^{2} = 0 \Leftrightarrow A_{1} = A_{2} = .... = A_{n} = 0$
Dùng bất đẳng thức Caychy; Bunhiacopxki, bất đẳng thức hình học, …
Dùng phương pháp hàm số.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 8 - x$

b) $9x^{2} - x - 4 = 2\sqrt{x + 3}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x^{2} - 4x + 4} = 8 - x$

Ta có: $x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0$ nên phương trình đã cho luôn xác định với mọi giá trị của x. Khi đó:

$PT \Leftrightarrow \sqrt{(x - 2)^{2}} = 8 - x \Leftrightarrow |x - 2| = 8 - x$

Nếu $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ thì ta được:

$x - 2 = 8 - x \Leftrightarrow x = 5(tm)$

Nếu $x - 2 < 0 \Rightarrow x < 2$ thì ta được:

$x - 2 = x - 8 \Leftrightarrow 0x = 6(ktm)$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = 5$ .

b) $9x^{2} - x - 4 = 2\sqrt{x + 3}$

Điều kiện xác định $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq - 3$

Ta có:

$PT \Leftrightarrow 9x^{2} = 2\sqrt{x + 3} + x + 4$

$\Leftrightarrow 9x^{2} = x + 3 + 2\sqrt{x + 3} + 1$

$\Leftrightarrow 9x^{2} = \left( \sqrt{x + 3} + 1 \right)^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sqrt{x + 3} + 1 = 3x \\ \sqrt{x + 3} + 1 = - 3x \\ \end{matrix} \right.$

Xét $\sqrt{x + 3} + 1 = 3x \Leftrightarrow \sqrt{x + 3} = 3x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}3x - 1 \geq 0 \\x + 3 = (3x - 1)^{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \geq \dfrac{1}{3} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 1 \\x = - \dfrac{2}{7} \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 1$

Xét $\sqrt{x + 3} + 1 = - 3x \Leftrightarrow \sqrt{x + 3} = - 3x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 3x - 1 \geq 0 \\x + 3 = ( - 3x - 1)^{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x \leq - \dfrac{1}{3} \\\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 5 - \sqrt{97}}{18} \\x = \dfrac{- 5 + \sqrt{97}}{18} \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \dfrac{- 5 -\sqrt{97}}{18}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $S = \left\{ 1;\frac{- 5 - \sqrt{97}}{18} \right\}$ .

Ví dụ: Giải các phương trình sau: $16x^{4} + 5 = 6\sqrt[3]{4x^{3} + x}$

Hướng dẫn giải

$16x^{4} + 5 = 6\sqrt[3]{4x^{3} + x}$

Vì $16x^{4} + 5 > 0$ nên phương trình đã cho có nghiệm khi

$4x^{3} + x \geq 0 \Leftrightarrow x\left( 4x^{2} + 1 \right) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$

Để ý rằng khi $x = \frac{1}{2}$ thì $VT = VP$ nên ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy sao cho dấu bằng xảy ra khi $x = \frac{1}{2}$ . Mặt khác khi $x = \frac{1}{2} \Rightarrow 4x^{3} + x = 4.\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = 1$ thì tử những cơ sở trên ta có lời giải như sau:

Theo bất đẳng thức Cauchy dạng $3\sqrt[3]{abc} \leq a + b + c$ ta có:

$6\sqrt[3]{4x^{3} + x} = 2.3.\sqrt[3]{\left( 4x^{3} + x \right).1.1} \leq 2\left( 4x^{3} + x + 1 + 1 \right) = 8x^{3} + 2x + 4$

Mặt khác ta có:

$16x^{4} + 5 - \left( 8x^{3} + 2x + 4 \right)$

$= 16x^{4} - 8x^{3} - 2x + 1$

$= (2x - 1)^{2}\left( 4x^{2} + 2x + 1 \right) \geq 0$

Suy ra $VT = VP$ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} 2(2x - 1)^{2}\left( 2x^{2} + 2x + 1 \right) = 0 \\ 4x = \left( 4x^{2} + 1 \right) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Dạng 5: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ hoàn toàn

1. Phương trình có dạng $a.f(x) + b.\sqrt{f(x)} + c = 0$ trong đó $a,b,c$ là các hằng số. Đặt $t = \sqrt{f(x)} \geq 0$ và chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc hai theo ẩn $t$ .

2. Phương trình có dạng $a.f(x) + b.\frac{1}{f(x)} + c = 0$ , trong đó $a,b,c$ là các hằng số. Đặt $t = f(x) \neq 0$ và chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc hai theo ẩn $t$ .

3. Phương trình có dạng $a.\left( \sqrt{u(x) \pm v(x)} \right) + b.\sqrt{u(x).v(x)} + c = 0$ , trong đó $a,b,c$ là các hằng số và $u(x) + v(x)$ là một hằng số dương.

Đặt $t = \sqrt{u(x) \pm v(x)}$ rồi bình phương hai vế để rút ra $\sqrt{u(x).v(x)}$ theo $t$ . Từ đó chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc hai theo ẩn t.

4. Phương trình có dạng $au^{2} + buv + cv^{2} = 0$ trong đó $a,b,c$ là các hằng số và $u = u(x);v = v(x)$

Để giải phương trình này, trước hết ta xét xem khi $v(x) = 0$ phương trình có nghiệm hay không. Trong trường hợp $v(x) \neq 0$ , ta chia hai vế phương trình cho $v(x)$ , phương trình trên được viết lại $a.\left( \frac{u}{v} \right)^{2} + b.\frac{u}{v} + c = 0$

Đặt $\frac{u}{v} = t$ và đưa phương trình trên thành phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này ẩn t này để tìm mối liên hệ giữa $u;v$ và giải ra $x$ .

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $2x^{2} - x + \sqrt{2x^{2} - x + 4} = 2$

b) $\sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}} - 3\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = 4$

Hướng dẫn giải

a) $2x^{2} - x + \sqrt{2x^{2} - x + 4} = 2$

Điều kiện xác định $2x^{2} - x + 4 \geq 0$

Đặt $t = \sqrt{2x^{2} - x + 4};(t \geq 0)$ ta có $2x^{2} - x = t^{2} - 4$ và phương trình trở thành:

$t^{2} - 4 + t = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2(tm) \\ t = - 3(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 2$ ta có phương trình

$\sqrt{2x^{2} - x + 4} = 2 \Leftrightarrow 2x^{2} - x + 4 = 4$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ 0;\frac{1}{2} \right\}$ .

b) $\sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}} - 3\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = 4$

Điều kiện xác định $x \geq 1$

Nhận thấy rằng $\sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}}.\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = 1$ nên ta đặt $t = \sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}} \geq 0$ . Lúc đó:

$\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{1}{t}$

Phương trình đã cho trở thành:

$t - \frac{3}{t} = - 2 \Leftrightarrow t^{2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1(tm) \\ t = - 3(ktm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 1$ ta có:

$\sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow x - \sqrt{x^{2} - 1} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x^{2} - 1 = (x - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 1 = (x - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 1$

Đối chiếu với điều kiện, suy ra phương trình đã cho có nghiệm $x = 1$ .

Dạng 6: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Phương pháp này có thể sử dụng để giải nhiều dạng phương trình khác nhau nhưng phổ biến nhất là dạng $(ax + b)\sqrt{cx^{2} + dx + e} = px^{2} + qx + r$ trong đó $a,b,c,d,e,p,q,r$ là các hằng số.

Đặt $t = \sqrt{cx^{2} + dx + e}$ chuyển phương trình đã cho thành phương trình bậc hai ẩn t, tham số x và biệt thức $\Delta$ là một biểu thức chính phương (thông thường $\Delta = (mx + n)^{2}$

Ví dụ: Giải phương trình: $x^{2} + 1 - (x + 1)\sqrt{x^{2} - 2x + 3} = 0$

Hướng dẫn giải

$x^{2} + 1 - (x + 1)\sqrt{x^{2} - 2x + 3} = 0$

Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 2x + 3} > 0 \Rightarrow t^{2} = x^{2} - 2x + 3$

Phương trình đã cho trở thành: $x^{2} + 1 - (x + 1)t = 0$

Ta sẽ tạo ra phương trình $mt^{2} - (x + 1)t + x^{2} + 1 - m\left( x^{2} - 2x + 3 \right) = 0$

(Ta đã thêm vào $mt^{2}$ nên ta phải bớt đi một lượng $mt^{2} = m\left( x^{2} - 2x + 3 \right)$ )

Phương trình được viết lại như sau:

$mt^{2} - (x + 1)t + (1 - m)x^{2} + 2mx + 1 - 3m = 0$

$\Rightarrow \Delta = (x + 1)^{2} - 4m\left\lbrack (1 - m)x^{2} + 2mx + 1 - 3m \right\rbrack$

$= \left( 4m^{2} - 4m + 1 \right)x^{2} + \left( 2 - 8m^{2} \right)x + 12m^{2} - 4m + 1$

Ta mong muốn

$\Delta = (Ax + B)^{2}$

$\Leftrightarrow \Delta_{m} = \left( 1 - 4m^{2} \right)^{2} - \left( 12m^{2} - 4m + 1 \right)\left( 4m^{2} - 4m + 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow m = 1$

Phương trình mới được tạo ra là: $t^{2} - (x + 1)t + 2x - 2 = 0$

Ta có: $\Delta = x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$

Từ đó ta có: $\left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{x + 1 - (x - 3)}{2} = 2 \\t = \dfrac{x + 1 + (x - 3)}{2} = x - 1 \\\end{matrix} \right.$

Với $t = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 2x + 3} = 2$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$

Với $t = x - 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 2x + 3} = x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 2x + 3 = x^{2} - 2x + 1 \\ \end{matrix} \right.$

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 1 \pm \sqrt{2}$ .

Dạng 7: Giải phương trình bằng cách liên hợp

Phương pháp dùng biểu thức liên hợp còn được gọi là phương pháp khử căn thức ở tử, thường dùng nhất là:

$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$

$\sqrt{A} + \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$

Ví dụ: Giải các phương trình sau: $x^{2} = 2\sqrt{3x + 4} - 5x - 6$

Hướng dẫn giải

$x^{2} = 2\sqrt{3x + 4} - 5x - 6$

Điều kiện xác định $x \geq \frac{- 4}{3}$

Với $x = - 1$ là một nghiệm ta biến đổi:

$PT \Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 2\sqrt{3x + 4}$

$\Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) + 2 = 2\sqrt{3x + 4}$

$\Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = 2\left( \sqrt{3x + 4} - 1 \right)$

$\Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = \frac{2\left\lbrack \left( \sqrt{3x + 4} \right)^{2} - 1^{2} \right\rbrack}{\sqrt{3x + 4} + 1}$

$\Leftrightarrow (x + 1)(x + 4) = \frac{6(x + 1)}{\sqrt{3x + 4} + 1}$

Rõ ràng $x = - 1$ thỏa mãn phương trình.

Với $x \neq - 1$ ta có: $x + 4 = \frac{6}{1 + \sqrt{3x + 4}}(*)$

Với $x > - 1$ thì (*) có vế trái lớn hớn 3, vế phải nhỏ hơn 3 nên phương trình vô nghiệm

Với $- \frac{4}{3} \leq x < - 1$ thì (*) có vế trái nhỏ hơn 3, vế phải lớn hơn 3 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = - 1$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $2x^{4} - x^{3} - 2x^{2} - x + 2 = 0$

b) $(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144$

c) $6x^{4} + 25x^{3} + 12x^{2} - 25x + 6 = 0$

d) $x^{4} + 5x^{3} - 14x^{2} - 20x + 16 = 0$

Bài 2: Giải phương trình $(x + 3)^{4} + (x + 5)^{4} = 2$ .

Bài 3: Giải phương trình $(x - 1)^{6} + (x - 2)^{6} = 1$ .

Bài 4: Giải phương trình

a) $\frac{x^{2} - 10x + 15}{x^{2} - 6x + 15} = \frac{4x}{x^{2} - 12x + 15}$

b) $\frac{x^{2} - 13x + 15}{x^{2} - 14x + 15} - \frac{x^{2} - 15x + 15}{x^{2} - 16x + 15} = - \frac{1}{12}$

Bài 5: Giải các phương trình

a) $\sqrt{x - 1} + 2\sqrt{y - 4} + 3\sqrt{z - 9} = \frac{1}{2}(x + y + z)$

b) $4x^{4} + x^{2} + 3x + 4 = 3\sqrt[3]{16x^{3} + 12x}$

Bài 6: Giải phương trình $2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^{2} + 16}$

Bài 7: Giải các phương trình

a) $\sqrt{x + 7} - \sqrt{2 - x} + 4\sqrt{14 - 5x - x^{2}} = 3$

b) $2x^{2} = 5\sqrt{x^{3} + 1} - 4$

Bài 8: Giải phương trình $\sqrt{2x - 1} = 2x - 4 + \sqrt{x + 1}$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

90.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ