Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 9

Chuyên đề Phương trình quy về phương trình bậc hai gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Phương trình quy về phương trình bậc hai Toán lớp 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng $ax^{4} + bx^{2} + c = 0;(a \neq 0)(*)$

Phương pháp giải

Để giải phương trình trùng phương ta thực hiện theo ba bước:

Bước 1: Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ . Phương trình (*) trở thành $a.t^{2} + b.t + c = 0;(a \neq 0)(*)$ .

Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn $t$ (chú ý điều kiện).

Bước 3: Với giá trị $t$ vừa tìm được, ta trả về biến $x$ và kết luận nghiệm của phương trình (*).

B. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4: Trong các giá trị vừa tìm được của ẩn, kết hợp với điều kiện xác định để tìm các giá trị thỏa mãn.

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình.

C. Phương trình bậc cao có thể đưa về phương trình tích

1) Lược đồ Hooc-ne

Lược đồ Hooc-ne dùng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x - a$ . Cách làm như sau:

$f(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + ... + a_{n - 1}.x + a_{n}$ . Khi đó đa thức thương $g(x) = b_{0}x^{n - 1} + b_{1}x^{n - 2} + .... + b_{n - 1}$ được xác định theo lược đồ sau:

	$a_{0}$	$a_{1}$	$...$	$a_{n - 1}$	$a_{n}$
$\alpha$	$b_{0} = a_{0}$	$b_{1} = b_{0}.\alpha + a_{1}$	$...$	$b_{n - 1} = b_{n - 2}.\alpha + a_{n - 1}$	$r = b_{n - 1}.\alpha + a_{n}$

Chú ý: Trong lược đồ trên, dòng đầu phải viết tất cả các hệ số của $f(x)$ , kể cả hệ số bằng $0$ . Nếu $f(\alpha) = 0$ thì $r = 0$ .

2) Phương pháp giải

Phân tích vế trái thành nhân tử vế phải bằng $0$ .

Giải phương trình tích $A.B = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \\ \end{matrix} \right.$

D, Phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn thức.

Dạng 1: Giải phương trình trùng phương

Phương pháp giải

Để giải phương trình trùng phương ta thực hiện theo ba bước:

Bước 1: Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ . Phương trình (*) trở thành $a.t^{2} + b.t + c = 0;(a \neq 0)(*)$ .

Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn $t$ (chú ý điều kiện).

Bước 3: Với giá trị $t$ vừa tìm được, ta trả về biến $x$ và kết luận nghiệm của phương trình (*).

Ví dụ: Giải các phương trình trùng phương sau:

a) $x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$	b) $x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0$
c) $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$	d) $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$

Hướng dẫn giải

a) $x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$

Cách 1: Đặt $x^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 13t + 36 = 0$

$\Delta = ( - 13)^{2} - 4.36 = 25 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 5$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{- ( - 13) + 5}{2} = 9 \\t_{2} = \dfrac{- ( - 13) - 5}{2} = 4 \\\end{matrix} \right.$

Với $t = 9 \Rightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$ .

Với $t = 4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Vậy phương trình $x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm 3; \pm 2 \right\}$

Cách 2:

$x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0 \Leftrightarrow \left( x^{4} - 12x^{2} + 36 \right) - x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 6 \right)^{2} - x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 6 - x \right)\left( x^{2} - 6 + x \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 6 - x = 0 \\ x^{2} - 6 + x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $x^{4} - 13x^{2} + 36 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm 3; \pm 2 \right\}$

b) $x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0$

Cách 1: Đặt $x^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 5t + 6 = 0$

$\Delta = ( - 5)^{2} - 4.6 = 1 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 1$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t_{1} = \dfrac{- ( - 5) + 1}{2} = 3 \\t_{2} = \dfrac{- ( - 5) - 1}{2} = 2 \\\end{matrix} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow x^{2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{3}$ .

Với $t = 2 \Rightarrow x^{2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$

Vậy phương trình $x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{2} \right\}$ .

Cách 2:

$x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x^{4} - 2x^{2} - 3x^{2} + 6 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{4} - 2x^{2} \right) - \left( 3x^{2} - 6 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 2 \right)\left( x^{2} - 3 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2 = 0 \\ x^{2} - 3 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = \pm \sqrt{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $x^{4} - 5x^{2} + 6 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{2} \right\}$ .

c) $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}5x - 19 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{19}{5} \\x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0(*) \\\end{matrix} \right.$

Giải phương trình (*) ta có:

$x^{4} - 7x^{2} + 6 = 0$

Đặt $x^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 7t + 6 = 0$ vì $a + b + c = 0$

Nên phương trình có nghiệm $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1 \\ t_{2} = 6 \Rightarrow x^{2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{6} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $(5x - 19)\left( x^{4} - 7x^{2} + 6 \right) = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \pm 1; \pm \sqrt{6} \right\}$ .

d) $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$

Đặt $(2x - 3)^{2} = t;(t \geq 0)$

Phương trình trở thành

$t^{2} - 4t - 21 = 0$

$\Delta' = ( - 2)^{2} + 21 = 25$

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix} t_{1} = 2 + \sqrt{21} = 7(TM) \\ t_{2} = 2 - \sqrt{21} = - 3(L) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 7 \Rightarrow (2x - 3)^{2} = 7$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}2x - 3 = \sqrt{7} \\2x - 3 = - \sqrt{7} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2} \\x = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình $(2x - 3)^{4} - 4(2x - 3)^{2} - 21 = 0$ có tập nghiệm $S = \left\{ \frac{3 + \sqrt{7}}{2};\frac{3 - \sqrt{7}}{2} \right\}$

Ví dụ: Cho phương trình $x^{4} - (m + 2)x^{2} + m = 0$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để:

a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có ba nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$

Khi đó phương trình đã cho trở thành $t^{2} - (m + 2)t + m = 0(*)$

Ta có: $\Delta = \left\lbrack - (m + 2) \right\rbrack^{2} - 4.1.m = m^{2} + 4m + 4 - 4m = m^{2} + 4$

Vì $m^{2} + 4 > 0$ với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ .

Áp dụng định lí Vi – et ta có:

$\left\{ \begin{matrix} S = x_{1} + x_{2} = m + 2 \\ P = x_{1}.x_{2} = m \\ \end{matrix} \right.$

a) Để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt.

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > 0$

Vậy khi $m > 0$ thì phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} S > 0 \\ P = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ (không tồn tại m)

Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Dạng 2: Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4: Trong các giá trị vừa tìm được của ẩn, kết hợp với điều kiện xác định để tìm các giá trị thỏa mãn.

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{x^{2} + 3x}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$	b) $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{4}{x + 1}$
c) $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{5}{x - 2} = 3$	d) $\frac{x}{x + 1} = \frac{x^{2} + 2x - 1}{(x + 1)(x - 2)}$
e) $\frac{x^{3} - 3x^{2} + 4x - 2}{x^{3} - 1} = \frac{2x^{2} - 3x}{x^{2} + x + 1}$	f) $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2} + 3x}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$

Điều kiện xác định $x \neq - 1$

$\frac{x^{2} + 3x}{x + 1} = \frac{x}{x + 1} \Leftrightarrow x^{2} + 3x = x$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x(x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 2;0 \right\}$ .

b) $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{4}{x + 1}$

Điều kiện xác định $x \neq - 1;x \neq 2$

$\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{4}{x + 1}$

$\Leftrightarrow (x - 3)(x + 1) + (x - 2)(x + 1) = 4(x - 2)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x - 3 + x^{2} - x - 2 = 4x - 8$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 7x + 3 = 0$

Ta có: $\Delta = ( - 7)^{2} - 4.2.3 = 49 - 24 = 25 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{7 + \sqrt{25}}{4} = 3 \\x_{2} = \dfrac{7 - \sqrt{25}}{4} = \dfrac{1}{2} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ 3;\frac{1}{2} \right\}$ .

c) $\frac{x + 2}{x - 3} - \frac{5}{x - 2} = 3$

Điều kiện xác định $x \neq 3;x \neq 2$

$PT \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) - 5(x - 3) = 3(x - 2)(x - 3)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 4 - 5x + 15 = 3x^{2} - 15x + 18$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 10x + 7 = 0$ có $\Delta' = ( - 5)^{3} - 2.7 = 25 - 14 = 11 > 0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\left\lbrack \begin{matrix}x_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{11}}{2} \\x_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{11}}{2} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ \frac{5 + \sqrt{11}}{2};\frac{5 - \sqrt{11}}{2} \right\}$ .

d) $\frac{x}{x + 1} = \frac{x^{2} + 2x - 1}{(x + 1)(x - 2)}$

Điều kiện xác định $x \neq - 1;x \neq 2$

$PT \Leftrightarrow x(x - 2) = x^{2} + 2x - 1$

$\Leftrightarrow x^{2} - 2x = x^{2} + 2x - 1$

$\Leftrightarrow 4x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}(tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{1}{4}$ .

e) $\frac{x^{3} - 3x^{2} + 4x - 2}{x^{3} - 1} = \frac{2x^{2} - 3x}{x^{2} + x + 1}$

Điều kiện xác định $x \neq 1$

$PT \Leftrightarrow \frac{(x - 1)\left( x^{2} - x + 2 \right)}{(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)} = \frac{2x^{2} - 3x}{x^{2} + x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - x + 2}{x^{2} + x + 1} = \frac{2x^{2} - 3x}{x^{2} + x + 1}$

$\Leftrightarrow x^{2} - x + 2 = 2x^{2} - 3x \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0$

Ta có $a - b + c = 0$ nên phương trình có nghiệm $x_{1} = - 1;x_{2} = 2(tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ - 1;2 \right\}$ .

f) $\frac{x^{2} + x - 2}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2}}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$

Điều kiện xác định $x \neq \pm 1$

$PT \Leftrightarrow \frac{(x - 1)(x + 2)}{\left( x^{2} + 1 \right)(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)(x + 1)}$

$\Leftrightarrow \frac{x + 2}{\left( x^{2} + 1 \right)(x + 1)} = \frac{x^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)(x + 1)}$

$\Leftrightarrow x + 2 = x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0$

Ta có: $a - b + c = 0$ có nghiệm $x_{1} = - 1(ktm);x_{2} = 2(tm)$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ 2 \right\}$ .

Dạng 3: Phương trình đưa về phương trình tích

Phương pháp giải

Giải phương trình tích $A.B = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = 0 \\ B = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $x^{3} + 3x^{2} + x + 3 = 0$	b) $2x(3x - 1)^{2} - 9x^{2} + 1 = 0$
c) $x^{4} - 10x^{3} + 25x^{2} - 36 = 0$	d) $\left( x^{2} + 2x - 5 \right)^{2} = \left( x^{2} - x + 5 \right)^{2}$
e) $x^{3} + 2x^{2} + 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2} = 0$

Hướng dẫn giải

a) $x^{3} + 3x^{2} + x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 3)\left( x^{2} + 1 \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình $S = \left\{ - 3 \right\}$ .

b) $2x(3x - 1)^{2} - 9x^{2} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (3x - 1)\left( 6x^{2} - x + 1 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}3x - 1 = 0 \\6x^{2} - x + 1 = 0(VN) \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x= \dfrac{1}{3}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ \frac{1}{3} \right\}$ .

c) $x^{4} - 10x^{3} + 25x^{2} - 36 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 5x \right)^{2} - 36 = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} - 5x - 6 \right)\left( x^{2} - 5x + 6 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 5x - 6 = 0 \\ x^{2} - 5x + 6 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 6 \\ x = 2 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ - 1;2;3;6 \right\}$

d) $\left( x^{2} + 2x - 5 \right)^{2} = \left( x^{2} - x + 5 \right)^{2}$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} + 2x - 5 \right)^{2} - \left( x^{2} - x + 5 \right)^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} + 2x - 5 + x^{2} - x + 5 \right)\left( x^{2} + 2x - 5 - x^{2} + x - 5 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( 2x^{2} + x\right)(3x - 10) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = - \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{10}{3} \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 0; - \frac{1}{2};\frac{10}{3} \right\}$ .

e) $x^{3} + 2x^{2} + 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{3} + \left( \sqrt{2} \right)^{3} + 2x\left( x + \sqrt{2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x + \sqrt{2} \right)\left( x^{2} - x\sqrt{2} + 2 \right) + 2x\left( x + \sqrt{2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left( x + \sqrt{2} \right)\left\lbrack x^{2} + \left( 2 - \sqrt{2} \right)x + 2 \right\rbrack = 0$

$\Leftrightarrow x = - \sqrt{2}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ - \sqrt{2} \right\}$ .

Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ (nếu có) và giải phương trình theo ẩn mới.

Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định và kết luận.

Ví dụ: Giải các phương trình:

a) $\left( x^{2} - 2x \right)^{2} - 2\left( x^{2} - 2x \right) - 3 = 0$

b) $\left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right)^{2} - 4\left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right) + 3 = 0$

Hướng dẫn giải

a) $\left( x^{2} - 2x \right)^{2} - 2\left( x^{2} - 2x \right) - 3 = 0$

Đặt $x^{2} - 2x = t$ phương trình đã cho trở thành

$t^{2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = - 1 \Rightarrow x^{2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Với $t = 3 \Rightarrow x^{2} - 2x = 3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ - 1;1;3 \right\}$

b) $\left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right)^{2} - 4\left( \frac{2x - 1}{x + 2} \right) + 3 = 0$

Điều kiện xác định $x \neq - 1$

Đặt $\frac{2x - 1}{x + 2} = t$ . Phương trình đã cho trở thành

$t^{2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 1(tm) \\ t = 3(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 1 \Rightarrow \frac{2x - 1}{x + 2} = 1 \Leftrightarrow x = 3(tm)$

Với $t = 3 \Rightarrow \frac{2x - 1}{x + 2} = 3 \Leftrightarrow x = - 7(tm)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ - 7;3 \right\}$ .

Phương trình dạng $\left( ax^{2} + bx + c_{1} \right)\left( ax^{2} + bx + c_{2} \right) = A;(aA \neq 0)$

Cách giải:

Đặt $t = ax^{2} + bx + c_{1}$ thì phương trình trở thành $t\left( t + c_{2} - c_{1} \right) = A$ .

Ví dụ: Giải phương trình $\left( x^{2} + x + 2 \right)\left( x^{2} + x + 3 \right) = 6$

Hướng dẫn giải

Đặt $x^{2} + x + 2 = t$ . Phương trình đã cho trở thành

$t(t + 1) = 6 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = 2 \Rightarrow x^{2} + x + 2 = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Với $t = - 3 \Rightarrow x^{2} + x + 2 = -3 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{- 1 + \sqrt{21}}{2} \\x = \dfrac{- 1 - \sqrt{21}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 1;0;\frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2} \right\}$ .

Ví dụ: Giải phương trình $x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 8$

$\Leftrightarrow \left( x^{2} + 3x \right)\left( x^{2} + 3x + 2 \right) = 8$

Đặt $x^{2} + 3x = t$ phương trình trở thành

$\Leftrightarrow t(t + 2) = 8 \Leftrightarrow t^{2} + 2t - 8 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}t = 2 \Rightarrow x^{2} + 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{- 3 \pm\sqrt{17}}{2} \\t = - 4 \Rightarrow x^{2} + 3x = - 4(VN) \\\end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{2} \right\}$ .

Phương trình dạng $\left( ax^{2} + b_{1}x + c \right)\left( ax^{2} + b_{2}x + c \right) = Ax^{2};(cA \neq 0)$

Cách giải.

Do $x = 0$ không phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$\left( ax + \frac{c}{x} + b_{1} \right)\left( ax + \frac{c}{x} + b_{2} \right) = A$

Đặt $y = ax + \frac{c}{x}$ đưa phương trình trở thành $\left( y + b_{1} \right)\left( y + b_{2} \right) - A = 0$ .

Ví dụ: Giải phương trình: $\left( x^{2} + x + 2 \right)\left( x^{2} + 2x + 2 \right) = 2x^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Do $x = 0$ không phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$\left( x + \frac{2}{x} + 1 \right)\left( x + \frac{2}{x} + 2 \right) = 2$

Đặt $y = x + \frac{2}{x}$ đưa phương trình trở thành

$(y + 1)(y + 2) = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 0 \\ y = - 3 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{2}{x} = 0 \\ x + \frac{2}{x} = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ - 2; - 1 \right\}$ .

Ví dụ: Giải phương trình: $\left( x^{2} - 6x + 8 \right)\left( x^{2} - 9x + 8 \right) = 4x^{2}$

Hướng dẫn giải

Do $x = 0$ không phải là nghiệm, chia hai vế của phương trình cho $x^{2}$ ta được:

$\left( x + \frac{8}{x} - 6 \right)\left( x + \frac{8}{x} - 9 \right) = 4$

Đặt $y = x + \frac{8}{x}$ đưa phương trình trở thành

$(y - 6)(y + 9) = 4 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} y = 5 \\ y = 10 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x + \frac{8}{x} = 5 \\ x + \frac{8}{x} = 10(VN) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 5 - \sqrt{17} \\ x = 5 + \sqrt{17} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 5 \pm \sqrt{17} \right\}$ .

Dạng 5: Phương trình chứa biểu thức trong dấu căn

Phương pháp

1) $\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} g(x) \geq 0 \\ f(x) = \left\lbrack g(x) \right\rbrack^{2} \\ \end{matrix} \right.$

2) $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ f(x) = g(x) \\ \end{matrix} \right.$

3) $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$ hoặc $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = \sqrt{h(x)}$

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ h(x) \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$ . Bình phương hai vế sau đó giải phương trình.

Ngoài phương pháp bình phương hai vế trên, tùy từng chương trình ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau như: đặt ẩn phụ, khai căn nếu biểu thức trong căn có dạng bình phương, đánh giá bất đẳng thức, …

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 1} = x - 1$	b) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{1 - x} = \sqrt{1 - 2x}$
c) $\sqrt{x - 2} - 3\sqrt{x^{2} - 4} = 0$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{x + 1} = x - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x + 1 = (x - 1)^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x^{2} - 3x = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$ .

b) $\sqrt{x + 4} - \sqrt{1 - x} = \sqrt{1 - 2x}$

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix} x + 4 \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \\ 1 - 2x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 4 \leq x \leq \frac{1}{2}$

$PT \Leftrightarrow \sqrt{x + 4} = \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 - x}$

$\Leftrightarrow x + 4 = 1 - 2x + 1 - x + 2\sqrt{(1 - 2x)(1 - x)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2} - 3x + 1} = 2x + 1$

$\Leftrightarrow 2x^{2} - 3x + 1 = 4x^{2} + 4x + 1$

$\Leftrightarrow 2x^{2} + 7x = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = 0 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 0;x = - \frac{7}{2}$ .

c) $\sqrt{x - 2} - 3\sqrt{x^{2} - 4} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = 3\sqrt{x^{2} - 4}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 2 \geq 0 \\9\left( x^{2} - 4 \right) = x - 2 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 2 \geq 0 \\\left\lbrack \begin{matrix}x = 2 \\x = - \dfrac{17}{9} \\\end{matrix} \right.\ \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = 2$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 2$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $x^{4} + 5x^{2} - 6 = 0$	b) $x^{4} + x^{2} - 20 = 0$
c) $(x + 1)^{4} - 5(x + 1)^{2} - 84 = 0$	d) $2x^{4} + 7x^{2} + 5 = 0$
e) $4x^{4} + 8x^{2} - 12 = 0$	f) $x^{4} - 10\left( 2 - \sqrt{2} \right)x^{2} - 2\sqrt{2} + 3 = 0$
g) $x^{4} - \left( 3\sqrt{2} - 5 \right)x^{2} + 10 - 7\sqrt{2} = 0$	h) $\left( \sqrt{5} - 3 \right)x^{4} - \left( 4\sqrt{5} + 1 \right)x^{2} + 3\sqrt{5} + 4 = 0$

Bài 2: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{4} - 6x^{2} + m - 1 = 0$ (với $m$ là tham số) có bốn nghiệm?

Bài 3: Cho phương trình $x^{4} - mx^{2} + 4 = 0$ . Tìm điều kiện của tham số m để.

a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Phương trình vô nghiệm.

Bài 4: Giải các phương trình sau:

a) $\frac{12}{x - 1} - \frac{8}{x + 1} = 1$	b) $\frac{x}{2x + 1} + \frac{2}{2 - x} = 3$
c) $\frac{x^{2} - x - 12}{(x - 4)(x - 1)} = \frac{1}{x - 1}$	d) $\frac{x}{x + 1} + \frac{2}{x + 2} = \frac{x + 6}{(x + 1)(x + 2)}$
e) $\frac{x^{2} + 3x - 4}{x^{4} - 1} = \frac{1}{x^{3} + x^{2} + x + 1}$	f) $\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2} + x}{x^{2} + x + 1}$
g) $\frac{x + 5}{3} - \frac{x - 3}{5} = \frac{5}{x - 3} - \frac{3}{x + 5}$	h) $\left( \frac{1 + x}{1 - x} - \frac{1 - x}{1 + x} \right):\left( \frac{1 + x}{1 - x} - 1 \right) = \frac{3}{14 - x}$
i) $\frac{38}{x^{4} - x^{2} + 20x - 100} = \frac{x + 10}{x^{2} + x - 10} - \frac{x + 10}{x^{2} - x + 10}$
k) $\frac{4}{2x^{3} + 3x^{2} - 8x - 12} - \frac{1}{x^{2} - 4} - \frac{4}{2x^{2} + 7x + 6} + \frac{1}{2x + 3} = 0$

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a) $x^{3} - 2x^{2} + x + 4 = 0$	b) $x^{3} + 3x^{2} - 11x + 7 = 0$
c) $\left( x^{2} - x + 2 \right)^{2} - (6x + 2)^{2} = 0$	d) $\left( x^{2} + 3x \right)^{2} - (x - 5)^{2} = 0$
e) $\left( x^{2} - 2x \right)^{2} = 4\left( x^{2} - 2x \right)$	f) $\left( x^{2} - 3 \right)^{2} + 3x^{3} - 9x = 0$

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a) $\left( 36x^{2} + 84x + 49 \right)\left( 36x^{2} + 84x + 48 \right) = 12$

b) $3\left( x^{2} + 2x - 1 \right)^{2} - 2\left( x^{2} + 3x - 1 \right)^{2} + 5x^{2} = 0$

c) $\left( x^{2} + 16x + 60 \right)\left( x^{2} + 17x + 60 \right) = 6x^{2}$

d) $\left( x^{2} - x + 1 \right)\left( x^{2} + 4x + 1 \right) = 6x^{2}$

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) $(3x - 1)^{2} - 4(3x - 1) + 3 = 0$

b) $\left( x^{2} - x \right)^{2} - 5\left( x^{2} - x \right) + 6 = 0$

c) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24$

d) $\left( x^{2} - 2x - 2 \right)^{2} + 2x^{2} - 4x - 4 = 0$

Bài 8: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x + 27} - 6 = x$	b) $\sqrt{x^{2} + 2x} = 2 - x$
c) $\sqrt{2x + 1} = 2 + \sqrt{x - 3}$	d) $\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 3}$
e) $x^{2} + 2\sqrt{x^{2} - 3x + 11} = 3x + 4$	f) $x^{2} - 3x - 10 + 3\sqrt{x(x - 3)} = 0$