Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phương pháp dùng điều kiện xác định

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $A = \frac{5}{\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$	b) $B = \frac{- 5}{2\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$
c) $C = \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$	d) $D = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2};(x \geq 0)$

Hướng dẫn giải

a) $A = \frac{5}{\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x} + 1} \leq 5$

Vậy GTLN của $A = 5 \Leftrightarrow x = 0$

b) $B = \frac{- 5}{2\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} + 1 \geq 1 \Rightarrow \frac{- 5}{2\sqrt{x} + 1} \geq - 5$

Vậy GTNN của $B = - 4 \Leftrightarrow x = 0$

c) $C = \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = 2 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Rightarrow 2 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \leq 3$

Vậy GTLN của $C = 3 \Leftrightarrow x = 0$

d) $D = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = 4 - \frac{8}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 2 \Rightarrow - \frac{8}{\sqrt{x} + 2} \geq - 4$

$\Leftrightarrow 4 - \frac{8}{\sqrt{x} + 2} \geq 0$

Vậy GTNN của $D = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

Biến đổi biểu thức về hằng đẳng thức bình phương của một tổng (hoặc một hiệu)
Biện luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Kết luận GTLN – GTNN – dấu “=” xảy ra.

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $A = \sqrt{x^{2} + 3x + 4} + 8$	b) $B = 1 - \sqrt{x^{2} - 2x + 2}$
c) $C = \frac{3}{x - \sqrt{x} + 5}$	d) $D = \frac{- 28}{x - 8\sqrt{x} + 100}$

Hướng dẫn giải

a) $A = \sqrt{x^{2} + 3x + 4} + 8$

$A = \sqrt{\left( x + \frac{3}{2} \right)^{2} + \frac{7}{4}} + 8$

Vì $\left( x + \frac{3}{2} \right)^{2} \geq 0,\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}\left( x + \frac{3}{2} \right)^{2} + \frac{7}{4} \geq \frac{7}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{\left( x + \frac{3}{2} \right)^{2} + \frac{7}{4}} + 8 \geq \sqrt{\frac{7}{4}} + 8 = \frac{16 + \sqrt{7}}{2}$

Vậy GTNN của $A = \frac{16 + \sqrt{7}}{2} \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}$ .

b) $B = 1 - \sqrt{x^{2} - 2x + 2}$

$B = 1 - \sqrt{(x - 1)^{2} + 1}$

Vì $(x - 1)^{2} \geq 0,\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}(x - 1)^{2} + 1 \geq 1$

$\Rightarrow - \sqrt{(x - 1)^{2} + 1} \leq - 1$

$\Rightarrow 1 - \sqrt{(x - 1)^{2} + 1} \leq 0$

Vậy GTLN của $B = 0 \Leftrightarrow x = 1$ .

c) $C = \dfrac{3}{x - \sqrt{x} + 5} =\dfrac{3}{\left( \sqrt{x} - \dfrac{1}{2} \right)^{2} + \dfrac{19}{4}} \leq\dfrac{12}{19}$

$\Rightarrow C \leq \frac{12}{19}$

Vậy GTLN của $C = \frac{12}{19} \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

d) $D = \frac{- 28}{x - 8\sqrt{x} + 100} = \frac{- 28}{\left( \sqrt{x} - 4 \right)^{2} + 81}$

$\Rightarrow D \geq - \frac{1}{3}$

Vậy GTNN của $D = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = 16$ .

3. Phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

Cho hai số không âm $a;b$ ta có: $a + b \geq 2\sqrt{ab}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $a = b$

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $M = \frac{x + 3}{\sqrt{x} + 1};(x \geq 0)$

b) $N = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1};(x > 1)$

Hướng dẫn giải

a) $M = \frac{x + 3}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \geq 2\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right).\frac{4}{\sqrt{x} + 1}} = 4$

$\Rightarrow \sqrt{x} + 1 + \frac{4}{\sqrt{x} + 1} - 2 \geq 2 \Leftrightarrow M \geq 2$

Vậy GTNN của $M = 2 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 = \frac{4}{\sqrt{x} + 1} \Leftrightarrow x = 1$

b) $N = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 2 + \frac{3}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} - 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 1} + 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} - 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 1} \geq 2\sqrt{\left( \sqrt{x} - 1 \right).\frac{3}{\sqrt{x} - 1}} = 2\sqrt{3}$

$\Rightarrow - 1 + \frac{3}{\sqrt{x} - 1} + 3 \geq 2\sqrt{3} + 3$

Vậy GTNN của $N = 2\sqrt{3} + 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 = \frac{3}{\sqrt{x} - 1} \Leftrightarrow x = 4 + 2\sqrt{3}$ .

4. Phương pháp dùng miền giá trị

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) $P = \frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 5};(x \geq 0)$

b) $Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 3\sqrt{x} + 5};(x \geq 1)$

Hướng dẫn giải

a) $P = \frac{\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 5};(x \geq 0)$

TH1: $x = 0 \Rightarrow P = 0$

TH2: $x > 0 \Rightarrow P > 0$ . Xét biểu thức:

$\frac{1}{P} = \frac{x + 2\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + 2 + \frac{5}{\sqrt{x}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{5} \Rightarrow \frac{1}{P} \geq 2\sqrt{5} + 2$

$\Rightarrow P \leq \frac{1}{2\sqrt{5} + 2}$

Vậy GTNN $P = 0 \Leftrightarrow x = 0$

GTLN $P = \frac{1}{2\sqrt{5} + 2} \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{5}{\sqrt{x}} \Leftrightarrow x = 5$ .

b) $Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{x + 3\sqrt{x} + 5};(x \geq 1)$

TH1: $x = 1 \Rightarrow Q = 0$

TH2: $x > 1$ . Xét biểu thức:

$\frac{1}{Q} = \frac{x + 3\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} + 4 + \frac{9}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} - 1 + \frac{9}{\sqrt{x} - 1} + 5$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy chi hai số không âm ta được:

$\sqrt{x} - 1 + \frac{9}{\sqrt{x} - 1} \geq 6 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 + \frac{9}{\sqrt{x} - 1} + 5 \geq 11$

$\Rightarrow \frac{1}{Q} \geq 11 \Rightarrow Q \leq \frac{1}{11}$

Vậy GTNN $Q = 0 \Leftrightarrow x = 0$

GTLN $Q = \frac{1}{11} \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 = \frac{9}{\sqrt{x} - 1} \Leftrightarrow x = 16$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hai biểu thức: $M = \frac{a + 7}{\sqrt{a}}$ và $N = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 3} + \frac{2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{2a - \sqrt{a} - 3}{a - 9}$ với $a > 0,a \neq 9$ .

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $H = M + \frac{1}{N}$ .

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = A.B$ . Biết $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{1 + \sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 2}$ với $x\mathbb{\in Z},x > 0$ .

Bài 3: Cho các biểu thức: $A = \frac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{x - 5\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ với $x \geq 0,x \neq 9$ .

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Với $x > 9$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = A.B$ .

Bài 3: Cho hai biểu thức: $H = \frac{b + 2\sqrt{b} + 2}{\sqrt{b} - 1}$ và $K = \frac{3b + 3\sqrt{b} - 3}{b + \sqrt{b} - 2} - \frac{\sqrt{b} + 1}{\sqrt{b} + 2} - \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} - 1}$ với $b \geq 0,b \neq 1$ .

a) Thu gọn biểu thức K.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{K}{H}$ .

Bài 4: Cho biểu thức $L = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .