Tiếp tuyến của đường tròn (nâng cao)

Chuyên đề Tiếp tuyến của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tiếp tuyến của đường tròn (nâng cao) 5,0

I. BÀI TẬP TIẾP TUYẾN NÂNG CAO

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ , đường tròn tâm $I$ bán kính $r$ nội tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $D;E;F$ là các tiếp điểm $(D \in AB;E \in BC;F \in CA)$ . Đặt $AB = c;BC = a;AC = b;AD = x;BE = y;CF = z$ .

a) Tính $x;y;z$ theo $a;b;c$ .

b) Chứng minh $S_{ABC} = p.r$ ( $p$ là nửa chu vi $ABC$ ).

c) Chứng minh $\frac{1}{r} = \frac{1}{h_{a}} + \frac{1}{h_{b}} + \frac{1}{h_{c}}$ (trong đó $h_{a};h_{b};h_{c}$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ các đỉnh $A;B;C$ của tam giác $ABC$ ).

Bài 2: Đường tròn $(I;r)$ nội tiếp và đường tròn $\left( J;r_{a} \right)$ bàng tiếp $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tương ứng tại các điểm $M;P$ . Đoạn thẳng $AP$ cắt đường tròn $(I;r)$ tại điểm $N$ .

a) Chứng minh rằng đoạn thẳng $MN$ là đường kính của đường tròn $(I;r)$ .

b) Gọi $Q$ là trung điểm của cạnh $BC$ , đoạn thẳng $IQ$ cắt đường cao $AH$ tại $K$ . Chứng minh rằng $AK = r$ .

Bài 3: Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $AB$ tại $D$ .

a) Chứng minh rằng nếu tam giác $ABC$ vuông tại $C$ thì $CA.CB = 2.DA.DB$ .

b) Chứng minh rằng nếu $CA.CB = 2.DA.DB$ thì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ .

Bài 4: Cho đường tròn $(O;R)$ và đường thẳng $d$ cắt đường tròn tại $A;B$ . Từ $M$ là điểm nằm trên tia đối của $AB$ kẻ các tiếp tuyến $MC;MD$ . Chứng minh rằng khi $M$ di chuyển trên tia đối của tia $AB$ , đường thẳng $CD$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $O$ là trung điểm của $BC$ và $BC = 2a$ . Đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB;AC$ lần lượt tại $H;K$ . Qua $D$ trên cung nhỏ $HK$ , kẻ tiếp tuyến với $(O)$ cắt $AB;AC$ lần lượt tại $M;N$ .

a) Chứng minh $A;H;O;K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{MON} = \widehat{ABC}$ .

c) Tính giá trị biểu thức $BM.CN$ theo $a$ .

d) Định vị trí của $MN$ sao cho $BM + CN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . Gọi $Ax;By$ là các tia vuông góc với $AB$ (với $Ax;By$ và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$ ). Gọi $D$ là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại $D$ cắt $Ax;By$ theo thứ tự tại $M;N$ .

a) Tứ giác $AMNB$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo góc $\widehat{MON}$ .

c) Chứng minh $MN = AM + BN$ .

d) Chứng minh: Tích $AM.BN$ không đổi khi $D$ di chuyển trên đường tròn $(O;R)$ .

e) Đường tròn đường kính $MN$ tiếp xúc với $AB$ tại $O$ .

f) $AN$ và $BM$ cắt nhau tại $Q$ , $QD$ cắt $AB$ tại $H$ . Chứng minh $QD\bot AB$ và tính tỉ số $\frac{QH}{QD}$ .

g) Gọi $K$ là trung điểm của $AD$ . Chứng minh $M;K;O$ thẳng hàng.

h) Tìm vị trí của $D$ để tứ giác $AMNB$ có chu vi nhỏ nhất.

Bài 7: Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(O;R)$ cắt dây $BC$ kéo dài tại $A$ ngoài $(O)$ . Vẽ $OH$ vuông góc với $BC$ tại $H$ . Chứng minh:

a) $AB + AC = 2AH$ .

b) $AB + AC \geq 2AM$ .

Bài 8: Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp tam giác đều $ABC$ . Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh $AB$ và $AC$ theo thứ tự tại $M;N$ .

a) Tính diện tích tam giác $AMN$ biết $BC = 10cm;MN = 4cm$ .

b) Chứng minh rằng: $MN^{2} = AM^{2} + AN^{2} - AM.AN$ .

III. ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1:

Hình vẽ minh họa

Tiếp tuyến của đường tròn (nâng cao)

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} AF = AD = x \\ BD = BE = y \\ CF = CE = z \\ \end{matrix} \right.$

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{matrix}x + y = c\ \ \ \ \ (1) \\y + z = a\ \ \ \ \ (2) \\z + x = b\ \ \ \ \ (3) \\x + y + z = \dfrac{a + b + c}{2}\ \ (4) \\\end{matrix} \right.$

Lần lượt trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (1); (2); (3) ta được:

$\left\{ \begin{matrix}z = \dfrac{a + b - c}{2} = p - c \\y = \dfrac{a + c - b}{2} = p - b \\x = \dfrac{b + c - a}{2} = p - a \\\end{matrix} \right.$ (với $p$ là nửa chu vi tam giác $ABC$ )

b) Ta có: $S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IBC} + S_{ICA}$

$= \frac{1}{2}(r.AB + r.AC + r.BC)$

$= \frac{1}{2}r.2p = pr$ .

c) Ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a.h_{a}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{h_{a}} = \dfrac{a}{2S} \\\dfrac{1}{h_{b}} = \dfrac{b}{2S} \\\dfrac{1}{h_{c}} = \dfrac{c}{2S} \\\end{matrix} \right.$