Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Chuyên đề Hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm $A\left( x_{1};y_{1} \right),B\left( x_{2};y_{2} \right)$ thì $AB = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} \right)^{2} + \left( y_{2} - y_{1} \right)^{2}}$

Nếu điểm M là trung điểm của AB thì $\left\{ \begin{matrix}x_{M} = \dfrac{x_{1} + x_{2}}{2} \\y_{M} = \dfrac{y_{1} + y_{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ .

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d

Bước 1: Tìm giao điểm M, N của (d) với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Bước 2: Áp dụng công thức tính đường cao từ đỉnh góc vuông trong tam giác vuông OMN đường cao OH: $\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OM^{2}} + \frac{1}{ON^{2}}$ .

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm $M\left( x_{0};y_{0} \right)$ và đường thẳng $ax + by + c = 0$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là $d = \frac{\left| ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng $(d)$ có hệ số góc $a = \frac{4}{3}$ và khoảng cách từ điểm $O$ đến $(d)$ bằng $\frac{12}{5}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có hệ số góc đường thẳng $(d)$ bằng $\frac{4}{3}$ .

$\Rightarrow (d):y = \frac{4}{3}x + b$

Gọi $A;B$ là giao điểm của $(d)$ với hai trục $Oy;Ox$ ta được:

$\Rightarrow B\left( \frac{- 3b}{4};0 \right);A(0;b)$

Thay A vào d ta được: $y = b$

Thay B vào d ta được: $x = - \frac{3b}{4}$

Gọi H là hình chiếu của O lên (d). Ta có tam giác OAB vuông cân tại O ta có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} \Leftrightarrow OH = \frac{OA.OB}{\sqrt{OA^{2} + OB^{2}}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{12}{5} =\dfrac{|b|.\left| \dfrac{- 3b}{4} \right|}{\sqrt{b^{2} + \left( \dfrac{-3b}{4} \right)^{2}}} = \dfrac{3|b|}{5}$

$\Leftrightarrow |b| = 4 \Leftrightarrow b = \pm 4$

Với $b = 4 \Rightarrow (d):y = \frac{4}{3}x + 4$

Với $b = - 4 \Rightarrow (d):y = \frac{4}{3}x - 4$

Ví dụ: Cho đường thẳng $(d):y = (2m - 3)x + 2$

a) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) bằng 2.

b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Với $m \neq \frac{3}{2}$ đường thẳng $(d)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ trong bảng sau:

x	0	$- \frac{2}{2m - 3}$
y	2	0

Ta được $A(0;2),B\left( - \frac{2}{2m - 3};0 \right)$

Kẻ OH vuông góc với (d) suy ra tam giác OAB vuông tại O, đường cao OH ta có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{(2m - 3)^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow OH^{2} = \frac{4}{(2m - 3)^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow 4 = \frac{4}{(2m - 3)^{2} + 1}$

$\Leftrightarrow (2m - 3)^{2} + 1 = 1 \Leftrightarrow 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$ .

b) Do $(2m - 3)^{2} \geq 0;\forall m \neq \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{4}{(2m - 3)^{2} + 1} \leq 4 \Rightarrow OH^{2} \leq 4$

Vậy $OH_{\max} = 2 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$ .

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình $2kx + (k - 1)y = 2$ với k là tham số. Tìm giá trị của k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Giả sử $k = 1$ thì (d) trở thành $x = 1$ . Khi đó khoảng cách từ điểm O đến (d) bằng 1.

Nếu $k \neq 1$ thì (d) trở thành $y = \frac{- 2k}{k - 1}.x + \frac{2}{k - 1}$ .

Cách 1:

Ta có bảng sau:

x	0	$\frac{1}{k}$
$y = \frac{- 2k}{k - 1}.x + \frac{2}{k - 1}$	$\frac{2}{k - 1}$	0

Ta được: $A\left( 0;\frac{2}{k - 1} \right),B\left( \frac{1}{k};0 \right)$

Kẻ $OH\bot d$

Tam giác OAB vuông tại O đường cao OH ta có:

$\frac{1}{OH^{2}} = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{OH^{2}} = \frac{(k - 1)^{2}}{4} + k^{2}$

$\Leftrightarrow OH^{2} = \frac{4}{5k^{2} - 2k + 1} = \frac{4}{5\left( k - \frac{1}{5} \right)^{2} + \frac{4}{5}}$

Vì $5\left( k - \frac{1}{5} \right)^{2} + \frac{4}{5} \geq \frac{4}{5} \Rightarrow \frac{4}{5\left( k - \frac{1}{5} \right)^{2} + \frac{4}{5}} \leq 5$

$OH^{2} \leq 5 \Rightarrow OH_{\max} = \sqrt{5} \Leftrightarrow k = \frac{1}{5}$

Cách 2: Tìm điểm cố định đi qua (d) là $A(1; - 2)$

Phương trình đường thẳng (d’) đi qua hai điểm $A(1; - 2),O(0;0)$ là: $y = - 2x$

Do (d) vuông góc với d’ nên $\frac{- 2k}{k - 1}.( - 2) = - 1 \Leftrightarrow k = \frac{1}{5}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường thẳng $(d):mx + (m - 1)y - 2m + 1 = 0$ . Tìm giá trị m để khoảng cách từ điểm $M(0;4)$ đến (d) đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = x + 2$ và $\left( d_{2} \right):y = \left( 2m^{2} - m \right)x + m^{2} + m$ :

a) Gọi A là điểm thuộc đường thẳng $\left( d_{1} \right)$ có hoành độ $x = 2$ . Viết phương trình đường thẳng $\left( d_{3} \right)$ đi qua A và vuông góc với $\left( d_{1} \right)$ .

b) Khi $\left( d_{1} \right)//\left( d_{2} \right)$ . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( d_{1} \right);\left( d_{2} \right)$ .

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng $\left( d_{1} \right)$ . Tính diện tích tam giác OMN với M, N lần lượt là giao điểm của $\left( d_{1} \right)$ với hai trục tọa độ $Ox,Oy$ .