Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Tỷ số lượng giác của góc nhọn 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $\widehat{A}$ (như hình vẽ)

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

$\sin\alpha = \frac{AC}{BC}$ $\cos\alpha = \frac{AB}{BC}$ $\tan\alpha = \frac{AC}{AB}$ $\cot\alpha = \frac{AB}{AC}$

Chú ý:

Tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương.
$\sin\alpha < 1;cos\beta < 1$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Ta có: $\alpha + \beta = 90^{0}$

$\sin\alpha = \cos\beta;cos\alpha = \sin\beta$
$\tan\alpha = \cot\beta;cot\alpha = \tan\beta$

Phát biểu thành lời: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia.

Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc trong tam giác vuông

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức liên quan đến tỉ số lượng giác để tính toán.

Tính chất đường phân giác trong tam giác. Nếu AD là tia phân giác $\widehat{BAC};(D \in BC)$ thì $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$ .

Tình chất dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d}$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ có $AB = 5cm;BC = 13cm$ .

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc $ACB$ .

b) Vẽ hai phân giác $BE;CF$ cắt nhau tại $I$ . Tính $AE;EC;AF;BF$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$AC = \sqrt{BC^{2} - BA^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12(cm)$

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$

$\sin\widehat{ACB} = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$

$\cos\widehat{ACB} = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}$

$\tan\widehat{ACB} = \frac{\sin\widehat{ACB}}{\cos\widehat{ACB}} = \frac{5}{12}$

$\cot\widehat{ACB} = \frac{\cos\widehat{ACB}}{\sin\widehat{ACB}} = \frac{12}{5}$

b) Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{AB}{AE} = \frac{BC}{CE} \Rightarrow \frac{AE}{5} = \frac{CE}{13} = \frac{AE + CE}{5 + 13} = \frac{AC}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow AE = \frac{10}{3}(cm);EC = \frac{26}{3}(cm)$

$\frac{AC}{AF} = \frac{CB}{BF} \Rightarrow \frac{AF}{12} = \frac{BF}{13} = \frac{AF + CF}{12 + 13} = \frac{AB}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

$\Rightarrow AF = \frac{12}{5}(cm);BF = \frac{13}{5}(cm)$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 75^{0};\widehat{C} = 45^{0};AB = 10cm$ .

a) Kẻ $AH\bot BC$ . Tính $BH;AC$ và diện tích tam giác $ABC$ .

b) Kẻ $HE\bot AB;HF\bot AC$ . Chứng minh rằng $AE.AB = AF.AC$ .

c) Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm của $AH;EF$ . Chứng minh rằng $MN\bot EF$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

a) Dễ tính được $\widehat{ABC} = 60^{0}$

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác $AHB$ vuông tại $H$ , ta có:

$\cos\widehat{ABH} = \frac{BH}{BA} \Rightarrow BH = 10.cos60^{0} = 5(cm)$

$\sin\widehat{ABH} = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AH = 10.\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}(cm)$

Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác $AHC$ vuông tại $H$ ta có:

$\sin\widehat{ACH} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AC = \frac{5\sqrt{3}}{sin45^{0}} = 5\sqrt{6}(cm)$

$\tan\widehat{ACH} = \frac{AH}{HC} \Rightarrow HC = AH.tan45^{0} = 5\sqrt{3}(cm)$

$S_{ABC} = S_{ABH} + S_{AHC}$

$= \frac{1}{2}AH.BH + \frac{1}{2}AH.BC$

$= \frac{1}{2}AH.(BH + BC) = \frac{1}{2}5\sqrt{3}.\left( 5\sqrt{3} + 5 \right) = \frac{25}{2}\left( \sqrt{3} + 3 \right)\left( cm^{2} \right)$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác:

Tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$ là:

$AH^{2} = AE.AB(1)$

Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HF$ là:

$AH^{2} = AF.AC(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB = AF.AC$

c) Ta có: $\Delta AEH;\Delta AFH$ lần lượt vuông góc tại $E;F$ và M là trung điểm của $AH$ .

Theo định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông suy ra $ME = MF = \frac{AH}{2}$

Lại có $NE = NF$ nên suy ra $M;N$ thuộc đường trung trực của $EF$ . Vậy $MN\bot EF$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 60^{0}$ , đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$ . Nối $AH$ cắt $BC$ tại $K$ . Biết $AC = 8cm$ .

a) Tính $AN;NC$ và số đo của $\widehat{ABM};\widehat{BHC}$ .

b) Chứng minh rằng $AK\bot BC;\widehat{MBC} = \widehat{CAK}$ .

c) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ . Chứng minh rằng tam giác $MIN$ đều.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Áp dụng tỉ số lượng giác trong $\Delta ANC$ vuông tại $N$ ta có:

$\cos\widehat{CAN} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow AB = 8cos60^{0} = 4(cm)$

$\tan\widehat{CAN} = \frac{NC}{NA} \Rightarrow NC = NA.tan60^{0} = 4\sqrt{3}(cm)$

Trong tam giác $\Delta ABM$ vuông tại $M$ ta dễ dàng tính được $\widehat{ABM} = 30^{0}$

Áp dụng tổng bốn góc trong tứ giác $AMHN$ và hai góc đối đỉnh, ta dễ dàng tính được $\widehat{BHC}$ như sau:

$\left\{ \begin{matrix} \widehat{MAN} + \widehat{ANH} + \widehat{AMH} + \widehat{NHM} = 360^{0} \\ \widehat{NHM} = \widehat{BHC} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \widehat{BHC} = \widehat{NHM} = 360^{0} - 90^{0} - 90^{0} - 60^{0} = 120^{0}$

b) Xét tam giác $\Delta ABC$ có hai đường cao $BM;CN$ cắt nhau tại $H$ suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và đường cao thứ ba $AK\bot BC$

Xét tam giác $CAK$ và tam giác $CBM$ ta có:

$\left\{ \begin{matrix} \widehat{BCM} = \widehat{KCA} \\ \widehat{BMC} = \widehat{AKC} = 90^{0} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \Delta CAK\sim\Delta CBM(g - g)$

$\Rightarrow \widehat{MBC} = \widehat{CAK}$

c) Áp dụng tính chất góc ngoài các tam giác $MIC;NIB$ cân tại $I$ ; ( $MI = BI = NI = CI = \frac{BC}{2}$ )

$\widehat{NIB} = \widehat{INC} + \widehat{NCI} = 2\widehat{NCI} = 2\widehat{HCB}$

$\widehat{MIC} = \widehat{IMB} + \widehat{MBI} = 2\widehat{MBI} = 2\widehat{HCB}$

$\Rightarrow \widehat{MIB} + \widehat{MIC} = 2\left( \widehat{HBC} + \widehat{HCB} \right)$

Lại có $\left\{ \begin{matrix} \widehat{CIM} + \widehat{MIN} + \widehat{NIB} = 180^{0} \\ \widehat{HBC} + \widehat{HCB} + \widehat{BHC} = 180^{0} \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow 180^{0} - \widehat{MIN} = 2\left( 180^{0} - \widehat{BHC} \right)$

$\Rightarrow \widehat{MIN} = 60^{0}$ mà $MI = NI = \frac{BC}{2}$ (Vì MI, NI lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền CB của $\Delta NBC;\Delta MBC$ vuông tại $M,N$ ) nên $\Delta MIN$ là tam giác đều.

Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 90^{0}$ . Tính tỉ số lượng giác góc $C$ , biết $\sin\widehat{B} = \frac{4}{5}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^{0}$ nên $\cos\widehat{C} = \sin\widehat{B} = \frac{4}{5}$

Ta lại có: $sin^{2}\widehat{C} + cos^{2}\widehat{C} = 1$

$\Rightarrow \sin\widehat{C} = \sqrt{1 - cos^{2}\widehat{C}} = \sqrt{1 - \left( \frac{4}{5} \right)^{2}} = \frac{3}{5}$

$\Rightarrow \tan\widehat{C} = \frac{\sin\widehat{C}}{\cos\widehat{C}} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \cot\widehat{C} = \frac{\cos\widehat{C}}{\sin\widehat{C}} = \frac{4}{3}$

Ví dụ: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn

a) $tan13^{0};cot51^{0};tan28^{0};cot79^{0}15';tan47^{0}$

b) $cos62^{0};sin50^{0};cos63^{0}41';sin47^{0};cos83^{0}$

Hướng dẫn giải

a) $tan13^{0};cot51^{0};tan28^{0};cot79^{0}15';tan47^{0}$

Ta có:

$cot51^{0} = \cot\left( 90^{0} - 39^{0} \right) = tan39^{0}$

$cot79^{0}15' = \cot\left( 90^{0} - 10^{0}45' \right) = tan10^{0}45'$

Mà $tan10^{0}45' < tan13^{0} < tan28^{0} < tan39^{0} < tan47^{0}$

Nên $cot79^{0}15' < tan13^{0} < tan28^{0} < cot51^{0} < tan47^{0}$

b) $cos62^{0};sin50^{0};cos63^{0}41';sin47^{0};cos83^{0}$

Ta có: $sin50^{0} = \sin\left( 90^{0} - 40^{0} \right) = cos40^{0}$

$sin47^{0} = \sin\left( 90^{0} - 43^{0} \right) = cos43^{0}$

Mà $cos83^{0} < cos63^{0}41' < cos62^{0} < cos43^{0} < cos40^{0}$

$cos83^{0} < cos63^{0}41' < cos62^{0} < sin47^{0} < sin50^{0}$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ . Chứng minh $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC.sin\widehat{B}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Dựng đường cao $AH$

Ta có: $S_{ABC} = \frac{1}{2}AH.BC(*)$

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác $AHB$ ta có:

$\sin\widehat{B} = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AH = \sin\widehat{B}.AB(**)$

Thay (2) vào (1) ta được: $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB.BC.sin\widehat{B}$

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ . Chứng minh $AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2AC.BC.cos\widehat{C}$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABH ta có:

$AB^{2} = BH^{2} + AH^{2}(*)$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ACH ta có:

$AH^{2} = AC^{2} - HC^{2}(**)$

Thay (**) vào (*) ta được:

$AB^{2} = BH^{2} - HC^{2} + AC^{2}$

$= (BH - HC)(BH + HC) + AC^{2}$

$= (BH - 2HC).BC + AC^{2}$

$= BH^{2} - 2HC.BC + AC^{2}$ (3)

Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông AHC ta có:

$\cos\widehat{C} = \frac{HC}{AC} \Rightarrow HC = AC.cos\widehat{C}$ (4)

Thay (3) vào (4) ta được:

$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2AC.BC.cos\widehat{C}$

Dạng 3: Bài toán dựng hình

Phương pháp

Bài toán: Dựng góc $\alpha$ biết tỉ số lượng giác là $\frac{m}{n}$ .

Bước 1: Dựng một tam giác vuông có hai cạnh $m;n$ trong đó $m;n$ là hai cạnh góc vuông hoặc một cạnh góc vuông và một cạnh huyền.

Bước 2: Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận được góc $\alpha$ .

Ví dụ: Dựng góc $\alpha$ biết:

a) $\cos\alpha = \frac{2}{7}$

b) $\tan\alpha = \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

a) Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vuông là $2$ , cạnh huyền $7$ , góc giữa cạnh góc vuông và cạnh huyền đó là góc $\alpha$ .

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

b) Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vuông lần là $3;2$ , góc đối diện với cạnh góc vuông của độ dài $3$ là góc $\alpha$ .

Tỷ số lượng giác của góc nhọn

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình vuông $ABCD$ có $AD = 12cm$ . Lấy điểm $M \in BC$ , điểm $N \in BC$ sao cho $AN = BM = 5cm$ .

a) Tính các tỉ số lượng giác của góc $AMB$ .

b) Nối $DN$ cắt $AM$ tại $K$ . Chứng minh $AM = DN$ .

c) Chứng minh $AM\bot DN$ .

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ đường cao $BM;CN$ cắt nhau tại $H$ .

a) Biết $MA = 6cm;AB = 10cm$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $\widehat{A}$ .

b) Chứng tỏ rằng $\widehat{ABM} = \widehat{ACN};AH\bot BC$ .

c) Gọi $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AH;BC$ . Chứng minh rằng $IJ\bot MN$ .

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ , gọi $H$ là giao điểm của ba đường cao $AD;BE;CF$ .

a) Cho $AD = 4cm;BD = 3cm$ . Tính tỉ số lượng giác của góc $\widehat{BAD}$ .

b) Chứng minh $\widehat{BAH} = \widehat{BCH};\widehat{CAD} = \widehat{EBC};\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ .

c) Chứng minh $\Delta CED\sim\Delta CBA;\Delta BDF\sim\Delta BAC$ .

d) Chứng minh $BH.BE + CH.CF = BC^{2}$ .

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Biết $\sin\widehat{B} = \frac{4}{5}$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $\widehat{C}$ ?

Bài 5: Cho $\cos\alpha = \frac{3}{4}$ với $0^{0} < \alpha < 90^{0}$ . Tính giá trị biểu thức $P = \frac{\tan\alpha + 3cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha}$ .