Tìm tọa độ điểm đối xứng và hình chiếu vuông góc

Chuyên đề Đồ thị hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm tọa độ điểm đối xứng và hình chiếu vuông góc 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tìm tọa độ điểm đối xứng

Phương pháp

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm $M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left( x_{2};y_{2} \right)$ khi đó:

Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = - y_{2} \\ \end{matrix} \right.$
Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục tung $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = - x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ \end{matrix} \right.$
Hai điểm M và N đối xứng với nhau qua gốc tọa độ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} = - x_{2} \\ y_{1} = - y_{2} \\ \end{matrix} \right.$

Phương pháp

Cho điểm $M\left( x_{M};y_{M} \right)$ . Tìm tọa độ điểm $N\left( x_{N};y_{N} \right)$ đối xứng với M qua đường thẳng $d:y = ax + b$ .

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

Bước 2: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm giao điểm $I\left( x_{I};y_{I} \right)$ của hai đường thẳng.

Bước 3: Điểm N đối xứng với M qua d $\Leftrightarrow$ I là trung điểm của MN.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{I} = \dfrac{x_{M} + x_{N}}{2} \\y_{I} = \dfrac{y_{M} + y_{N}}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x_{I} - x_{M} = x_{N} \\2y_{I} - y_{M} = y_{N} \\\end{matrix} \right.$

Bước 4: Kết luận điểm đối xứng.

Ví dụ: Cho điểm $A(2;1)$ . Xác định tọa độ các điểm:

a) B đối xứng với A qua trục tung.

b) C đối xứng với A qua trục hoành.

c) D đối xứng với A qua gốc tọa độ.

d) E đối xứng với A qua đường thẳng $(d):y = 2x - 1$ .

Hướng dẫn giải

a) Điểm B đối xứng với điểm A qua trục tung $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{B} = - 2 \\ y_{B} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow B( - 2;1)$

b) Điểm C đối xứng với điểm A qua trục hoành $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 2 \\ y_{C} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow C(2; - 1)$

c) Điểm D đối xứng với điểm A qua gốc tọa độ $\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{D} = - 2 \\ y_{D} = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow D( - 2; - 1)$

d) Điểm E đối xứng với điểm A qua đường thẳng $(d):y = 2x - 1$ .

Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $(d):y = 2x - 1$ và đi qua điểm A.

$\Rightarrow \Delta:y = - \frac{1}{2}x + 2$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $\Delta$ là:

$- \frac{1}{2}x + 2 = 2x - 1$

$\Leftrightarrow \frac{5}{2}x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{6}{5} \Rightarrow y = \frac{7}{5}$

Suy ra giao điểm của $(d)$ và $\Delta$ là: $H\left( \frac{6}{5};\frac{7}{5} \right)$

Điểm E đối xứng với điểm A qua đường thẳng $(d):y = 2x - 1$ nên điểm H là trung điểm của AE.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{x_{A} + x_{E}}{2} \\y_{H} = \dfrac{y_{A} + y_{E}}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x_{H} - x_{A} = x_{E} \\2y_{H} - y_{A} = y_{E} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{E} = 2.\dfrac{6}{5} - 2 = \dfrac{2}{5} \\y_{E} = 2.\dfrac{7}{5} - 1 = \dfrac{9}{5} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow E\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{9}{5}\right)$

2. Tìm tọa độ hình chiếu của M lên đường thẳng d

Phương pháp giải:

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ và vuông góc với $(d)$
Hình chiếu của M lên d là điểm H (giao điểm của $\Delta$ và d)
Nếu điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ khi đó tọa độ hình chiếu H của M trên Ox có tọa độ là $H\left( x_{0};0 \right)$
Nếu điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right) \notin d$ mà bài toán yêu cầu: “Tìm tọa độ điểm $H \in d$ sao cho $MH$ ngắn nhất” thì tương đương với việc tìm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d):y = 2x - 3$ . Tìm tọa độ hình chiếu của gốc tọa độ lên đường thẳng $(d)$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng $(d)$ có dạng $(d'):y = - \frac{1}{2}x$

Hình chiếu của gốc tọa độ lên đường thẳng $(d)$ là giao điểm K của $(d)$ và $(d')$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(d')$ là:

$2x - 3 = - \frac{1}{2}x$

$\Leftrightarrow x = \frac{6}{5} \Rightarrow y = - \frac{3}{5}$

Vậy tọa độ hình chiếu của gốc tọa độ lên đường thẳng $(d)$ là $K\left( \frac{6}{5}; - \frac{3}{5} \right)$ .

Ví dụ: Cho điểm $M(3; - 1)$ và đường thẳng $(d):3x - 4y + 12 = 0$ .

a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M lên đường thẳng (d).

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng $(d):3x - 4y + 12 = 0 \Rightarrow (d):y = \frac{3}{4}x + 3$

Gọi $(d'):y = ax + b$ là đường thẳng đi qua điểm $M(3; - 1)$ vuông góc với đường thẳng $(d)$ tại H.

$(d)\bot(d') \Rightarrow a.\frac{3}{4} = - 1 \Rightarrow a = - \frac{4}{3}$

$(d')$ đi qua điểm $M(3; - 1) \Rightarrow 3a + b = - 1 \Rightarrow b = - 3a - 1 = 3$

Suy ra $(d'):y = - \frac{4}{3}x + 3$

Điểm H là tọa độ giao điểm của $(d');(d)$

Vì $(d');(d)$ có cùng tung độ gốc bằng 3 nên $H(0;3)$ .

b) Ta có M’ đối xứng với M qua đường thẳng (d)

Suy ra H là trung điểm của MM’

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{H} = \dfrac{x_{M} + x_{M'}}{2} \\y_{H} = \dfrac{y_{M} + y_{M'}}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2x_{H} - x_{M} = x_{M'} \\2y_{H} - y_{M} = y_{M'} \\\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{M'} = - 3 \\ y_{M'} = 7 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow M'( - 3;7)$ .

3. Tìm tọa độ điểm thỏa mãn hình đặc biệt

Ví dụ: Cho tọa độ các điểm $A( - 1;6),B( - 4;4),C(1;1)$ . Tìm tọa độ đỉnh $D$ của hình bình hành $ABCD$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $(AB):y = ax + b$

+ Đi qua $A( - 1;6) \Rightarrow 6 = a.( - 1) + b \Rightarrow b = a + 6$

+ Đi qua $B( - 4;4) \Rightarrow - 4a + b = 4 \Rightarrow b = 4 + 4a$

Do đó

$4 + 4a = a + 3 \Leftrightarrow 3a = 2$

$\Rightarrow (AB):y = \frac{2}{3}x + \frac{20}{3}$

Vì ABCD là hình bình hành nên CD // AB => Đường thẳng (CD) có dạng $y = \frac{2}{3}x + b'$ .

Đường thẳng DC đi qua điểm $C(1;1) \Rightarrow \frac{2}{3} + b' = 1 \Rightarrow b' = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow (CD):y = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}$

Phương trình đường thẳng BC có dạng $y = mx + n$

+ Đi qua $B( - 4;4) \Rightarrow - 4m + n = 4 \Rightarrow n = 4m + 4$

+ Đi qua $C(1;1) \Rightarrow m + n = 1 \Rightarrow n = 1 - m$

Do đó $4m + 4 = 1 - m \Leftrightarrow m = - \frac{3}{5} \Rightarrow n = \frac{8}{5}$

Suy ra $(BC):y = - \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$

Đường thẳng $AD//BC$ nên đường thẳng AD có dạng $y = - \frac{3}{5}x + p$

Đường thẳng AD đi qua điểm A(-1; 6) $\Rightarrow \frac{3}{5}x + p = 6 \Rightarrow p = \frac{27}{5}$

$\Rightarrow (AD):y = - \frac{3}{5}x + \frac{27}{5}$

Điểm D là giao điểm của hai đường thẳng AD và CD

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = - \frac{3}{5}x + \frac{27}{5} \Leftrightarrow x = 4$

$\Rightarrow y = 3 \Rightarrow D(4;3)$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường thẳng $(d):y = 2x - 3$ . Tìm tọa độ điểm $B$ đối xứng với điểm $A(1;5)$ qua đường thẳng $(d)$ .

Bài 2: Cho hai đường thẳng $(\Delta):3x - y + 2 = 0$ . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm $M(3;2)$ lên đường thẳng $(\Delta)$ .

Bài 3: Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = (m - 1)x + m - 2$ và $\left( d_{2} \right):y = (2m + 1)x + 2m$ . Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại A và cắt trục hoành sao cho tam giác tạo thành là tam giác vuông tại A.

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

40.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ