Tìm x để P nhận giá trị nguyên

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tìm x để P nhận giá trị nguyên 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chia tử thức cho mẫu thức.
Bước 2: Tìm giá trị của x để mẫu là ước của tử.
Bước 3: Kết hợp với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Tìm giá trị x nguyên để $M = \frac{4}{\sqrt{x} + 1}$ nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Để $M\mathbb{\in Z}$ thì $\sqrt{x} + 1 \in U(4) = \left\{ \pm 1; \pm 2; \pm 4 \right\}$

Ta có bảng sau:

$\sqrt{x} + 1$	-1	1	-2	2	-4	4
$\sqrt{x}$	-2	0	-3	1	-5	3
$x$	Loại	0	Loại	1	Loại	9

Vậy để M nhận giá trị nguyên thì $x \in \left\{ 0;1;9 \right\}$ .

Ví dụ: Tìm $x\mathbb{\in Z}$ để $N = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 3}\mathbb{\in Z}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $N = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 3} = 1 - \frac{7}{\sqrt{x} + 3}$

Để $M\mathbb{\in Z}$ thì $\sqrt{x} + 3 \in U(7) = \left\{ \pm 1; \pm 7 \right\}$

Ta có bảng sau:

$\sqrt{x} + 3$	-1	1	-7	7
$\sqrt{x}$	-4	-2	-10	4
$x$	Loại	Loại	Loại	16

Vậy để N nhận giá trị nguyên thì $x = 16$ .

2. Tìm x để P nhận giá trị nguyên

Phương pháp 1:

Bước 1: Dựa vào điều kiện xác định để biện luận biểu thức bị chặn trên – chặn dưới.
Bước 2: Với các giá trị nguyên trong khoảng đó ta tìm được giá trị của x.
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện và kết luận.

Phương pháp 2:

Bước 1: Đặt biểu thức bằng P.
Bước 2: Rút $\sqrt{x}$ theo P và dựa vào điều kiện $x \geq 0$ để tìm P suy ra x.
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Cho biểu thức $P = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ . Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P\sqrt{x} + 3P = 2\sqrt{x} - 1$

$\Leftrightarrow (P - 2)\sqrt{x} = - 1 - 3P$

Nhận thấy $P = 2$ không có nghiệm x nên ta được $\sqrt{x} = \frac{- 1 - 3P}{P - 2}$

Do $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{- 1 - 3P}{P - 2} \geq 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} - 1 - 3P \geqslant 0 \hfill \\ P - 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} - 1 - 3P \leqslant 0 \hfill \\ P - 2 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} P \leqslant - \frac{1}{3} \hfill \\ P > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( L \right) \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} P \geqslant - \frac{1}{3} \hfill \\ P < 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \leqslant P < 2$

Do $P\mathbb{\in Z}$ suy ra $P = \left\{ 0;1 \right\}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}P = 0 \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} = 0 \Rightarrow x =\dfrac{1}{4}(tm) \\P = 1 \Rightarrow \dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} = 1 \Rightarrow x =16(tm) \\\end{matrix} \right.$

Vậy để $P\mathbb{\in Z}$ thì $x \in \left\{ \frac{1}{4};16 \right\}$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $E = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$ . Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$E = \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} \Leftrightarrow E\sqrt{x} + E = 2\sqrt{x} - 3$

$\Leftrightarrow (E - 2)\sqrt{x} = - 3 - E$

Nhận thấy $E = 2$ không có nghiệm x nên ta được $\sqrt{x} = \frac{- 3 - E}{E - 2}$

Do $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \frac{- 3 - E}{E - 2} \geq 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} - 3 - E \geq 0 \\ E - 2 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} - 3 - E \leq 0 \\ E - 2 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} E \leq - 3 \\ E > 2 \\ \end{matrix} \right.\ (L) \\ \left\{ \begin{matrix} E \geq - 3 \\ E < 2 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 3 \leq E < 2$

Do $E\mathbb{\in Z}$ suy ra $P = \left\{ - 3; - 2; - 1;0;1 \right\}$

$E = - 3 \Rightarrow \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = - 3 \Rightarrow x = 0(tm)$

$E = - 2 \Rightarrow \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = - 2 \Rightarrow x = \frac{1}{16}(tm)$

$E = - 1 \Rightarrow \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = - 1 \Rightarrow x = \frac{4}{9}(tm)$

$E = 0 \Rightarrow \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = 0 \Rightarrow x = \frac{9}{4}(tm)$

$E = 1 \Rightarrow \frac{2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} = 1 \Rightarrow x = 16(tm)$

Vậy để $E\in\mathbb{ Z}$ thì $x \in \left\{ \frac{1}{16};\frac{4}{9};0;\frac{9}{4};16 \right\}$ .

Ví dụ: Cho biểu thức: $Q = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x}$ với $x > 0,x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Tìm $x$ để biểu thức $\frac{7}{Q}$ chỉ nhận một giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$Q = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x}$

$Q = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^{3}} - 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x^{3}} + 1 \right)}{x\left( \sqrt{x} + 1 \right)}$

$Q = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( x - \sqrt{x} + 1 \right)}{x\left( \sqrt{x} + 1 \right)}$

$Q = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$

$Q = \frac{2x + 2 + x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$Q = \frac{2x + 2 + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 2$

b) Xét $\frac{7}{Q} = \frac{7\sqrt{x}}{2x + 2 + 2\sqrt{x}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{2\sqrt{x}.\frac{2}{\sqrt{x}}} = 4$

$\Rightarrow Q = 2\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 2 \geq 6$

$\Rightarrow \frac{7}{Q} \leq \frac{7}{6} \Rightarrow 0 < \frac{7}{Q} \leq \frac{7}{6}$

Do vậy $\frac{7}{Q}$ chỉ nhận một giá trị nguyên là 1.

$\Rightarrow \frac{7\sqrt{x}}{2x + 2 + 2\sqrt{x}} = 1 \Rightarrow 5\sqrt{x} = 2x + 2$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\sqrt{x} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{1}{4} \\\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 \\\end{matrix} \right.\ (tm)$

Vậy để $\frac{7}{Q}$ chỉ nhận một giá trị nguyên thì $x \in \left\{ \frac{1}{4};4 \right\}$ .

Ví dụ: Cho biểu thức: $H = \frac{2\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}}$ và $K = \left( \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} \right):\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 5}$ với $x \geq 0,x \neq 25$ .

a) Rút gọn biểu thức K.

b) Tìm $x$ để biểu thức $A = H + K$ nhận giá trị nguyên?

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$K = \left( \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} \right):\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 5}$

$K = \left\lbrack \frac{15 - \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 5 \right)\left( \sqrt{x} - 5 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} + 5} \right\rbrack:\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 5}$

$K = \frac{15 - \sqrt{x} + 2\left( \sqrt{x} - 5 \right)}{\left( \sqrt{x} + 5 \right)\left( \sqrt{x} - 5 \right)}.\frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}$

$K = \frac{\sqrt{x} + 5}{\left( \sqrt{x} + 5 \right)\left( \sqrt{x} - 5 \right)}.\frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 3}$

$K = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$

b) Ta có:

$A = H + K = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{2\left( \sqrt{x} + 3 \right) - 5}{\sqrt{x} + 3} = 2 - \frac{5}{\sqrt{x} + 3}$

Để $A\mathbb{\in Z}$ thì $\sqrt{x} + 3 \in U(5) = \left\{ \pm 1; \pm 5 \right\}$

Vì $\sqrt{x} + 3 \geq 3 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 = 5 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Leftrightarrow x = 4(tm)$

Vậy để $A\mathbb{\in Z}$ thì $x = 4$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho các biểu thức: $A = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4x}{4 - x}$ với $x \geq 0,x \neq 4$ .

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm $x$ để biểu thức $H = \frac{B}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 2: Cho biểu thức: $C = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{2x - 3\sqrt{x} + 9}{9 - x}$ với $x \geq 0,x \neq 9$ .

a) Thu gọn biểu thức C.

b) Tìm $x\mathbb{\in Z}$ để biểu thức $C\mathbb{\in Z}$ .

Bài 3: Cho biểu thức: $D = \frac{3x + \sqrt{9x} - 3}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}}$ .

a) Rút gọn D.

b) Tìm $x\mathbb{\in Z}$ để biểu thức $\frac{1}{D}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho biểu thức: $M = \frac{4\sqrt{x} + 7}{x - 1}$ và $N = \frac{x + 2}{x + \sqrt{x} - 2} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ với $x \geq 0,x \neq 1$