Rút gọn biểu thức chứa căn thức

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Rút gọn biểu thức chứa căn thức 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước để rút gọn biểu thức chứa căn thức:

Bước 1: Phân tích mẫu thành nhân tử. Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Quy đồng phân thức.
Bước 3: Rút gọn và kết luận.

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \right)$

b) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}$

c) $\left( \frac{2\sqrt{x} + x + 1}{\sqrt{x} + 1} \right)\left( 1 - \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 - \sqrt{x} \right)$

d) $\left( \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{3}{2 - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \right)$

ĐKXĐ: $x \neq 1;x \geq 0$

$= \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{\sqrt{x^{3}} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \right)$

$= \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x^{2}} + \sqrt{x} + 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} \right)$

$= \frac{2\sqrt{x} + x - \sqrt{x^{2}} - \sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x^{2}} + \sqrt{x} + 1 \right)}:\frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x^{2}} + \sqrt{x} + 1 \right)}.\frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2}$

$= \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

b) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{x - 9}$

ĐKXĐ: $x \neq 9;x \geq 0$

$= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 9}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)}$

$= \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 \right) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right) - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)}$

$= \frac{x - 3\sqrt{x} + 2x + 6\sqrt{x} - 3x - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)}$

$= \frac{3\sqrt{x} - 9}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)} = \frac{3\left( \sqrt{x} - 3 \right)}{\left( \sqrt{x} + 3 \right)\left( \sqrt{x} - 3 \right)} = \frac{3}{\sqrt{x} + 3}$

c) $\left( \frac{2\sqrt{x} + x + 1}{\sqrt{x} + 1} \right)\left( 1 - \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 - \sqrt{x} \right)$

ĐKXĐ: $x \neq 1;x \geq 0$

$= \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2}}{\sqrt{x} + 1}.\left\lbrack 1 - \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( 1 - \sqrt{x} \right)$

$= \left( \sqrt{x} + 1 \right).\left( 1 - \sqrt{x} \right):\left( 1 - \sqrt{x} \right) = \sqrt{x} + 1$

d) $\left( \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{3}{2 - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

ĐKXĐ: $x \neq 4;x > 0$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} - \frac{3}{2 - \sqrt{x}} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4 + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} \right\rbrack:\left\lbrack \frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right) - x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} \right\rbrack$

$= \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{- 4} = 1 - \sqrt{x}$

Ví dụ: Đơn giản các biểu thức sau:

a) $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

b) $\left( \frac{x - 3\sqrt{x}}{x - 9} - 1 \right):\left( \frac{9 - x}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \right)$

c) $\left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 3}{x - 9} \right):\left( \frac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1 \right)$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{x - 1}$

ĐKXĐ: $x \neq 1;x \geq 0$

$= \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{3\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)^{2} + \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2} - 3\sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{x + 2\sqrt{x} + 1 + x - 2\sqrt{x} + 1 - 3\sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{2x - 3\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} = \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( 2\sqrt{x} - 1 \right)}{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$

$= \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$

b) $\left( \frac{x - 3\sqrt{x}}{x - 9} - 1 \right):\left( \frac{9 - x}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{\sqrt{x} - 3}{2 - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \right)$

ĐKXĐ: $x \neq 4;x \geq 0;x \neq 9$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 \right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} - 1 \right\rbrack:\left\lbrack \frac{9 - x}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} + \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \right\rbrack$

$= \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}:\left\lbrack \frac{9 - x + \left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right) - \left( \sqrt{x} - 2 \right)^{2}}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} \right\rbrack$

$= \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}:\left\lbrack \frac{9 - x + 9 - x - x + 4\sqrt{x} - 4}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} \right\rbrack$

$= \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}:\left\lbrack \frac{- x + 4\sqrt{x} - 4}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} \right\rbrack$

$= \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}:\frac{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}{- \left( \sqrt{x} - 2 \right)^{2}} = \frac{3}{\sqrt{x} - 2}$

c) $\left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 3}{x - 9} \right):\left( \frac{2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - 1 \right)$

ĐKXĐ: $x \neq 9;x \geq 0$

$= \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \frac{3x + 3}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} \right\rbrack:\left( \frac{2\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 3} \right)$

$= \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 3 \right) + \sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right) - 3x - 3}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} \right)$

$= \frac{- 3\sqrt{x} - 3}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}.\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{- 3\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\left( \sqrt{x} - 3 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}.\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{- 3}{\sqrt{x} + 3}$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Đơn giản biểu thức:

a) $\left( \frac{1}{1 - \sqrt{x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \right) + \frac{1}{2\sqrt{x}}$

b) $\left( \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1} - \sqrt{x} \right):\left( \frac{\sqrt{x} - 4}{1 - x} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right)$

c) $\left( \frac{25 - x}{x + 2\sqrt{x} - 15} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} - 3} \right):\left( \frac{1 - 5\sqrt{x}}{x - 25} - 1 \right)$

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\frac{\sqrt{x} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}$

b) $\left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 4} + \frac{4}{\sqrt{x} - 4} \right):\frac{x + 16}{\sqrt{x} + 2}$

c) $\frac{2\sqrt{x} - 9}{x - 5\sqrt{x} + 6} + \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} + 3}{2 - \sqrt{x}}$

d) $\left( \frac{4\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{8x}{4 - x} \right):\left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right)$

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ