Tính giá trị biểu thức khi biết x. Tìm x biết P = m

Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tính giá trị biểu thức khi biết x. Tìm x biết P = m 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tính giá trị biểu thức P khi biết giá trị của x

Các bước thực hiện:

Bước 1: Thu gọn biểu thức.

Bước 2: Thay giá trị x vừa tìm được vào biểu thức.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ: Cho biểu thức: $A = \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}$

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tính giá trị của biểu thức khi $x = \frac{1}{4}$ .

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định $\left\{ \begin{matrix} x - 1 \neq 0 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \neq 1 \\ x \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$

$A = \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1} - \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \frac{\sqrt{x^{3}} + 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} - \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} + 1}$

$A = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( x - \sqrt{x} + 1 \right)}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)} - \left( \sqrt{x} - 1 \right)$

$A = \frac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \left( \sqrt{x} - 1 \right)$

$A = \frac{x - \sqrt{x} + 1 - \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1}$

$A = \frac{x - \sqrt{x} + 1 - x + 2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ .

b) Ta có: $x = \frac{1}{4}$ thỏa mãn điều kiện xác định nên thay $x = \frac{1}{4}$ vào biểu thức A thu gọn ta được:

$A =\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{4}}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}} - 1} = 1$

Vậy khi $x = \frac{1}{4}$ thì $A = 1$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

a) Thu gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B tại $x = 9$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 1$

a) $B = \left( \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right):\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{x\left( \sqrt{x} - 1 \right) + \left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( 1 + \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \left\lbrack \frac{2\sqrt{x} - x - 1}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)} \right\rbrack:\left( \frac{x + 1 + \sqrt{x}}{x + 1} \right)$

$B = \frac{- \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{(x + 1)\left( \sqrt{x} - 1 \right)}.\frac{x + 1}{x + 1 + \sqrt{x}}$

$B = \frac{1 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$ .

b) Ta có: $x = 9$ thỏa mãn điều kiện xác định nên thay $x = 9$ vào biểu thức B thu gọn ta được:

$B = \frac{1 - \sqrt{9}}{9 + \sqrt{9} + 1} = - \frac{2}{13}$

Vậy $B = - \frac{2}{13}$ khi $x = 9$ .

Ví dụ: Cho biểu thức: $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

a) Rút gọn biểu thức C với $x > 0,x \neq 4$ .

b) Khi $x = 6 - 2\sqrt{5}$ thì giá trị biểu thức C bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) $C = \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)} + \frac{3}{\sqrt{x} - 2} \right\rbrack:\left( \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \right)$

$C = \frac{\sqrt{x} - 4 + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right) - x}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}:\frac{- 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$C = \frac{4\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}.\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{- 4}$

$C = 1 - \sqrt{x}$ .

b) Ta có: $x = 6 - 2\sqrt{5} = \left( \sqrt{5} - 1 \right)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$

Vì $\sqrt{x} = \sqrt{5} - 1$ thỏa mãn điều kiện xác định nên thay vào biểu thức C ta được:

$C = 1 - \sqrt{5} + 1 = - \sqrt{5}$

Vậy $x = 6 - 2\sqrt{5}$ thì $C = - \sqrt{5}$ .

2. Tìm x để P = m

Các bước thực hiện bài toán:

Bước 1: Thu gọn biểu thức P.
Bước 2: Giải phương trình P = m.
Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận.

Ví dụ: Cho biểu thức $D = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2 + 5\sqrt{x}}{4 - x}$

a) Thu gọn biểu thức D.

b) Tìm x để $D = 2$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 4$

a) $D = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2 + 5\sqrt{x}}{4 - x}$

$D = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{2 + 5\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$D = \frac{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 2\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right) - 2 - 5\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$D = \frac{x + 3\sqrt{x} + 2 + 2x - 4\sqrt{x} - 2 - 5\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$D = \frac{3x - 6\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)}$

$D = \frac{3\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 2 \right)}{\left( \sqrt{x} + 2 \right)\left( \sqrt{x} - 2 \right)} = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$

b) Ta có:

$D = 2 \Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = 2$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x} = 2\sqrt{x} + 4 \Leftrightarrow x = 16(tm)$

Vậy $D = 2$ khi $x = 16$ .

Ví dụ: Cho biểu thức $E = \frac{2}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 4}$

a) Rút gọn biểu thức E.

b) Tìm x để $E = \frac{1}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 4$

a) $E = \frac{2}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{x - 4}$

$E = \frac{2}{2 + \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}$

$E = \frac{2\left( \sqrt{x} - 2 \right) + \sqrt{x} + 2 + 2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}$

$E = \frac{\sqrt{x} - 2}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

b) Ta có:

$E = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1(tm)$

Vậy để $E = \frac{1}{3}$ thì $x = 1$ .

3. Tìm x biết P > a, P < a, P ≥ a, P ≤ a

Cách giải bất phương trình tích, bất phương trình thương

Tính giá trị biểu thức khi biết x. Tìm x biết P = m

Ví dụ: Cho biểu thức $F = \frac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}};(x > 0)$ . Tìm x để $F > 6$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$F > 6 \Leftrightarrow \frac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} > 6$

$\Leftrightarrow \frac{2x + 2\sqrt{x} + 2 - 6\sqrt{x}}{\sqrt{x}} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{2x - 4\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} > 0 \Leftrightarrow \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}} > 0$

Vì $x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} > 0 \\ \left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2} \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$

Để $\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2}}{\sqrt{x}} > 0$ suy ra $\left( \sqrt{x} - 1 \right)^{2} \neq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

Kết hợp với điều kiện x > 0

Vậy để $F > 6$ thì $x > 0,x \neq 1$ .

Ví dụ: Cho hai biểu thức $M = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{x - 4}$ và $N = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$ với $x > 0,x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức N khi $x = 9$ .

b) Tìm các giá trị thực của x để $\frac{M}{N} < 1$ .

Hướng dẫn giải

a) Khi $x = 9$ ta có: $N = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$

b) Điều kiện $x > 0,x \neq 4$

Ta có:

$\frac{M}{N} = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{x - 4} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$

$= \left\lbrack \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{2}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)} \right\rbrack.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 2}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{x + \sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 2 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}.\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$

$= \frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x} - 2}.\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2}$

b) Với $x > 0,x \neq 4$ thì

$\frac{M}{N} < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 2} < 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 1 - \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 2} < 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp với điều kiện đề bài

Vậy $0 < x < 4$ thì $\frac{M}{N} < 1$ .

Ví dụ: Cho hai biểu thức $P = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3}$ và $Q = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} - 3}$ với $x \geq 0,x \neq 1$ .

a) Tính giá trị của biểu thức P khi $x = 4$ .

b) Tìm x để $\frac{P - 1}{Q} \leq - \frac{1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 4$ vào P ta được: $P = \frac{2 - 1}{2 + 3} = \frac{1}{5}$ .

b) Rút gọn biểu thức Q:

$Q = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} - 3}$

$Q = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{4\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

$Q = \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}\left( \sqrt{x} + 3 \right) - 4\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

$Q = \frac{x - 1}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)}$

$Q = \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 1 \right)}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 3 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Khi đó $\frac{P - 1}{Q} = (P - 1):Q = \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 3} - 1 \right):\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{\sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}:\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

$= \frac{- 4}{\sqrt{x} + 3}.\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 1} = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 1}$

Theo bài ra ta có:

$\frac{P - 1}{Q} \leq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 1} \leq - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 7}{2\left( \sqrt{x} + 1 \right)} \leq 0$

Mà $x \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1 \Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) \geq 2$

Từ đó suy ra $\sqrt{x} - 7 \leq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \leq 7 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 49$

Kết hợp với điều kiện xác định $x \geq 0,x \neq 1$

Vậy $0 \leq x \leq 49$ thì $\frac{P - 1}{Q} \leq - \frac{1}{2}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho biểu thức $H = \left( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} \right):\frac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x}}$ với $x > 0$

a) Thu gọn biểu thức H.

b) Tính giá trị của H tại $x = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8}{\sqrt{5} + 1}$ .

c) Tìm x để $H = - 1$ .

Bài 2: Cho biểu thức $K = \frac{15\sqrt{x} + 5}{x + 2\sqrt{x} - 3} + \frac{3\sqrt{x} + 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$

a) Rút gọn biểu thức K.

b) Tính giá trị của K khi $x = 4$ .

c) Tìm x để $K = - 1$ .

Bài 3: Cho biểu thức $L = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x - 1}$ và $M = \frac{x}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$

a) Tính giá trị của M khi $x = 4$ .

b) Tìm x để $\frac{L}{M} < - 1$ .

Bài 4: Cho biểu thức $Z = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}$ và $T = \frac{2x + 2\sqrt{x} - 1}{x\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$