Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

Chuyên đề Hàm số bậc hai gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d) 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho parabol $(P):y = ax^{2};(a \neq 0)$ và đường thẳng $(d):y = bx + c$ . Để tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ ta làm như sau:

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ ta được: $ax^{2} = bx + c(*)$

Giải phương trình (*) để tìm nghiệm (nếu có).

Bước 2: Thay giá trị $x$ tìm được vào một trong hai phương trình $(P)$ hoặc $(d)$ để tìm giá trị của $y$ . Từ đó tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

Chú ý: Số nghiệm của (*) bằng đúng số giao điểm của $(P)$ và $(d)$ :

Nếu (*) vô nghiệm thì $(d)$ không cắt $(P)$ .
Nếu (*) có nghiệm kép thì $(d)$ tiếp xúc $(P)$ .
Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm giữa $(P)$ và $(d)$

Ví dụ: Cho parabol $(P):y = \frac{1}{2}x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = x + 4$ . Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ ta có:

$\frac{1}{2}x^{2} = x + 4 \Leftrightarrow x^{2} + 2x - 8 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 4 = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 4 \Rightarrow y = 4 + 4 = 8 \Rightarrow A(4;8) \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 + ( - 2) = 2 \Rightarrow B( - 2;2) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $A(4;8)$ và $B( - 2;2)$ .

Ví dụ: Cho parabol $(P):y = - x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = m - 2$ (với m là tham số). Tìm giá trị của tham số m để:

a) $(P)$ và $(d)$ có một điểm chung duy nhất.

b) $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) $(P)$ và $(d)$ không có điểm chung.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng giá trị:

$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$y = - x^{2}$	$- 4$	$- 1$	$0$	$- 1$	$- 4$

Đồ thi $(P):y = - x^{2}$ đi qua các điểm $O(0;0),A(1; - 1),B( - 1; - 1),C(2; - 4),D( - 2; - 4)$

Đồ thị $(d):y = m - 2$ là một đường thẳng song song với trục hoành.

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

Dựa vào đồ thị ta có kết quả:

a) Để $(P)$ và $(d)$ có một điểm chung duy nhất

$\Leftrightarrow m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

b) Để $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt

$\Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2$

Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.

c) Để $(P)$ và $(d)$ không có điểm chung

$\Leftrightarrow m - 2 > 0 \Leftrightarrow m > 2$

Vậy $m > 2$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - x + 2$ .

a) Gọi $A$ và $B$ tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ và $x_{A} > x_{B}$ . Tìm tọa độ của $A;B$ ?

b) Tính diện tích tam giác $OAB$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^{2} = - x + 2 \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 1 \\ x = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm $A(1;1),B( - 2;4)$ .

b) Gọi $C;D$ lần lượt là hình chiếu của $B;A$ trên $Ox$ như hình vẽ:

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

Ta có:

$S_{BCDA} = \frac{(BC + AD).CD}{2} = \frac{(4 + 1).3}{2} = \frac{15}{2}$

$S_{BCO} = \frac{BC.CO}{2} = 4$

$S_{ADO} = \frac{AD.DO}{2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow S_{OAB} = S_{BCDA} - S_{BCO} - S_{ADO} = 3$

Vậy diện tích tam giác $OAB$ bằng $3$ (đvdt).

Dạng 2: Các bài toán tương giao thường gặp

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = \frac{x^{2}}{2}$ và đường thẳng $y = - \frac{2}{m}x + 2$ với $m \neq 0$ .

a) Khi $m = \frac{4}{3}$ tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

b) Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M;N$ nằm ở hai phía trục tung. Gọi $I$ là một điểm cố định mà $(d)$ luôn đi qua. Tìm tham số m để diện tích tam giác $CID$ bằng $4\sqrt{5}$ với $C;D$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M;N$ trên trục hoành.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{x^{2}}{2} = - \frac{2}{m}x + 2$ với $m \neq 0$

$\Leftrightarrow mx^{2} + 4x - 4m = 0$

a) Khi $m = \frac{4}{3}$ thì (*) trở thành

$4x^{2} + 12x - 16 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 3x - 4 = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \\ x = - 4 \Rightarrow y = 8 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy khi $m = \frac{4}{3}$ thì $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm là $A\left( 1;\frac{1}{2} \right)$ và $B( - 4;8)$ .

b) Vì $\Delta' = 4 + 4m > 0;\forall m \neq 0$ nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt tức là $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Hơn nữa $x_{1}.x_{2} = \frac{- 4m}{m} = - 4 < 0$ nên hai giao điểm luôn nằm về hai phía trục tung.

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

Giả sử $M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left( x_{2};y_{2} \right)$ với $x_{1} < 0 < x_{2}$ . Khi đó ta có:

$C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)$

Dễ thây parabol luôn đi qua điểm cố định $I(0;2)$

$OI = 2;CD = \left| x_{1} \right| + \left| x_{\ _{2}} \right| = x_{2} - x_{1}$

Suy ra diện tích tam giác ICD là:

$S_{ICD} = \frac{1}{2}OI.CD = \frac{1}{2}.2.\left( x_{2} - x_{1} \right)$

$\Rightarrow {S^{2}}_{ICD} = \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{4}{m} \\ x_{1}x_{2} = - 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16$

Từ giả thiết suy ra

$S^{2} = \frac{16}{m^{2}} + 16 = 80 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{1}{2}$

Vậy $m = \pm \frac{1}{2}$ để diện tích tam giác $CID$ bằng $4\sqrt{5}$ .

Ví dụ: Trong mặt phẳng cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = (m - 2)x + 3$ .

a) Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.

c) Gọi $x_{1};x_{2}$ là các hoành độ giao điểm $A;B$ của $(d)$ với $(P)$ sao cho $x_{1} < 0 < x_{2}$ . Xét các điểm $A\left( x_{1};{x_{1}}^{2} \right),B\left( x_{2};{x_{2}}^{2} \right),C\left( x_{1};0 \right),D\left( x_{2};0 \right)$ . Tìm giá trị của tham số m để hai tam giác $AOC;BOD$ có diện tích bằng nhau?

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ với $(P)$ là:

$x^{2} = (m - 2)x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 2)x - 3 = 0(*)$

Ta có:

$\Delta = (m - 2)^{2} + 12$ . Vì $(m - 2)^{2} \geq 0\forall m$ nên $\Delta \geq 12 > 0$

Suy ra phương trình $(*)$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ hay đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A;B$ .

Theo hệ thức Vi - et ta có:

$x_{1}.x_{2} = - 3 < 0$ suy ra hai giao điểm $A;B$ nằm về hai phía trục tung.

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

b) Vì các điểm $A;C$ có cùng hoành độ và $C \in Ox$ nên ta có:

$AC\bot CO$ tương tự $BD\bot OD$

Tam giác $AOC$ vuông tại $C$ , tam giác $BDO$ vuông tại $D$ nên ta có:

$S_{AOC} = \frac{1}{2}OC.AC = \frac{\left| x_{1} \right|\left| y_{1} \right|}{2} = - \frac{x_{1}.{x_{1}}^{2}}{2} = - \frac{{x_{1}}^{3}}{2}$

$S_{BOD} = \frac{1}{2}OD.BD = \frac{\left| x_{2} \right|\left| y_{2} \right|}{2} = \frac{x_{2}.{x_{2}}^{2}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2}$

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

$- \frac{{x_{1}}^{3}}{2} = \frac{{x_{2}}^{3}}{2} \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2} \Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $x_{1} + x_{2} = m - 2 = 0 \Rightarrow m = 2$

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = 2x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - 2mx + m + 1$ . Tì $m$ $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại 2 điểm phân biệt $x_{1};x_{2}$ sao cho $\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 2$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

$2x^{2} = - 2mx + m + 1 \Leftrightarrow 2x^{2} + 2mx - m - 1 = 0(*)$

Ta có:

$\Delta' = m^{2} - 2( - m - 1) = m^{2} + 2m + 2 = (m + 1)^{2} + 1 \geq 0\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra $(d)$ và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A;B$

Ta thấy: $2\left( \frac{1}{2} \right)^{2} + 2m.\left( \frac{1}{2} \right) - m - 1 \neq 0\forall m$ nên hai nghiệm của phương trình (*) luôn khác $\frac{1}{2}$

Ta có:

$\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}}$

$= \left( \frac{1}{2x_{1} - 1} + \frac{1}{2x_{2} - 1} \right)^{2} - \frac{2}{\left( 2x_{1} - 1 \right)\left( 2x_{1} + 1 \right)}$

$= 4\left\lbrack \frac{x_{1} + x_{2} - 1}{4x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1} \right\rbrack - \frac{2}{4x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 1}(**)$

Theo hệ thức Vi – ét ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - m \\ x_{1}x_{2} = - \frac{m + 1}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Thay vào (**) ta được:

$\frac{1}{\left( 2x_{1} - 1 \right)^{2}} + \frac{1}{\left( 2x_{2} - 1 \right)^{2}} = 4\left\lbrack \frac{- m - 1}{- 2(m + 1) + 2m + 1} \right\rbrack = 4(m + 1)^{2} + 2$

Yêu cầu bài toán tương đương với

$4(m + 1)^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow m = - 1$

Vậy $m = - 1$ là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = (m - 1)x + 1$ với $m$ là tham số.

a) Chứng minh: Khi giá trị của $m$ thay đổi thì $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là các hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ . Tìm giá trị tham số m sao cho ${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$x^{2} = (m - 1)x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1)x - 1 = 0(*)$

Do $\Delta = (m - 1)^{2} + 4 \geq 4\forall m$ nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra đường thẳng $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Ta có:

${x_{1}}^{2}x_{2} + {x_{2}}^{2}x_{1} - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3 \Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( x_{1} + x_{2} \right) - 2{x_{1}}^{3}{x_{2}}^{3} = 3(**)$

Theo hệ thức Vi – et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m - 1 \\ x_{1}x_{2} = - 1 \\ \end{matrix} \right.$ thay vào (**) ta được:

$- 1(m - 1) + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hai hàm số $y = \frac{1}{2}x^{2}$ và $y = - \frac{1}{2}x + 3$ .

a) Vẽ đồ thị hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị.

Bài 2: Cho hàm số $y = (m + 2)x^{2}$ và $y = 2x - 4$ .

a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại điểm $A$ có tọa độ bằng $3$ .

b) Với giá trị m vừa tìm được ở câu a) vẽ đồ thị hàm số $y = (m + 2)x^{2}$ .

Bài 3: Cho parabol $(P):y = 3x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = - m + 4$ . Tìm giá trị của tham số m để:

a) $(P)$ và $(d)$ có điểm chung duy nhất.

b) $(P)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

c) $(P)$ và $(d)$ không có điểm chung.

Bài 4: Trong mặt phằng tọa độ $Oxy$ , cho parabol $(P)$ có phương trình Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua $I(0; - 2)$ và có hệ số góc $k$ .

a. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ và chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điệm phân biệt $A,B$ khi $k$ thay đổi.

b. Gọi $H,K$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A,B$ trên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác $IHK$ vuông tại $I$ .

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d):y = (2m + 1)x - \left( m^{2} + m \right)$ và parabol $(P):y = x^{2}$

a) Khi $m = 1$ tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ .

b) Tìm tất cả các giá trị $m$ để đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là $x_{1},x_{2}$ sao cho $\sqrt{2x_{1}} + 1 = x_{2}$ .

Bài 6: Trong mặt phằng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $(d):y = 2(m-1)x + 2m - 4$ và parabol $(P):y = x^{2}$ .

a. Tìm tọa độ giao $(P):y = x^{2}$ điểm của $(P)$ và $(d)$ khi $m = 3$ .

b. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ . Tìm $m$ để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4$ .

Bài 7: Cho Parabol $P:y = x^{2}$ và đường thằng $(d):y = mx + 1$ .

a) Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị $m$ .

$M = \left( y_{1} - 1 \right)\left( y_{2} - 1 \right) + 2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 3$

Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $(P):y = - \frac{1}{2}x^{2}$ , điểm $M(m;0)$ với $m$ là tham số khác 0 và điểm $I(0; - 2)$ . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm $M,I$ . Chứng minh rằng $(P)$ cắt $(d)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ với độ dài đoạn $AB > 4$ .

Bài 9: Cho parabol $(P):y = x^{2}$ và đường thẳng $(d):y = mx + 4$ .

a) Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ . Gọi $x_{1};x_{2}$ là hoành độ của các điểm $A,B$ . Tìm giá trị lớn nhất của $Q = \frac{2\left( x_{1} + x_{2} \right) + 7}{x_{1}\ ^{2} + x_{2}\ ^{2}}$ .

b) Tìm $m$ để diện tích tam giác $OAB$ bằng 8.

(Đáp án bài tập tự rèn luyện có trong file tải)

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

60.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ

Tương giao giữa parabol (P) và đường thẳng (d)

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm giữa và

Dạng 2: Các bài toán tương giao thường gặp

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm giữa $(P)$ và $(d)$