Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Chuyên đề Tiếp tuyến của đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí 1: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Đường tròn nội tiếp tam giác

a) Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

b) Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của góc trong tam giác.

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Đường tròn bàng tiếp tam giác

a) Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

b) Một tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

c) Tâm của đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C (hoặc là giao điểm của đường phân giác của góc A và phân giác ngoài tại B, hoặc C).

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp giải

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Ví dụ: Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $M$ . Đường thẳng vuông góc với $OA$ tại $O$ cắt $MB$ tại $C$ . Chứng minh $CM = CO$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$\widehat{BMO} = \widehat{AMO}(1)$

Vì $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MA\bot AO$

$\Rightarrow MA//OC$ (cùng vuông góc với $OA$ )

$\Rightarrow \widehat{AMO} = \widehat{COM}$ (so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{COM} = \widehat{CMO}$

Xét tam giác $COM$ có $\widehat{COM} = \widehat{CMO}$ nên tam giác $COM$ cân tại $C$ .

Ví dụ: Hai tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $I$ . Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $IA$ cắt $OB$ tại $K$ . Chứng minh:

a) $IK//OA$

b) Tam giác $IOK$ cân.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

a) Vì $IA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $IA\bot OA$

Mặt khác $IK\bot OA$ (giả thiết)

Suy ra $IK//OA$ (cùng vuông góc với $IA$ ).

b) Vì $IK//OA$ nên $\widehat{AOI} = \widehat{KIO}$ (so le trong) (1)

Vì tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $A;B$ cắt nhau tại $I$ nên $\widehat{BOI} = \widehat{AOI}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{KOI} = \widehat{KIO}$

Xét tam giác $IOK$ có $\widehat{KOI} = \widehat{KIO}$ nên tam giác $IOK$ cân tại $K$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ . Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến $AB;AC$ với đường tròn tâm $O$ với $B;C$ là tiếp điểm.

a) Chứng minh $AO$ là đường trung trực của $BC$ .

b) Kẻ đường kính $CD$ của $(O)$ . Chứng minh $BD$ song song với $AO$ .

c) Kẻ $OM$ vuông góc với $OB$ ( $M \in AC$ ). Chứng minh $MO = MA$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

a) Vì $AB;AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ suy ra $AC = AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

$\Rightarrow$ $A$ thuộc đường trung trực của $BC$ . Mặt khác $OA = OB$ (cùng bằng bán kính)

$\Rightarrow$ $O$ thuộc đường trung trực của $BC$ .

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$ .

b) Vì $OM\bot OB$ (giả thiết) $\Rightarrow \widehat{MOA} + \widehat{AOB} = 90^{0}$ (1)

Ta có: $\widehat{MAO} = \widehat{BAO}$ (vì $A$ là giao điểm của hai tiếp tuyến chung của $(O)$ )

Vì $\widehat{OAB} + \widehat{AOB} = 90^{0} \Rightarrow \widehat{MAO} + \widehat{AOB} = 90^{0}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAO} = \widehat{MOA}$

Suy ra tam giác $MAO$ cân tại $M$ hay $MA = MO$ .

Dạng 2: Chứng minh tiếp tuyến, độ dài, tính số đo góc

Phương pháp giải

Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ: Từ điểm $M$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ (với $A;B$ là tiếp tuyến). Biết rằng $\widehat{AMB} = 40^{0}$ . Tính góc $\widehat{AOB}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

Vì $MA;MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $MA\bot OA;MB\bot OB$

Xét tứ giác $MAOB$ có

$\widehat{O} + \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{M} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{O} + 90^{0} + 40^{0} + 90^{0} = 360^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{O} = 140^{0}$

Vậy $\widehat{AOB} = 140^{0}$ .

Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ . Kẻ các tiếp tuyến $Ax;By$ cùng phía với nửa đường tròn đối với $AB$ . Từ điểm $M$ trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn, nó cắt $Ax;By$ lần lượt tại $C;D$ .

a) Chứng minh tam giác $COD$ là tam giác vuông và $MC.MD = OM^{2}$ .

b) Biết $OC = AB = 2R$ . Tính $AC;BD$ theo $R$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

a) Vì tiếp tuyến tại $A;M$ của đường tròn cắt nhau tại $C$ nên $\widehat{COA} = \widehat{COM}$

Vì tiếp tuyến tại $B;M$ của đường tròn cắt nhau tại $D$ nên $\widehat{DOB} = \widehat{DOM}$

Ta có:

$\widehat{AOB} = \widehat{AOC} + \widehat{COM} + \widehat{MOD} + \widehat{DOB} = 180^{0}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{COM} + 2\widehat{MOD} = 180^{0} \Leftrightarrow \widehat{COM} + \widehat{MOD} = 90^{0}$

Xét tam giác $COD$ có $\widehat{COM} + \widehat{MOD} = 90^{0}$

Vậy tam giác $COD$ vuông tại $O$ .

Vì $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ có tiếp điểm là $M$ nên $OM\bot CD$

Vì tam giác $COD$ vuông tại $O$ có đường cao $OM$ nên ta có: $OM^{2} = MC.MD$

b) Xét tam giác $AOC$ vuông tại $A$ có $AO = R;OC = 2R$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông AOC có:

$OC^{2} = OA^{2} + AC^{2} \Leftrightarrow 4R^{2} = R^{2} + AC^{2}$

$\Leftrightarrow AC = R\sqrt{3}$

Vì tiếp tuyến tại $A;M$ của đường tròn $(O)$ nên $CA = CM = R\sqrt{3}$

Xét tam giác vuông $COD$ có $OM$ là đường cao và $OC^{2} = CM.CD \Leftrightarrow 4R^{2} = R\sqrt{3}.CD$

$\Leftrightarrow CD = \frac{4R^{2}}{R\sqrt{3}}$

$\Rightarrow MD = CD - CM = \frac{4R\sqrt{3}}{3} - R\sqrt{3} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$

Vì tiếp tuyến tại $B;M$ của đường tròn cắt nhau tại $D$ nên $DM = DB = \frac{R\sqrt{3}}{3}$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 2R$ . Trên cùng nửa mặt phẳng vẽ hai tiếp tuyến $Ax;By$ . Điểm $M$ nằm trên $(O)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ cắt $Ax;By$ lần lượt tại $C;D$ . Đường thẳng $AD$ cắt $BC$ tại $N$ .

a) Chứng minh $A;C;M;O$ thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OC//BM$ .

c) Tìm vị trí của điểm $M$ để $S_{ABCD}$ nhỏ nhất.

d) Chứng minh $MN$ và $AB$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Toán 9

a) Vì $Ax$ là tiếp tuyến của $(O)$ $\Rightarrow Ax\bot AO$

xét $\Delta AOC$ có $\widehat{OAC} = 90^{0}$ suy ra $A$ thuộc đường tròn đường kính $CO$ (1)

Vì $MC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\Rightarrow \widehat{CMO} = 90^{0}$ suy ra $M$ thuộc đường tròn đường kính $CO$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A;C;O;M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$ .

b) Vì $CM;CA$ là tiếp tuyến của $(O)$ suy ra $OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Mà $\Delta AOM$ cân tại $O$ suy ra $OC\bot AM$ (tính chất tam giác cân) (3)

Vì $M \in (O) \Rightarrow MO = OA = OB$ hay $\Delta AOM$ có đường trung tuyến $OM$ bằng một nửa cạnh huyền

Suy ra $\Delta AOM$ vuông tại $M \Rightarrow BM\bot AM(4)$

Từ (3) và (4) suy ra $OC//BM$ .

c) Vì $OC$ là phân giác góc $\widehat{AOM}$ ; $OD$ là phân giác góc $\widehat{BOM}$ và $\widehat{AOM}$ ; $\widehat{BOM}$ là hai góc kề bù nên $CO\bot OD$ (tính chất phân giác của hai góc kề bù)

Xét tam giác $COD$ có $\widehat{COD} = 90^{0};OM\bot CD$

$\Rightarrow CM.MD = OM^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà $CM = CA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$DM = DA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) $OM^{2} = CA.DB = R^{2}$

Ta có: $AC + BD \geq 21$

$\Rightarrow S_{ABCD} = \frac{(AC + BD).AB}{2} \geq \frac{2R.2R}{2} = 2R^{2}$

Vậy $S_{ABCD}$ nhỏ nhất bằng $2R^{2}$

$\Leftrightarrow AC = BD$ hay $M$ là điểm chính giữa cung $AB$ .

d) Vì $AC//BD$ (cùng vuông góc với $AB$ )

$\Rightarrow \frac{CN}{BN} = \frac{AC}{BD} = \frac{CM}{MD}$ (vì $CM = CA;DM = DB$ )

$\Rightarrow MN//BD$ mà $BD\bot AB$ (do BD là tiếp tuyến) $\Rightarrow MN\bot AB$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ kẻ hai tiếp tuyến $AB;AC$ (với $B;C$ là các tiếp điểm). Kẻ $BE$ vuông góc với $AC;CF$ vuông góc $AB$ ( $E \in AC;F \in AB$ ), $BE;CF$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh tứ giác $BCOH$ là hình thoi.

b) Chứng minh ba điểm $A;H;O$ thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm $A$ để điểm $H$ thuộc $(O)$ .

Bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$ . Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA;MB$ với đường tròn ( $A;B$ là tiếp điểm) sao cho $\widehat{AMO} = 30^{0}$ .

a) Chứng minh $MO = 2R$ .

b) Tính $AB$ theo $R$ .

c) Tính diện tích tam giác $AMB$ theo $R$ .

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , điểm $I$ là tâm.

a) Chứng minh: Bốn điểm $B;I;C;K$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $(O)$ là đường tròn đi qua bốn điểm $B;I;C;K$ . Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến đường tròn $(O;OK)$ .

c) Tính bán kính của $(O)$ biết $AB = AC = 20cm;BC = 24cm$ .

Bài 4: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $AB;AC$ với đường tròn ( $B;C$ là các tiếp điểm)

a) Gọi $E$ là giao điểm của $BC;OA$ . Chứng minh rằng $BE\bot OA;OE.OA = R^{2}$ .

b) Trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $K$ bất kì ( $K \neq B;K \neq C$ ). Tiếp tuyến tại $K$ của đường tròn $(O;R)$ cắt $AB;AC$ theo thứ tự tại $P;Q$ . Chứng minh tam giác $APQ$ có chu vi không đổi khi $K$ chuyển động trên cung nhỏ $BC$ .

Bài 5: Cho góc nhọn $xOy$ và một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các tia $Ox;Oy$ tương ứng tại các điểm $A;B$ . Một đường thẳng qua $B$ và song song với $Ox$ cắt đường tròn $(I)$ lần thứ hai tại $C$ .

a) Chứng minh $AB = AC$ .

b) Đường thẳng $OC$ cắt dây cung $AB$ tại $E$ . Chứng minh rằng $OE > AE$ .

c) Gọi $F$ là điểm đối xứng với $O$ qua $A$ . Chứng minh rằng $CF$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$ .

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$ . Dựng đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với các cạnh $AB;AC$ lần lượt tại $D;E$ . Lấy các điểm $M;N$ tương ứng trên các đoạn thẳng $AD;AE$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với đường tròn tâm $O$ .

a) Chứng minh rằng góc $\widehat{MON}$ có số đo không đổi khi $M;N$ thay đổi.

b) Chứng minh rằng $BM.CN$ không đổi.

Bài 7: Cho đường tròn $(O)$ nội tiếp hình thoi $ABCD$ . Kẻ một tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ cắt các cạnh $AD;AB$ theo thứ tự ở $E;F$ . Kẻ một tiếp tuyến khác với đường tròn $(O)$ cắt cạnh $CB;CD$ theo thứ tự tại $G;H$ . Chứng minh rằng:

a) $BE.DF = OB.OD$

b) $EG//HF$

Bài 8: Đường tròn $(I;r)$ nội tiếp và đường tròn $\left( J;r_{a} \right)$ bằng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tương ứng tại các điểm $M;P$ . Đoạn thẳng $AP$ cắt đường tròn $(I;r)$ tại điểm $N$ .