Tính diện tích (chu vi) tam giác, diện tích tứ giác trong hệ tọa độ

Chuyên đề Đồ thị hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tính diện tích (chu vi) tam giác, diện tích tứ giác trong hệ tọa độ 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương pháp

Xác định tọa độ các đỉnh của hình trong hệ tọa độ Oxy.
Vẽ tam giác và tứ giác đó trong hệ tọa độ Oxy.
Từ hình vẽ trong hệ tọa độ xác định độ dài cạnh, đường cao.
Tính chu vi và diện tích.

Kiến thức bổ sung

Cho hai điểm $M\left( x_{M};y_{M} \right),N\left( x_{N};y_{N} \right)$ trong hệ tọa độ Oxy

$MN = \sqrt{\left( x_{N} - x_{M} \right)^{2} + \left( y_{N} - y_{M} \right)^{2}}$

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , vẽ tam giác $A(1;2),B( - 1;0),C(2;0)$ .

a) Tính diện tích tam giác $ABC$ .

b) Tính chu vi tam giác $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính diện tích (chu vi) tam giác, diện tích tứ giác trong hệ tọa độ

a) Gọi H là hình chiếu của điểm A lên trục hoành $\Rightarrow H(1;0)$

Ta có:

$BC = OB + OC = \left| x_{B} \right| + \left| x_{C} \right| = 1 + 2 = 3$

$AH = \left| y_{A} \right| = 2$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.2.3 = 3(dvdt)$

b) Ta có:

$BH = OB + BH = \left| x_{B} \right| + \left| x_{H} \right| = 1 + 1 = 2$

$AH = \left| x_{C} - x_{B} \right| = 1$

Xét tam giác AHB vuông tại H

$\Rightarrow AB^{2} = AH^{2} + HB^{2} = 4 + 4 = 8$

$\Rightarrow AB = 2\sqrt{2}(dvdt)$

Xét tam giác AHC vuông tại H

$\Rightarrow AC^{2} = AH^{2} + HC^{2} = 4 + 1 = 5$

$\Rightarrow AC = \sqrt{5}(dvdt)$

Chu vi tam giác ABC là $AB + BC + AC = 2\sqrt{2} + \sqrt{5} + 3$ .

Ví dụ: Cho hàm số $y = mx + 2m,(m \neq 0)$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tọa độ $Ox;Oy$ lần lượt tại $A;B$ tạo tam giác vuông có chu vi bằng $4 + 2\sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

Với $y = 0 \Rightarrow x = - 2$ suy ra giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $Ox$ là $A( - 2;0)$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2m$ suy ra giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $Oy$ là $B(0;2m)$

Xét tam giác vuông $OAB$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} OA = \left| x_{A} \right| = | - 2| = 2 \\ OB = \left| y_{B} \right| = |2m| = 2.|m| \\ \end{matrix} \right.$

Suy ra $AB = \sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \sqrt{2^{2} + (2m)^{2}} = 2\sqrt{m^{2} + 1}$

Suy ra chu vi tam giác OAB là

$C_{ABO} = OA + OB + AB$

$= 2 + 2|m| + 2\sqrt{m^{2} + 1}$

Mà theo đề bài có chu vi tam giác OAB là $4 + 2\sqrt{2}$ .

$\Leftrightarrow 2 + 2|m| + 2\sqrt{m^{2} + 1} = 4 + 2\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{m^{2} + 1} = 2\sqrt{2} + 2 - 2|m|$

$\Leftrightarrow 4\left( m^{2} + 1 \right) = \left( 2\sqrt{2} + 2 - 2|m| \right)^{2}$

$\Leftrightarrow 4m^{2} + 4 = \left( 2\sqrt{2} + 2 \right)^{2} - 8\left( \sqrt{2} + 1 \right)|m| + 4m^{2}$

$\Leftrightarrow 8\left( \sqrt{2} + 1 \right)|m| = 8 + 8\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |m| = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy $m = \pm 1$ thì $(d):y = mx + 2m$ cắt hai trục tọa độ tạo một tam giác vuông có chu vi bằng $4 + 2\sqrt{2}$ .

Ví dụ: Cho hai đường thẳng $(d):y = x + 3$ và $(d')y = - x + 2$ . Biết $(d) \cap Ox = A;(d') \cap Ox = B;(d) \cap (d') = C$ .

a) Xác định tọa độ các điểm $A;B;C$ .

b) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

c) Tính diện tích tam giác vuông $ABC$ .

Hướng dẫn giải

Hình ảnh minh họa

Tính diện tích (chu vi) tam giác, diện tích tứ giác trong hệ tọa độ

a) Ta xác định được: $\left\{ \begin{matrix} (d) \cap Ox = A( - 3;0) \\ (d) \cap Oy = M(0;3) \\ (d') \cap Ox = B(2;0) \\ (d') \cap Oy = N(0;2) \\ \end{matrix} \right.$

Tọa độ của điểm C thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}y = x + 3 \\y = - x + 2 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{5}{2} \\\end{matrix} \right.\ \Rightarrow C\left( - \frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$

b) Ta có: $\left\{ \begin{matrix}\tan\widehat{MAO} = \dfrac{OM}{OA} = 1 \\\cot\widehat{NBO} = \dfrac{OB}{ON} = 1 \\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \widehat{MAO} + \widehat{NBO} = 90^{0}$

$\Rightarrow \widehat{ACO} = 90^{0}$

Vậy tam giác ABC vuông tại C.

c) $S_{ABC} = \frac{1}{2}AC.BC$

gọi H và K là hình chiếu của C trên Ox và Oy $\Rightarrow H\left( - \frac{1}{2};0 \right),K\left( 0;\frac{5}{2} \right)$

Ta có: $CH\bot Ox;CK\bot Oy$

$\Rightarrow CH = OK = \frac{5}{2}$

$\Rightarrow AB = OA + OB = 3 + 2 = 5(cm)$

$\Rightarrow S_{ABC} = \frac{1}{2}AC.BC = \frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5 = \frac{25}{4}(dvdt)$

Ví dụ: Cho hàm số $(d):y = mx + 2;(m \neq 0)$ . Tìm m để đường thẳng $(d)$ cắt hai trục tọa độ $Ox;Oy$ tạo tam giác vuông có diện tích bằng $\frac{1}{8}$ .

Hướng dẫn giải

Với $y = 0 \Rightarrow x = - \frac{2}{m}$ suy ra giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $Ox$ là $A\left( - \frac{2}{m};0 \right)$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 2$ suy ra giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $Oy$ là $B(0;2)$

Xét tam giác vuông $OAB$ ta có: $\left\{ \begin{matrix}OA = \left| x_{A} \right| = \left| \dfrac{- 2}{m} \right| = \left|\dfrac{2}{m} \right| \\OB = \left| y_{B} \right| = |2| = 2 \\\end{matrix} \right.$

Suy ra diện tích tam giác OAB là:

$S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{2}{|m|}.2 = \frac{2}{|m|}$

Theo đề bài diện tích tam giác OAB là $\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{2}{|m|} = \frac{1}{8} \Rightarrow |m| = 16 \Rightarrow m = \pm 16$

Vậy với $m = \pm 16$ thì đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ $Ox;Oy$ tạo một tam giác vuông có diện tích là $\frac{1}{8}$ .

Ví dụ: Cho hai hàm số $y = - 2x$ và $y = \frac{1}{2}x$ . Qua điểm $(0;2)$ vẽ đường thẳng song song với trục $Ox$ cắt đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ và $y = - 2x$ lần lượt tại $A;B$ . Chứng minh tam giác $OAB$ vuông và tính diện tích tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tính diện tích (chu vi) tam giác, diện tích tứ giác trong hệ tọa độ

Đường thẳng đi qua điểm $(0;2)$ và song song với trục Ox là đường thẳng $y = 2$ .

Đường thẳng này cắt đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$ tại điểm $A(4;2)$

Và cắt đường thẳng $y = - 2x$ tại điểm $B( - 1;2)$

Đường thẳng $y = - 2x$ và $y = \frac{1}{2}x$ có tích hệ số góc là $( - 2).\frac{1}{2} = - 1$

Suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau tại $O(0;0)$

$\Rightarrow OB\bot OA$ nên tam giác OAB vuông tại O.

Gọi $AB$ vuông góc với trục Oy tại K ta có:

$OK = 2;AB = \left| x_{B} - x_{A} \right| = 5(dvdt)$

$S_{OAB} = \frac{1}{2}OK.AB = \frac{1}{2}.2.5 = 5(dvdt)$ .

Ví dụ: Cho hàm số $(d):y = \left( m^{2} - 2m + 2 \right)x + 3$ . Tìm m để đường thẳng $(d)$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có: $m^{2} - 2m + 2 = (m - 1)^{2} + 1 \neq 0,\forall m$

Suy ra (d) cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B với mọi m

$(d) \cap Ox = A\left( \frac{3}{(m - 1)^{2} + 1};0 \right)$

$(d) \cap Oy = B(0;3)$

$(d)$ tạo với hai tia trục tọa độ một tam giác OAB vuông tại O với: $\left\{\begin{matrix}OA = \left| x_{A} \right| = \dfrac{3}{(m - 1)^{2} + 1} \\OB = \left| y_{B} \right| = 3 \\\end{matrix} \right.$

Lại có: $S_{OAB} = \frac{1}{2}OA.OB$

$= \frac{1}{2}.\frac{3}{(m - 1)^{2} + 1}.3 = \frac{9}{2\left\lbrack (m - 1)^{2} + 1 \right\rbrack}$

Vì $(m - 1)^{2} \geq 0,\forall m \Leftrightarrow (m - 1)^{2} + 1 \geq 1,\forall m$

Do đó $S_{OAB} = \frac{9}{2\left\lbrack (m - 1)^{2} + 1 \right\rbrack} \leq \frac{9}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $(m - 1)^{2} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy diện tích tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{9}{2}$ khi $m = 1$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số $y = - \frac{1}{2}x + 2$ . Gọi $A;B$ lần lượt là các giao điểm của đồ thị hàm số với các trục $Ox,Oy$ . Tính diện tích tam giác $OAB$ (với $O$ là gốc tọa độ).

Bài 2: Cho hàm số $y = 2x + m - 1$ có đồ thị là đường thẳng $(d)$ . Gọi $A;B$ lần lượt là tọa độ giao điểm của $(d)$ với trục hoành và trục tung. Tìm m để tam giác $OAB$ có diện tích bằng $9$ ?

Bài 3: Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = x + 3;\left( d_{2} \right):y = 3x + 7$ .

a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Gọi giao điểm của đường thẳng $\left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)$ với hai trục tọa dộ $Ox;Oy$ lần lượt tại $A;B$ . Tìm tọa độ trung điểm I của AB.