Tứ giác nội tiếp Toán 9

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tứ giác nội tiếp Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hay đường tròn ngoại tiếp tứ giác).

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Định lí

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^{0}$ .

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng $180^{0}$ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Từ định lí ta có hệ quả

Hình thang nội tiếp được trong một đường tròn là hình thang cân.

2. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^{0}$ .
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc $\alpha$ .

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Tứ giác $ABCD$ có hai cạnh đối bất kì $AB;CD$ kéo dài cắt nhau tại điểm $K$ , điểm $K$ thỏa mãn tính chất $KA.KB = KC.KD$ thì tứ giác $ABCD$ nội tiếp. (Phương tích)
Tập hợp tất cả các điểm nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông là đường tròn đường kính $AB$ .

Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ví dụ: Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Tính số đo góc $\widehat{A}$ , biết rằng $\widehat{C} = \frac{2}{3}\widehat{A}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Vì tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $\widehat{C} + \widehat{A} = 180^{0}$

Theo giả thiết ta có: $\widehat{C} = \frac{2}{3}\widehat{A} \Rightarrow \frac{2}{3}\widehat{A} + \widehat{A} = 180^{0} \Rightarrow \widehat{A} = 108^{0}$

Ví dụ: Cho đường tròn đường kính $AB$ và điểm $D$ thuộc đường tròn. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $C$ . Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ cắt đường thẳng $AD$ tại $M$ . Chứng minh tứ giác $MCBD$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Ta có: $\widehat{ADB} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{MDB} = 90^{0}$

Lại có $\widehat{MCB} = 90^{0};(MC\bot BC)$

Do đó $\widehat{MDB} + \widehat{MCB} = 180^{0}$

Tứ giác $MCBD$ có $\widehat{MDB} + \widehat{MCB} = 180^{0}$ nên tứ giác $MCBD$ nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} < 90^{0}$ . Gọi $H$ là giao điểm của hai đường cao $AD$ và $BE$ (với $D \in BC;E \in AC$ ). Chứng minh các tứ giác $DHEC;ABDE$ nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AD\bot BC \Rightarrow \widehat{HDC} = 90^{0} \\ BE\bot AC \Rightarrow \widehat{HEC} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \widehat{HDC} + \widehat{HEC} = 180^{0}$

Vậy tứ giác $DHEC$ nội tiếp đường tròn.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{ADB} = 90^{0} \\ \widehat{AEB} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \widehat{ADB} = \widehat{AEB} = 90^{0}$

Tứ giác $ABDE$ có $E;D$ là hai đỉnh liên tiếp vì $\widehat{ADB} = \widehat{AEB}$ nên nội tiếp được đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$ . Vẽ đường thẳng $d$ song song với tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn và cắt hai dây $AB;AC$ lần lượt tại $M;N$ (với $M \neq B;N \neq C$ ). Chứng minh tứ giác $BMCN$ nội tiếp đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Gọi $E;F$ là giao điểm $d$ của đường tròn $(O)$

Vì $d//Ax$ nên $sd\widehat{AE} = sd\widehat{AF}$ . Do đó:

$\widehat{AMN} = \frac{1}{2}\left( sd\widehat{FA} + sd\widehat{EB} \right)$

$= \frac{1}{2}\left( sd\widehat{AE} + sd\widehat{EB} \right) = \frac{1}{2}sd\widehat{AB} = \widehat{ACB}$

Mặt khác $\widehat{BMN} + \widehat{AMN} = 180^{0}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{BMN} + \widehat{NCB} = 180^{0}$

Vậy tứ giác $BMCN$ nội tiếp đường tròn.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BM;CN;(M \in AC;N \in AB)$ . Chứng minh tứ giác $BNMC$ là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm

Gọi $K$ là trung điểm của $BC$ .

Xét tam giác $BMC$ có $\widehat{BMC} = 90^{0}$ (giả thiết)

$MK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $KM = KB = KC$ (tính chất tam giác vuông) (1)

Tương tự ta xét tam giác $BNC$ chứng minh được $KN = KB = KC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $B;N;M;C$ nội tiếp đường tròn tâm $K$ đường kính $BC$ .

Cách 2: Chứng minh hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc bằng nhau.

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{BMC} = 90^{0} \\ \widehat{BNC} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.$ suy ra $M;N$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc vuông

Suy ra $M,N$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ hay tứ giác $BNMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ .

Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện hoặc sử dụng định lí tổng hai góc đối diện của một tứ giác nội tiếp bằng $180^{0}$ .

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \widehat{BMA} = 90^{0} \\ \widehat{ANC} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.$ .

Xét tam giác $AMB$ và $ANC$ có

$\widehat{AMB} = \widehat{ANC} = 90^{0}$

$\widehat{BAC}$ chung

Do đó $\Delta AMB\sim\Delta ANC(g - g) \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

Xét tam giác $AMN$ và $ABC$ có

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$

$\widehat{BAC}$ chung

Do đó $\Delta AMN\sim\Delta ABC(c - g - c) \Rightarrow \widehat{AMN} = \widehat{ABC}$

Tứ giác $BNMC$ có góc ngoài tại đỉnh $M$ bằng góc trong tại đỉnh $B$

Vậy tứ giác $BNMC$ nội tiếp đường tròn.

Cách 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích ngoài.

Xét tam giác $AMB$ và $ANC$ có

$\widehat{AMB} = \widehat{ANC} = 90^{0}$

$\widehat{BAC}$ chung

Do đó $\Delta AMB\sim\Delta ANC(g - g)$

$\Rightarrow AM.AC = AN.AB$

Vậy tứ giác $BNMC$ nội tiếp đường tròn.

Cách 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích trong.

Gọi $T = BM \cap NC$

Xét tam giác $NTB$ và $MTC$ có

$\widehat{BMC} = \widehat{BNC} = 90^{0}$

$\widehat{NTB} = \widehat{MTC}$ (đối đỉnh)

Do đó $\Delta NTB\sim\Delta MTC(g - g)$

$\Rightarrow \frac{NT}{MT} = \frac{TB}{TC} \Rightarrow NT.TC = TB.MT$

Vậy tứ giác $BNMC$ nội tiếp đường tròn.

Dạng 2: Sử dụng các dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp và những bài toán liên quan.

Bài toán 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^{0}$ (hai góc đối diện bù nhau)

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$ . Giả sử $M$ là một điểm trên cung $BC$ không chứa $A$ (với $M \neq B;N \neq C$ ). Gọi $N;P$ theo thứ tự là điểm đối xứng của $M$ qua các đường thẳng $AB;AC$ .

a) Chứng minh $AHCP$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $N;H;P$ thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của điểm $M$ để độ dài đoạn thẳng $NP$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

a) Gọi $I = CH \cap AB;K = AH \cap BC$

Ta có: $\widehat{IBK} = \widehat{AMC}$ (cùng chắn cung $AC$ )

$\widehat{AMC} = \widehat{APC}$ (do $P$ đối xứng với $M$ qua $AC$ )

$\Rightarrow \widehat{IBK} = \widehat{APC}(*)$

Ta thấy $BIHK$ nội tiếp nên $\widehat{IBK} + \widehat{AHC} = 180^{0}(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{AHC} + \widehat{APC} = 180^{0}$

Vậy $AHCP$ là tứ giác nội tiếp.

b) Do tứ giác $AHCP$ là tứ giác nội tiếp đường tròn nên $\widehat{AHP} = \widehat{ACP}$ (cùng chắn cung $AP$ )

Mà $\widehat{ACP} = \widehat{ACM}$ (tính chất đối xứng) $\Rightarrow \widehat{AHP} = \widehat{ACM}(1)$

Tương tự ta chứng minh được tứ giác $AHBN$ nội tiếp nên $\widehat{AHN} = \widehat{ABN}$ (cùng chắn cung $AP$ )

Suy ra $\widehat{AHN} = \widehat{ABM}(2)$

Vì tứ giác $ABMC$ nội tiếp nên $\widehat{ACM} + \widehat{ABM} = 180^{0}(3)$

Từ (1); (2); (3) suy ra $\widehat{AHP} = \widehat{AHN} = 180^{0}$

Vậy $N;H;P$ thẳng hàng.

c) Từ $\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAN} = 2\widehat{BAM} \\ \widehat{MAP} = 2\widehat{MAC} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \widehat{NAP} = 2\left( \widehat{BAM} + \widehat{MAC} \right) = 2\widehat{BAC}$ không đổi

Ta có: $NP = 2AP.sin\widehat{BAC} = 2AM.sin\widehat{BAC}$

Do đó $NP$ lớn nhất khi và chỉ khi $AM$ lớn nhất. Khi đó $AM$ là đường kính đường tròn $(O)$ .

Vậy $NP$ lớn nhất khi và chỉ khi $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$ .

Bài toán 2: Chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cùng cách đều một điểm

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ . Lấy điểm $M \in OA$ , điểm $N$ thuộc nửa đường tròn $(O)$ . Kẻ các tiếp tuyến $Ax;By$ . Đường thẳng qua $N$ vuông góc với $MN$ cắt $Ax;By$ theo thứ tự tại $C;D$ .

a) Chứng minh tứ giác $ACNM;BDNM$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta ANB\sim\Delta CMD$ .

c) Gọi $I = AN \cap CM;K = BN \cap DM$ . Chứng minh tứ giác $IMKN$ là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

a) Xét tứ giác $ACNM$ có $\widehat{MNC} = 90^{0}$ (giả thiết)

$\widehat{MAC} = 90^{0}$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra tứ giác $ACNM$ nội tiếp đường tròn đường kính $MC$ .

Tương tự tứ giác $BDNM$ nội tiếp đường tròn đường kính $MD$ .

b) Xét tam giác $ANB$ và tam giác $CMD$ có:

$\widehat{ABN} = \widehat{CDM}$ (do tứ giác $BDNM$ nội tiếp)

$\widehat{BAN} = \widehat{DCM}$ (do tứ giác $ACNM$ nội tiếp)

Do đó $\Delta ANB\sim\Delta CMD(g - g)$

c) Theo chứng minh câu b) ta có: $\Delta ANB\sim\Delta CMD$

$\Rightarrow \widehat{CMD} = \widehat{ANB} = 90^{0}$ (do $\widehat{ANB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$ .

$\Rightarrow \widehat{IMK} = \widehat{INK} = 90^{0}$ suy ra tứ giác $IMNK$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $IK$ .

Bài toán 3: Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ . Gọi $C$ là điểm nằm giữa $O$ và $A$ . Đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $C$ cắt nửa đường tròn tại $I$ . Gọi $K$ là một điểm bất kì trên đoạn thẳng $CI$ , ( $K \neq C;K \neq I$ ). Tia $AK$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $M$ , tia $BM$ cắt tia $CI$ tại $D$ . Gọi $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ . Chứng minh rằng:

a) Tứ giác $ACDM$ nội tiếp.

b) $\Delta ABD\sim\Delta MBC$ .

c) Tứ giác $AKDE$ nội tiếp

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tứ giác nội tiếp Toán 9

a) Xét đường tròn $(O)$ có $\widehat{AMB}$ nội tiếp chắn nửa đườn tròn $\Rightarrow \widehat{AMB} = 90^{0}$

Vì $IC\bot AB(gt) \Rightarrow \widehat{ACD} = 90^{0}$

Tứ giác $ACMD$ có $C;M$ là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn $AD$ với $\widehat{ACD} = \widehat{AMD} = 90^{0}$ nên tứ giác $ACDM$ nội tiếp

b) Xét tam giác $ABD$ và tam giác $MBC$ có

$\widehat{ABD}$ chung

$\widehat{ADB} = \widehat{MCB}$ (vì $ACMD$ nội tiếp)

$\Rightarrow \Delta ABD\sim\Delta MBC(g - g)$

c) Vì $E$ đối xứng với $B$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm cuả $EB$

Mà $DC\bot EB$ tại $C$ nên $CD$ là trung trực của $EB$

$\Rightarrow DE = DB$ suy ra $\Delta DEB$ cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{AED} = \widehat{ABD}$ mà $\widehat{AKC} = \widehat{ABD}$ (cùng phụ với $\widehat{CAK}$ ) nên $\widehat{AED} = \widehat{AKC}$

Vậy tứ giác $AKDE$ nội tiếp.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $AB < AC$ , kẻ đường cao $AH$ . Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$ , vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$ , nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$ . Chứng minh:

a) Tứ giác $AFHE$ là hình chữ nhật.

b) Tứ giác $BEFC$ nội tiếp.

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$ . Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại trung điểm $I$ của $AO$ cắt $AC$ tại $M$ và cắt tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn ở $E$ . Chứng minh các tứ giác $OECI;IMCB$ là các tứ giác nội tiếp và xác định tâm của các đường tròn đó.

Bài 3: Trên nửa đường tròn tâm $(O)$ đường kính $BC$ lấy điểm $A$ , $(AB > AC > 0)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $BC$ . Đường tròn đường kính $AH$ lần lượt cắt $AB;AC$ tại $M;N$ . Chứng minh tứ giác $BCMN$ nội tiếp.

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 20^{0}$ . Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa điểm $C$ lấy điểm $D$ sao cho $DA = DB$ và $\widehat{DAB} = 40^{0}$ . Giao điểm của $AB$ và $CD$ là điểm $E$ . Chứng minh tứ giác $ACBD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Kẻ tiếp tuyến $Bx$ và lấy hai điểm $C;D$ thuộc nửa đường tròn. Các tia $AC;AD$ cắt $Bx$ lần lượt tại $E;F$ (với $F$ nằm giữa $B;E$ ). Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD} = \widehat{DFB}$

b) Tứ giác $CEFD$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 6: Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Vẽ $AC;AD$ theo thứ tự là đường kính của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ .

a) Chứng minh ba điểm $C;B;D$ thẳng hàng.

b) Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn $(O')$ tại $E$ , đường thẳng $AD$ cắt đường tròn $(O)$ tại $F$ (với $E;F \neq A$ ). Chứng minh bốn điểm $C;D;E;F$ cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 7: Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB;AC$ với đường tròn (với $B;C$ là tiếp điểm). Trên cung nhỏ $BC$ lấy một điểm $M$ , vẽ $MI\bot AB;MK\bot AC;(I \in AB;K \in AC)$ .

a) Chứng minh tứ giác $AIMK$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ $MP\bot BC;(P \in BC)$ . Chứng minh $\widehat{MPK} = \widehat{MBC}$ .

Bài 8: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ , gọi $I$ là trung điểm của $OA$ và dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $I$ . Lấy $K$ tùy ý trên cung nhỏ $BC$ , $AK$ cắt $CD$ tại $H$ .

a) Chứng minh tứ giác $BIHK$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AH.AK$ có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm $K$ .

c) Kẻ $DN\bot BC;DM\bot AC;(N \in BC;M \in AC)$ . Chứng minh các đường thẳng $AB;CD;MN$ đồng quy.

Bài 9: Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $K$ cố định nằm ngoài đường tròn. Qua $K$ kẻ hai tiếp tuyến $KM;KN$ tới đường tròn ( $M;N$ là các tiếp điểm). Một đường thẳng $d$ đi qua $K$ cắt đường tròn $(O;R)$ tại $B$ và $C$ , ( $KB < KC$ ). Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ .

a) Chứng minh năm điểm $K;M;N;O;I$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh $KM^{2} = KB.KC$

c) Đường thẳng qua $B$ song song với $KM$ cắt $MN$ tại $E$ . Chứng minh $EI//CM$ .

d) Chứng minh khi $d$ thay đổi quanh điểm $K$ thì trọng tâm $G$ của tam giác $MBC$ luôn nằm trên đường tròn cố định.

Bài 10: Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Lấy điểm $M$ thuộc đoạn $OA$ , điểm $N$ thuộc nửa đường tròn tâm $O$ . Từ $A;B$ kẻ các tiếp tuyến $Ax;By$ . Đường thẳng qua $N$ vuông góc $MN$ cắt $Ax;By$ lần lượt tại $C;D$ .

a) Chứng minh các tứ giác $ACNM;BDMN$ nội tiếp đường tròn.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AN$ và $CM$ ; $K$ là giao điểm của $BN$ và $DM$ . Chứng minh $\Delta ANB\sim\Delta CMD$ từ đó suy ra tứ giác $IMKN$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 11: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ . Trên hai cạnh $AD;CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MBN} = 45^{0}$ , $BM$ và $BN$ cắt $AC$ theo thứ tự tại $E;F$ .

a) Chứng minh các tứ giác $BENC;BFMA$ nội tiếp được trong đường tròn.

b) Chứng tỏ $MEFN$ là tứ giác nội tiếp.

Bài 12: Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, hai đường cao $AH;CE$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Gọi $M$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$ , $I$ là giao điểm của $BM$ và $DE$ , $K$ là giao điểm của $AC$ và $HM$ .