Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Chuyên đề Đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn $O$ bán kính $R$ (với $R > 0$ ) là hình gồm các điểm cách đều điểm $O$ một khoảng không đổi bằng $R$ .

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Đường tròn $O$ bán kính $R$ được kí hiệu là $(O;R)$ ta cũng có thể kí hiệu là $(O)$ khi không cần chú ý đến bán kính.

Nhận xét:

Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $M$ . Khi đó:

$M$ nằm trên $(O;R)$ khi và chỉ khi $OM = R$
$M$ nằm bên trong $(O;R)$ khi và chỉ khi $OM < R$
$M$ nằm bên ngoài $(O;R)$ khi và chỉ khi $OM > R$

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

2. Cách xác định đường tròn

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

+ Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó.

+ Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.

+ Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

3. Tính chất đối xứng của đường tròn

Tính chất 1: Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Tính chất 2: Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Đường tròn có mộ tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.

Sơ đồ hóa kiến thức

Dạng 1: Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn

Phương pháp giải

Cách 1: Dùng định lí: “Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền”.

Cách 2: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm nào đó.

Ví dụ: Cho tứ giác $ABCD$ có góc $\widehat{A} = \widehat{C} = 90^{0}$ . Chứng minh bốn điểm $A;B;C;D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Gọi $O$ là trung điểm của $BD$ .

Vì tam giác $ABD$ vuông tại $A$ nên đường trung tuyến $AO = \frac{1}{2}BD$ hay $OA = OB = OD$

Vì tam giác $CBD$ vuông tại $C$ nên đường trung tuyến $CO = \frac{1}{2}BD$ hay $OB = OC = OD$

Suy ra $OA = OB = OC = OD$

Vậy bốn điểm $A;B;C;D$ thuộc cùng đường tròn tâm $O$ bán kính là $OA$ .

Ví dụ: Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các đường trung trực của các đoạn thẳng $AB;BC;AD$ đồng quy tại một điểm. Chứng minh rằng các đỉnh $A;B;C;D$ của tứ giác cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Gọi $O$ là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng $AB;BC;AD$ .

Vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA = OB$

Tương tự ta có: $OB = OC;OA = OD$

Khi đó $OA = OB = OC = OD$

Vậy bốn điểm $A;B;C;D$ cùng nằm trên một đường tròn.

Ví dụ: Cho hình thang cân $ABCD;(AB//CD;AB > CD)$ . Chứng minh rằng bốn điểm $A;B;C;D$ cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ .

Do $ABCD$ là hình thang cân với hai đáy $AB;CD$ nên $MN$ là đường trung trực của $AB;CD$ .

Gọi $P$ là trung điểm của $BC$ . Qua $P$ dựng đường trung trực của $BC$ cắt $MN$ tại $O$ . Ta cần chứng minh $OA = OB = OC = OD$

Thật vậy vì $O$ nằm trên đường trung trực của $AB$ nên $OA = OB$

Mà $MN$ cũng là trung trực của $CD$ nên $OC = OD$

Hơn nữa $O$ nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $OB = OC$ . Từ đó suy ra $OA = OB = OC = OD$ .

Vậy bốn điểm $A;B;C;D$ cùng thuộc một đường tròn $(O)$ bán kính $R = OA$ .

Dạng 2: Xác định vị trí của một điểm với một đường tròn cho trước

Phương pháp giải

Muốn xác định vị trí của điểm $M$ đối với đường tròn $(O;R)$ ta so sánh khoảng cách $OM$ với bán kính $R$ theo bảng sau:

Vị trí tương đối	Hệ thức
$M$ nằm trên $(O;R)$	$OM = R$
$M$ nằm bên trong $(O;R)$	$OM < R$
$M$ nằm bên ngoài $(O;R)$	$OM > R$

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , hãy xác định vị trí của các điểm $A( - 1; - 1),B( - 1; - 2),C\left( \sqrt{2};\sqrt{2} \right)$ đối với đường tròn $(O;2)$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

$OA$ là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng $1$ nên

$OA = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} < 2$

Suy ra $A$ nằm bên trong $(O;2)$ .

$OB$ là cạnh huyền trong tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng $1$ và $2$ nên

$OB = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} > 2$

Suy ra $B$ nằm bên ngoài $(O;2)$ .

$OC$ là cạnh huyền trong tam giác vuông cân bằng $\sqrt{2}$ nên

$OC = \sqrt{\left( \sqrt{2} \right)^{2} + \left( \sqrt{2} \right)^{2}} = 2$

Suy ra $C$ nằm bên ngoài $(O;2)$ .

Ví dụ: Cho tam giác đều $ABC$ cạnh bằng $a$ , kẻ các đường cao $BM,CN$ . Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$ .

a) Chứng minh $B;C;M;N$ cùng thuộc một đường tròn tâm $(O)$ .

b) Gọi $G$ là giao điểm của $BM;CN$ . Chứng minh điểm $G$ nằm trong, còn điểm $A$ nằm ngoài đối với đường tròn đường kính $BC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

a) Vì tam giác $BMC$ vuông tại $M$ có trung tuyến $MO$ ứng với cạnh huyền nên $OC = OB = OM$ .

Vì tam giác $BNC$ vuông tại $N$ có trung tuyến $NO$ ứng với cạnh huyền nên $OB = OC = ON$

Suy ra $OC = OB = OM = ON$

Vậy bốn điểm $B;C;N;M$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $R = OB = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$ .

b) Tam giác $ABC$ đều có $G$ là trực tâm đồng thời là trọng tâm tam giác và $M;N$ theo thứ tự là trung điểm của $AC;AB$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $AOB$ , ta có:

$OA = \sqrt{a^{2} + \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} > \frac{a}{2} = R$

Suy ra $A$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$

Vì $OA$ là đường trung tuyến và $G$ là trọng tâm của tam giác nên $OG = \frac{1}{3}AO = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6} < \frac{a}{2} = R$

Vậy $G$ nằm trong đường tròn $(O)$ .

Dạng 3: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ: Cho tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $a$ . Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm của $BC;AC;AB$

Dựng các đường trung trực của các cạnh $BC;AC;AB$ , các đường trung trực này đồng quy tại $O$ , suy ra $O$ là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ . Bán kính $(O)$ là $R = OA = OB = OC$

Vì tam giác $ABC$ là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là đường trung tuyến của tam giác $ABC$

Suy ra $O$ cũng là trọng tâm của tam giác $ABC$ .

Trong tam giác $ABM$ vuông tại $M$ ta có:

$AM = \sqrt{AB^{2} - AM^{2}} = \sqrt{a^{2} - \left( \frac{a}{2} \right)^{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Lại có $OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ là $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Ví dụ: Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB = 12cm;BC = 5cm$ . Chứng minh rằng các điểm $A;B;C;D$ thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn Toán 9

Gọi $O$ là giao điểm của $AC;BD$ . Khi đó $O$ là trung điểm của $AC;BD$

Mà $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD$

Do đó $OA = OB = OC = OD$ hay bốn điểm $A;B;C;D$ thuộc một đường tròn $(O)$ , bán kính $R = OA = \frac{AC}{2}$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$

$\Rightarrow R = \frac{AC}{2} = 6,5cm$

Vậy bốn điểm $A;B;C;D$ thuộc một đường tròn $(O)$ , bán kính $R = 6,5cm$ .

Đường tròn qua bốn đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$ có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính của nó bằng một nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho đường tròn có tâm $O(0;0)$ , bán kính $R = 3$ và điểm $A(2;1),B( - 4;2)$ . Xác định vị trí tương đối của điểm $A;B$ đối với đường tròn đã cho.

Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho các điểm $A(2;2),B( - 1;3)$ . Xác định vị trí tương đối của điểm $A;B$ đối với đường tròn tâm $I(2;0)$ và bán kính $R = 2$ .

Bài 3: Cho tam giác đều cạnh bằng $4$ . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Bài 4: Cho tứ giác $ABCD$ có $AC\bot BD;AC = 6;BD = 8$ . Gọi $M;N;P;Q$ lần lượt là trung điểm của $AB;BC;CD;DA$ . Chứng minh bốn điểm $M;N;P;Q$ cùng nằm trên một đường tròn và tính bán kính đường tròn đó.

Bài 5: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat{C} + \widehat{D} = 90^{0}$ . Gọi $M;N;P;Q$ lần lượt là trung điểm của $AB;BD;CD;CA$ . Chứng minh rằng bốn điểm $M;N;P;Q$ cùng thuộc một đường tròn.

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ ; $BC = 12cm$ . Kẻ đường cao $AH$ . Tính bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ , biết rằng $AH = 4cm$ ?

Bài 7: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có ba đỉnh nằm trên đường tròn $(O)$ . Đường cao $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ . Tính độ dài đường cao $AH$ và bán kính đường tròn $(O)$ , biết rằng $BC = 24cm;AC = 20cm$ .

Bài 8: Cho hình thang cân $ABCD$ với $AD//BC$ có $AB = 12cm;AC = 16cm;BC = 12cm$ . Chứng minh rằng $A;B;C;D$ cùng thuộc đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Bài 9: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Từ điểm $M$ bất kì thuộc cạnh $BC$ kẻ $MD\bot AB;ME\bot AC$ . Chứng minh năm điểm $A;D;M;H;E$ cùng nằm trên một đường tròn.