Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Chuyên đề Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình nhận $\left( x_{0};y_{0} \right)$ là nghiệm.

Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm $\left( x_{0};y_{0} \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} ax_{0} + by_{0} = c \\ a'x_{0} + b'y_{0} = c' \\ \end{matrix} \right.$ .

Tìm giá trị của tham số m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn một số điều kiện khác.

Bước 1: Dựa vào điều kiện nghiệm thiết lập phương trình có ẩn là tham số.

Bước 2: Giải phương trình tham số.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m + 1)x + ny = 3 \\ 2mx + y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm giá trị của $m;n$ để hệ phương trình có nghiệm $(x;y) = (1;2)$ .

Hướng dẫn giải

Hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m + 1)x + ny = 3 \\ 2mx + y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ nhận cặp số $(x;y) = (1;2)$ là nghiệm của hệ phương trình nên:

$\left\{ \begin{matrix} (m + 1).1 + n.(2) = 3 \\ 2m.1 + .2 = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2n = 2 \\ 2m + 2 = 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2n = 2 \\ 2m = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2n = 2 \\ m = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} n = 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $n = 1;m = 0$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (3a + b)x + (4a - b + 1)y = 35 \\ bx + 4ay = 29 \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm các giá trị của $a;b$ có nghiệm $(1; - 3)$ .

Hướng dẫn giải

Thay $x = 1;y = - 3$ vào hệ phương trình ta được:

$\left\{ \begin{matrix} (3a + b).1 + (4a - b + 1).( - 3) = 35 \\ b.1 + 4a.( - 3) = 29 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a + b - 12a + 3b - 3 = 35 \\ b - 12a = 29 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 9a + 4b = 38 \\ b - 12a = 29 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 5 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $a = - 2;b = 5$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 2(3 - 2y) + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 3 - 2y \\ 6 - 3y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3 - 2y \\y = \dfrac{8 - m}{3} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{2m - 7}{3} \\y = \dfrac{8 - m}{3} \\\end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ 2x + y = m - 2 \\ \end{matrix} \right.$ nhận $(x;y) = \left( \frac{2m - 7}{3};\frac{8 - m}{3} \right)$ là nghiệm.

Mặt khác theo bài ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ với $x_{0} = y_{0}$ nên

$\frac{2m - 7}{3} = \frac{8 - m}{3}$

$\Leftrightarrow 2m - 7 = 8 - m \Leftrightarrow 3m = 15 \Leftrightarrow m = 5$

Vậy $m = 5$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + my = m + 1\ \ \ \ (1) \\ mx + y = 3m - 1\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ . Tìm số nguyên $m$ sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $x;y$ là các số nguyên.

Hướng dẫn giải

Từ phương trình (2) ta có: $y = 3m - 1 - mx$

Thế vào phương trình (1) ta được:

$x + m(3m - 1 - mx) = m + 1$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 1 \right) = 3m^{2} - 2m - 1\ \ \ (3)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, tức là $m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3m^{2} - 2m - 1}{m^{2} - 1} = \dfrac{(m - 1)(3m + 1)}{(m - 1)(m+ 1)} \\y = 3m - 1 - m.\dfrac{3m + 1}{m + 1} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{3m + 1}{m + 1} = 3 - \dfrac{2}{m + 1} \\y = \dfrac{m - 1}{m + 1} = 1 - \dfrac{2}{m + 1} \\\end{matrix} \right.$

Để $x;y\mathbb{\in Z}$ thì $\frac{2}{m + 1}\mathbb{\in Z \Rightarrow}(m + 1) \in \left\{ - 2; - 1;1;2 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 2;0;1 \right\}$

Kết hợp điều kiện $m \neq \pm 1$ chỉ có $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ thỏa mãn.

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 2;0 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho đa thức $P(x) = mx^{3} + (m - 5)x^{2} - (2n + 1)x + 3n$ . Hãy tìm các giá trị của tham số m và n sao cho đa thức $P(x)$ đồng thời chia hết cho $x + 2$ và $x - 1$ .

Gợi ý:

Biết rằng đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x - a$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$ .

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có:

$P(x)$ đồng thời chia hết cho $x + 2$ và $x - 1$ do đó ta có:

$\left\{ \begin{matrix} P( - 2) = 0 \\ P(1) = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m( - 2)^{3} + (m - 5)( - 2)^{2} - (2n + 1)( - 2) + 3n = 0 \\ m.1^{3} + (m - 5).1^{2} - (2n + 1).1 + 3n = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4m + 7n = 18 \\ 2m + n = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4m + 7n = 18 \\ n = 6 - 2m \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4m + 7(6 - 2m) = 18 \\ n = 6 - 2m \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 18m = - 24 \\ n = 6 - 2m \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m = \dfrac{4}{3} \\n = \dfrac{10}{3} \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m = \frac{4}{3};n = \frac{10}{3}$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho đường thẳng $(d):y = (2m + 1)x + 3n - 1$ .

a) Tìm các giá trị $m,n$ để $d$ đi qua $M( - 1; - 2)$ và cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ .

b) Cho biết $m;n$ thỏa mãn $2m - n = 1$ . Chứng minh đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ra ta có: đường thẳng d đi qua điểm $M( - 1; - 2)$ và cắt $Ox$ tại điểm $N(2;0)$ . Từ đó thay tọa độ các điểm M, N vào đường thẳng d ta tính được: $m = - \frac{1}{6};n = - \frac{1}{9}$ .

b) Từ $2m - n = 1 \Rightarrow n = 2m - 1$

$\Rightarrow (d):y = (2m + 1)x + 6m - 4$

Gọi $\left( x_{0};y_{0} \right)$ là điểm cố định của (d)

$\Rightarrow \left( 2x_{0} + 6 \right)m + \left( x_{0} - y_{0} - 4 \right) = 0,\forall m$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x_{0} + 6 = 0 \\ x_{0} - y_{0} - 4 = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = - 3 \\ y_{0} = - 7 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy điểm cố định cần tìm là $I( - 3; - 7)$ .

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (m - 1)x + y = m\ \ \ \ (1) \\ x + (m - 1)y = 2\ \ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ với m là tham số. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)$ .

a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa $x;y$ không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm giá trị của m thỏa mãn $2x^{2} - 7y = 1$ .

c) Tìm giá trị nguyên của tham số m để biểu thức $\frac{2x - 3y}{x + y}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Từ phương trình (1) ta có: $y = m - (m - 1)x$ thay vào phương trình (2) ta được:

$x + (m - 1)\left\lbrack m - (m - 1)x \right\rbrack = 2$

$\Leftrightarrow \left( m^{2} - 2m \right)x = m^{2} - m - 2$

$\Leftrightarrow m(m - 2)x = (m - 2)(m + 1)$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m \neq 2 \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{m + 1}{m} \\y = \dfrac{1}{m} \\\end{matrix} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{m + 1}{m} \\y = \dfrac{1}{m} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x - y = 1$ là hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

b) Ta có:

$x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1$

$\Rightarrow 2(y + 1)^{2} - 7y = 1 \Rightarrow 2y^{2} - 3y + 1 = 0$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}y = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{m} = 1 \Rightarrow m = 1(tm) \\y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{m} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow m =2(L) \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

c) Ta có:

$\frac{2x - 3y}{x + y} = \frac{2(y + 1) - 3y}{2y + 1} = \frac{2 - y}{2y + 1}$

$= \frac{2m - 1}{m + 1} = 2 - \frac{5}{m + 2}\mathbb{\in Z \Leftrightarrow}\frac{5}{m + 2}\mathbb{\in Z}$

$\Leftrightarrow m + 2 \in \left\{ \pm 1; \pm 5 \right\} \Leftrightarrow m \in \left\{ - 1; - 3;3;7 \right\}$

Vậy $m \in \left\{ - 1; - 3;3;7 \right\}$ .

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 1\ \ \ (1) \\ mx + 2y = 1\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ .

a) Tìm số nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ với $x;y\mathbb{\in Z}$ .

b) Chứng minh rằng khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ điểm $M(x;y)$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải

a) Trừ từng vế của phương trình (1) và phương trình (2) ta được:

$(2 - m)x + (m - 2)y = 0$

$\Leftrightarrow (2 - m)(x - y) = 0$

Với m = 2 thay vào hệ ta được $\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 1 \\ 2x + 2y = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hệ vô số nghiệm

Với $m \neq 2 \Rightarrow x = y$ thay vào (1) ta được: $(2 + m)x = 1(*)$

Nếu $m = - 2$ thì phương trình (*) trở thành $0x = 1$ (vô nghiệm)

Do đó hệ vô nghiệm

Nếu $m \neq - 2$ suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x = y = \frac{1}{m + 2}$

Ta có:

$x;y\mathbb{\in Z \Rightarrow}\frac{1}{m + 2}\mathbb{\in Z \Rightarrow}m + 2 \in \left\{ - 1;1 \right\}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ .

Vậy $m \in \left\{ - 3; - 1 \right\}$ là các giá trị cần tìm.

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi đó $x = y = \frac{1}{m + 2}$

$\Rightarrow x - y = 0\ \ (d)$

Như vậy điểm M luôn chạy trên đường thẳng (d) cố định.

Ví dụ: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 3x + y = 2\ \ \ (1) \\ 4x + my = 4\ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$ .

a) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $x;y\mathbb{\in Z}$ .

b) Tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)$ sao cho $M(x;y)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng $Oxy$ .

c) Tìm $m$ để $x^{2} + y^{2} = 1$

Hướng dẫn giải

Từ (1) suy ra $y = 2 - mx\ \ \ (3)$ thay vào $(2)$ ta được:

$4x + m(2 - mx) = 4 \Leftrightarrow \left( m^{2} - 4 \right)x = 2m - 4$

Hệ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow m \neq \pm 2 \Leftrightarrow (x;y) = \left( \frac{2}{m + 2};\frac{4}{m + 2} \right)$

$\left\{ \begin{matrix} x\mathbb{\in Z} \\ y\mathbb{\in Z} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 2 \in U(2) \\ m + 2 \in U(4) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m + 2 \in U(2)$

$\Leftrightarrow m \in \left\{ - 1; - 3; - 4;0 \right\}$ .

b) Điểm $M(x;y)$ nằm trong góc phần tư thứ nhất

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ y > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{m + 2} > 0 \\ \frac{4}{m + 2} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

c) Ta có: $x^{2} + y^{2} = 1 \Leftrightarrow \left( \frac{2}{m + 2} \right)^{2} + \left( \frac{4}{m + 2} \right)^{2} = 1$

$\Leftrightarrow (m + 2)^{2} = 20 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m + 2 = 2\sqrt{5} \\ m + 2 = - 2\sqrt{5} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2\sqrt{5} - 2 \\ m = - 2\sqrt{5} - 2 \\ \end{matrix} \right.$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Xác định m để hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x + y = 3 \\ 2x - y = 2m + 5 \\ \end{matrix} \right.$ có nghiệm $(x;y)$ sao cho $x = 2y$ ?

Bài 2: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 2\sqrt{m} + 6 \\ x - y = \sqrt{m} + 2 \\ \end{matrix} \right.$ (với m là tham số; $m \geq 0$ ). Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left( x_{0};y_{0} \right)$ sao cho $x_{0} + y_{0}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (a + 1)x - y = a + 1 \\ x + (a - 1)y = 2 \\ \end{matrix} \right.$ với a là tham số. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.

Bài 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2x + (a - 2)y = a + 1 \\ (a + 2)x - 2y = 3 \\ \end{matrix} \right.$ với a là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho hệ có nghiệm duy nhất. Trong các giá trị đó, tìm giá trị của a để tổng $x + y$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} (2m + 1)x - 3y = 3m - 2\ \ \ \ \ \ \ (1) \\ (m + 3)x - (m + 1)y = 2m\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$