Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Tính giá trị biểu thức. So sánh căn bậc hai

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm điều kiện xác định của biểu thức. Tính giá trị biểu thức. So sánh căn bậc hai 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Căn bậc hai số học

Với số dương a, số $\sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a.
Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$ .
Một cách tổng quát $x = \sqrt{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = a \\ \end{matrix} \right.$ .

Ví dụ: Phân biệt giữa căn bậc hai số học với căn bậc hai của một số.

Với số dương 16

Số $\sqrt{16} = 4$ được gọi là căn bậc hai số học của 16.

Số $\pm \sqrt{16} = \pm 2$ được gọi là căn bậc hai của 4.

2. Tìm điều kiện xác định

$M(x)$ là một đa thức ⇔ $M(x)$ luôn có nghĩa.
$\frac{M(x)}{N(x)}$ có nghĩa ⇔ $N(x) \neq 0$ .
$\sqrt{M(x)}$ có nghĩa ⇔ $M(x) \geq 0$ .
$\frac{1}{\sqrt{M(x)}}$ có nghĩa ⇔ $M(x) > 0$ .

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:

a) $\sqrt{2x - 1}$	b) $\sqrt{\frac{14}{x - 4}}$
c) $\sqrt{4 - 2x}$	d) $\sqrt{\frac{- 1}{2x + 1}}$

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{2x - 1}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$2x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{2}$ .

b) $\sqrt{\frac{14}{x - 4}}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$\frac{14}{x - 4} \geq 0 \Leftrightarrow x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 4$ .

c) $\sqrt{4 - 2x}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$4 - 2x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$ .

d) $\sqrt{\frac{- 1}{2x + 1}}$ có nghĩa khi và chỉ khi

$\frac{- 1}{2x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{7 - x}}$	b) $\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{7x + 2}}$
c) $\sqrt{\frac{x - 1}{4 - x}}$	d) $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 2}}$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 0 \\ 7 - x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq - 3 \\ x < 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 3 \leq x < 7$

b) Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{gathered} 3 - x \geqslant 0 \hfill \\ 7x + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 3 \hfill \\ x > - \frac{2}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - \frac{2}{7} < x \leqslant 3$

c) Điều kiện xác định:

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ 4 - x > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x < 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 1 \leq x < 4$ .

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{matrix} x - 1 \leq 0 \\ 4 - x < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ x > 4 \\ \end{matrix} \right.\ (loai)$ .

d) Điều kiện xác định:

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x + 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x \geq 1$ .

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{matrix} x - 1 \leq 0 \\ x + 2 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \leq 1 \\ x < - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x < - 2$ .

Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $5\sqrt{( - 2)^{4}}$	b) $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} + \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$
c) $2\sqrt{( - 2)^{4}} + 3\sqrt{( - 2)^{8}}$	d) $\sqrt{6 + 2\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}$
e) $\sqrt{\left( 4 - 3\sqrt{2} \right)^{2}} + \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$	f) $\sqrt{24 - 8\sqrt{5}} + \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$

Hướng dẫn giải

a) $5\sqrt{( - 2)^{4}} = 5\sqrt{16} = 5.4 = 20$

b) $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} + \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$

$= \sqrt{9 - 6\sqrt{2} + 2} + \sqrt{4 - 4\sqrt{2} + 2}$

$= \sqrt{\left( 3 - \sqrt{2} \right)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{2} \right)^{2}}$

$= \left| 3 - \sqrt{2} \right| + \left| 2 - \sqrt{2} \right|$

$= 3 - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 5 - 2\sqrt{2}$

c) $2\sqrt{( - 2)^{4}} + 3\sqrt{( - 2)^{8}} = 2\sqrt{16} + 3\sqrt{256} = 8 + 48 = 56$

d) $\sqrt{6 + 2\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}} = \sqrt{6 + 2\sqrt{\left( \sqrt{3} - 1 \right)^{2}}}$

$= \sqrt{6 + 2\left( \sqrt{3} - 1 \right)} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$

e) $\sqrt{\left( 4 - 3\sqrt{2} \right)^{2}} + \sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$

$= \left| 4 - 3\sqrt{2} \right| + \sqrt{9 - 2.3.2\sqrt{2} + 8}$

$= \left| 4 - 3\sqrt{2} \right| + \sqrt{\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)^{2}}$

$= \left| 4 - 3\sqrt{2} \right| + \left| 3 - 2\sqrt{2} \right|$

$= 3\sqrt{2} - 4 + 3 - 2\sqrt{2} = \sqrt{2} - 1$

f) $\sqrt{24 - 8\sqrt{5}} + \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$

$= \sqrt{20 - 8\sqrt{5} + 4} + \sqrt{4 - 4\sqrt{5} + 5}$

$= \sqrt{\left( 2\sqrt{5} - 2 \right)^{2}} + \sqrt{\left( 2 - \sqrt{5} \right)^{2}}$

$= \left| 2\sqrt{5} - 2 \right| + \left| 2 - \sqrt{5} \right|$

$= 2\sqrt{5} - 2 + 2 - \sqrt{5} = \sqrt{5}$

3. So sánh căn bậc hai

Với hai số $a,b$ không âm $(a \geq 0,b \geq 0)$ ta có: $a < b \Leftrightarrow \sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Ví dụ: So sánh các căn bậc hai sau:

a) $5 + 2\sqrt{2}$ và $9$	b) $3$ và $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
c) $16$ và $9 + 4\sqrt{5}$	d) $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ và $2$

Hướng dẫn giải

a) $5 + 2\sqrt{2}$ và $9$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 5 + 2\sqrt{2} = 5 + \sqrt{8} \\ 9 = 5 + 4 = 5 + \sqrt{16} \\ \end{matrix} \right.$

Vì $8 < 16 \Rightarrow 2\sqrt{2} < 4$

$\Rightarrow 5 + 2\sqrt{2} < 5 + 4 \Rightarrow 5 + 2\sqrt{2} < 9$

b) $3$ và $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{2} + \sqrt{3} \right)^{2} = 5 + 2\sqrt{6} = 5 + \sqrt{24} \\ 3^{2} = 9 = 5 + 4 = 5 + \sqrt{16} \\ \end{matrix} \right.$

Vì $24 > 16 \Rightarrow \sqrt{24} > \sqrt{16}$

$\Rightarrow 5 + \sqrt{24} > 5 + \sqrt{16} \Rightarrow \sqrt{2} + \sqrt{3} > 3$

c) $16$ và $9 + 4\sqrt{5}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} 9 + 4\sqrt{5} = 9 + \sqrt{80} \\ 16 = 9 + 7 = 9 + \sqrt{49} \\ \end{matrix} \right.$

Vì $80 > 49 \Rightarrow \sqrt{80} > \sqrt{49}$

$\Rightarrow 9 + \sqrt{80} > 9 + \sqrt{49} \Rightarrow 9 + 4\sqrt{5} > 16$

d) $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ và $2$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \left( \sqrt{11} - \sqrt{3} \right)^{2} = 14 - 2\sqrt{33} = 14 - \sqrt{132} \\ 2^{2} = 4 = 14 - 10 = 14 - \sqrt{100} \\ \end{matrix} \right.$

Vì $132 > 100 \Rightarrow \sqrt{132} > \sqrt{100} \Rightarrow - \sqrt{132} < - \sqrt{100}$

$\begin{matrix} \Rightarrow 14 - \sqrt {132} < 14 - \sqrt {100} \Rightarrow 14 - 2\sqrt {33} < 4 \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {11} - \sqrt 3 < 2 \hfill \\ \end{matrix}$

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức chứa căn sau đây:

a) $\sqrt{- 5x + 1}$	b) $\sqrt{\frac{2 - x}{15}}$
c) $\sqrt{2 - 7x}$	d) $\sqrt{\frac{4 - 2x}{- 5}}$
e) $\sqrt{7 - 3x}$	f) $\sqrt{x^{2} - 4} + 2\sqrt{x - 2}$

Bài 2: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) $\frac{1}{\sqrt{x - 3}} + \frac{3x}{\sqrt{4 - x}}$	b) $\frac{1}{\sqrt{2x - x^{2}}}$
c) $\frac{1}{\sqrt{9 - 12x + 4x^{2}}}$	d) $\frac{\sqrt{5 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \sqrt{9 - x^{2}}$
e) $\sqrt{\frac{x + 2}{4 - x}}$	f) $\sqrt{(3 - x)(x + 2)}$

Bài 3: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\sqrt{12 - 6\sqrt{3}}$	b) $\sqrt{6 - 4\sqrt{2}} + \sqrt{22 - 12\sqrt{2}}$
c) $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$	d) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$