Tìm m để ba đường thẳng đồng quy

Chuyên đề Hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm m để ba đường thẳng đồng quy 5,0

1. Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng $y = ax + b;y' = cx + d;(a,c \neq 0)$ .

Tọa độ giao điểm hai đường thẳng là nghiệm phương trình: $ax + b = cx + d$ .
Tìm giá trị x rồi suy ra giá trị của y.
Kết luận tọa độ giao điểm.

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng sau:

a) $\left( d_{1} \right):y = 2x + 1$ và $\left( d_{2} \right):y = - 3x + 2$

b) $\left( d_{1} \right):y = - 3x + 5$ và $\left( d_{2} \right):y = 4 - 2x$

Hướng dẫn giải

a) $\left( d_{1} \right):y = 2x + 1$ và $\left( d_{2} \right):y = - 3x + 2$

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$2x + 1 = - 3x + 2 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5}$

Thay $x = \frac{1}{5}$ vào $\left( d_{1} \right)$ ta được: $y = 2.\frac{1}{5} + 1 = \frac{7}{5}$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $A\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)$ .

b) $\left( d_{1} \right):y = - 3x + 5$ và $\left( d_{2} \right):y = 4 - 2x$

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

$- 3x + 5 = 4 - 2x \Rightarrow x = 1$

Thay $x = 1$ vào $\left( d_{1} \right)$ ta được: $y = - 3.1 + 5 = 2$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là $B(1;2)$ .

Ví dụ: Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = mx + 2$ và $\left( d_{2} \right):y = 3x - m + 2$ . Tìm giá trị của tham số m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $A(1; - 2)$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:

$mx + 2 = 3x - m + 2 \Leftrightarrow (m - 3)x = - m(*)$

Vì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $A(1; - 2) \Rightarrow x = 1;y = - 2$ thay giá trị x vào (*) ta được:

$(m - 3).1 = - m \Rightarrow m = \frac{3}{2}$

Vậy để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $A(1; - 2)$ thì $m = \frac{3}{2}$ .

2. Tìm m để ba đường thẳng đồng quy

Cho ba đường thẳng $y = ax + b;y_{1} = a_{1}x + b_{1};y_{2} = a_{2}x + b_{2};\left( a;a_{1};a_{2} \neq 0 \right)$ . Để tìm m để ba đường thẳng đồng quy ta làm như sau:

Bước 1: Chọn hai trong ba đường thẳng rồi tìm tọa độ giao điểm.
Bước 2: Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào đường thẳng còn lại.
Bước 3: Giải phương trình tìm m.
Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Xác định m để ba đường thẳng sau đồng quy:

a) $\left( d_{1} \right):y = 2x + 1$ ; $\left( d_{2} \right):y = - 3x + 2$ và $\left( d_{3} \right):y = 4x + m - 2$

b) $\left( d_{1} \right):y = - 4x + 2$ ; $\left( d_{2} \right):y = 3 - 2x$ và $\left( d_{2} \right):y = (m - 1)x + 2 - 3m$

Hướng dẫn giải

a) $\left( d_{1} \right):y = 2x + 1$ ; $\left( d_{2} \right):y = - 3x + 2$ và $\left( d_{3} \right):y = 4x + m - 2$

Giả sử tọa độ giao điểm của ba đường thẳng là điểm $A(a;b)$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)$ là:

$2x + 1 = - 3x + 2 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{5} \Rightarrow y = \frac{7}{5}$

$\Rightarrow A\left( \frac{1}{5};\frac{7}{5} \right)$

Để ba đường thẳng đồng quy thì A thuộc $\left( d_{3} \right)$

$\Rightarrow \frac{7}{5} = 4.\frac{1}{5} + m - 2 \Rightarrow m = \frac{13}{5}$

Vậy $m = \frac{13}{5}$ thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

b) $\left( d_{1} \right):y = - 4x + 2$ ; $\left( d_{2} \right):y = 3 - 2x$ và $\left( d_{2} \right):y = (m - 1)x + 2 - 3m$

Giả sử tọa độ giao điểm của ba đường thẳng là điểm $B(a;b)$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)$ là:

$- 4x + 2 = 3 - 2x \Rightarrow 2x = - 1 \Rightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = 4$

$\Rightarrow B\left( - \frac{1}{2};4 \right)$

Để ba đường thẳng đồng quy thì B thuộc $\left( d_{3} \right)$

$\Rightarrow 4 = (m - 1).\left( - \frac{1}{2} \right) + 2 - 3m$

$\Rightarrow 4 = - \frac{1}{2}m + \frac{1}{2} + 2 - 3m$

$\Rightarrow m = - \frac{3}{7}$

Vậy $m = - \frac{3}{7}$ thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

3. Tìm điểm cố định thuộc đồ thị

Phương pháp

Bước 1: Cô lập tham số m.
Bước 2: Cho các biểu thức bằng 0. Tìm giá trị x, y.
Bước 3: Kết luận.

Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua:

a) $y = (m - 2)x + m - 3;(m \neq 2)$

b) $y = (3m - 1)x + 2m + 1;\left( m \neq \frac{1}{3} \right)$

Hướng dẫn giải

a) $y = (m - 2)x + m - 3;(m \neq 2)$

$\Leftrightarrow y = mx - 2x + m - 3$

$\Leftrightarrow (x + 1)m - 2x - 3 - y = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 1 = 0 \\ - 2x - 3 - y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là $A( - 1; - 1)$ .

b) $y = (3m - 1)x + 2m + 1;\left( m \neq \frac{1}{3} \right)$

$\Leftrightarrow y = 3mx - x + 2m + 1$

$\Leftrightarrow (3x + 2).m - x + 1 - y = 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3x + 2 = 0 \\ - x + 1 - y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = - \frac{2}{3} \\ y = \frac{5}{3} \\ \end{matrix} \right.$

Vậy điểm cố định mà đường thẳng đi qua là $B\left( - \frac{2}{3};\frac{5}{3} \right)$ .

4. Tìm m để ba điểm thẳng hàng

Cho tọa độ ba điểm A, B, C. Tìm m để ba điểm đã cho thẳng hàng.

Hay ba điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Ta làm như sau:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng AB.
Bước 2: Thay tọa độ điểm C vào đường thẳng AB vừa tìm được.
Bước 3: Tìm m và kết luận.

Ví dụ: Xác định giá trị của tham số m để ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng

a) $A(5; - 2),B(3; - 7),C( - 3m;2 + m)$

b) $A(3;2),B( - 1;5),C(2 + m;3 - 5m)$

Hướng dẫn giải

a) $A(5; - 2),B(3; - 7),C( - 3m;2 + m)$

Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là $(d):y = ax + b;(a \neq 0)$

Do A thuộc đường thẳng $(d)$ nên $- 2 = 5a + b\ \ \ (*)$

Do B thuộc đường thẳng $(d)$ nên $- 7 = 3a + b \Rightarrow b = - 7 - 3a$ thay vào (*) ta được:

$- 2 = 5a - 7 - 3a \Rightarrow a = \frac{5}{2} \Rightarrow b = - \frac{29}{2}$

Ta được đường thẳng AB là: $y = \frac{5}{2}x - \frac{29}{2}$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm C thuộc đường thẳng AB

$\Rightarrow 2 + m = \frac{5}{2}( - 3m) - \frac{29}{2}$

$\Rightarrow m = - \frac{33}{17}$

Vậy $m = - \frac{33}{17}$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng.

b) $A(3;2),B( - 1;5),C(2 + m;3 - 5m)$

Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là $(d):y = ax + b;(a \neq 0)$

Do A thuộc đường thẳng $(d)$ nên $2 = 3a + b\ \ \ (*)$

Do B thuộc đường thẳng $(d)$ nên $5 = - a + b \Rightarrow b = 5 + a$ thay vào (*) ta được:

$2 = 3a + 5 + a \Rightarrow a = - \frac{3}{4} \Rightarrow b = \frac{17}{4}$

Ta được đường thẳng AB là: $y = - \frac{3}{4}x + \frac{17}{4}$

Để ba điểm A, B, C thẳng hàng thì điểm C thuộc đường thẳng AB

$\Rightarrow 3 - 5m = - \frac{3}{4}.(2 + m) + \frac{17}{4}$

$\Rightarrow m = \frac{1}{17}$

Vậy $m = \frac{1}{17}$ thì ba điểm đã cho thẳng hàng.

5. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho hàm số $y = (m - 2)x + m - 3(d)$ :

a) Vẽ đồ thị hàm số khi $m = 3$ .

b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số $\left( d_{1} \right):y = - 3x + 1$ .

c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm $A(1; - 4)$ .

d) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị m.

e) Tìm m để $(d)$ ; $\left( d_{1} \right)$ và $\left( d_{2} \right):y = 3x - 2$ đồng quy.

f) Tìm giá trị tham số m để điểm A, điểm cố định của hàm số và điểm $C(1; - 2m - 1)$ .

Bài 2: Cho hàm số $y = (2m - 1)x + 5m - 4(d)$ :

a) Vẽ đồ thị hàm số khi $m = 4$ .

b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số $\left( d_{1} \right):y = - 3x + 1$ .

c) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm $A(1; - 3)$ .

d) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị m.

e) Tìm m để $(d)$ ; $\left( d_{1} \right)$ và $\left( d_{2} \right):y = - 5x - 2$ đồng quy.

f) Tìm giá trị tham số m để điểm A, điểm cố định của hàm số và điểm $C(4 + 2m; - 2)$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ