Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp:

Bước 1: Cô lập tham số m theo x.
Bước 2: Biện luận tìm m.

Ví dụ: Cho các biểu thức $C = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a} - 4}$ và biểu thức $D = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - 4}$ . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $a > 0;a \neq 16$

Ta có:

$\frac{C}{D} = \frac{\sqrt{a} + 3}{\sqrt{a}} = 1 + \frac{3}{\sqrt{a}}$

Theo bài ra ta có:

$\frac{C}{D} - m = 1 \Leftrightarrow 1 + \frac{3}{\sqrt{a}} = m + 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{a} = \frac{3}{m}$

Dựa vào điều kiện xác định $a > 0;a \neq 16$ thì để phương trình có nghiệm thì $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{m} > 0 \\\dfrac{3}{m} \neq 4 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m > 0 \\m \neq \dfrac{3}{4} \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m > 0;m \neq \frac{3}{4}$ thì phương trình $\frac{C}{D} - m = 1$ có nghiệm.

Ví dụ: Cho các biểu thức $P = \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b}}$ và biểu thức $Q = \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} + 3}$ . Để phương trình $\frac{P}{Q} = m$ có nghiệm thì giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $b > 0$

Ta có:

$\frac{P}{Q} = \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b}}:\frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b} + 3} = \frac{\sqrt{b} - 2}{\sqrt{b}}.\frac{\sqrt{b} + 3}{\sqrt{b} - 2} = \frac{\sqrt{b} + 3}{\sqrt{b}}$

Xét phương trình:

$\frac{P}{Q} = m \Leftrightarrow \frac{\sqrt{b} + 3}{\sqrt{b}} = m$

$\Leftrightarrow \sqrt{b} + 3 = m\sqrt{b} \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt{b} = 3(*)$

TH1: Với $m = 1$ thì phương trình (*) vô nghiệm.

TH2: $m \neq 1 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{b} = \frac{3}{m - 1}$

Do $b > 0 \Rightarrow \sqrt{b} > 0$

Để có b thỏa mãn $\frac{P}{Q} = m$ thì cần $\frac{3}{m - 1} > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$

Vậy $m > 1$ thì phương trình $\frac{P}{Q} = m$ có nghiệm.

Ví dụ: Cho biểu thức $M = \frac{\sqrt{x} + 1 + x}{\sqrt{x} - 1}$ và $N = \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ .

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm m để phương trình $M.N = m$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $b > 0$

a) Ta có:

$N = \frac{x + 2}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

$N = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{3}} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

$N = \frac{x + 2}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

$N = \frac{x + 2 + \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) - x - \sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}$

$N = \frac{x + 2 + x - 1 - x - \sqrt{x} - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}$

$N = \frac{x - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$

b) Ta có: $M.N = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Lại có:

$M.N = m \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = m \Leftrightarrow (m - 1)\sqrt{x} = m(*)$

TH1: Với $m = 1$ thì phương trình (*) vô nghiệm.

TH2: $m \neq 1 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{m}{m - 1}$

Vì $\left\{ \begin{matrix}x \geq 0 \\x \neq 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{m}{m - 1} \geq 0 \\\dfrac{m}{m - 1} \neq 1 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m > 1 \\m \leq 0 \\\end{matrix} \right.\ \\m\mathbb{\in R} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m > 1 \\m \leq 0 \\\end{matrix} \right.$

Vậy $m > 1$ hoặc $m \leq 0$ thì phương trình $M.N = m$ có nghiệm.

Ví dụ: Cho biểu thức $Z = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ và $T = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình $Z - T = m$ có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$Z - T = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

Xét phương trình

$Z - T = m \Leftrightarrow \frac{- \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = m$

$\Leftrightarrow (m + 1)\sqrt{x} = - m(*)$

TH1: Với $m = - 1$ thì phương trình (*) vô nghiệm.

TH2: $m \neq - 1 \Rightarrow (*) \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{- m}{m + 1}(**)$

Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0$

Để phương trình $Z - T = m$ có nghiệm thì từ phương trình (**) cần có:

$\frac{- m}{m + 1} \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} - m \geq 0 \\ 1 + m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} - m \leq 0 \\ 1 + m < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} m \leq 0 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} m \geq 0 \\ m < - 1 \\ \end{matrix} \right.\ (L) \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 1 < m \leq 0$

Vậy phương trình $Z - T = m$ có nghiệm khi $- 1 < m \leq 0$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ với $x > 0;x \neq 1$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình $C = \frac{1}{a}$ có nghiệm, biết $C = \frac{A}{B}$ ?

Bài 2: Cho hai biểu thức $U = \frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a}}$ và $V = \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - 3} - \frac{7\sqrt{a} - 9}{a - 9}$ với $a > 0;a \neq 9$ .

a) Rút gọn biểu thức V.

b) Biết $H = \frac{U}{V}$ . Tìm giá trị của tham số m để có giá trị x thỏa mãn $H = m$ ?

Bài 3: Cho biểu thức $R = \frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 2}$ và $W = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \right):\left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{2}{x - 1} \right)$ .