Ứng dụng bất đẳng thức vào giải toán

Chuyên đề Bất đẳng thức gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Ứng dụng bất đẳng thức vào giải toán 5,0

I. PHÂN LOẠI ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Ứng dụng vào dạng toán rút gọn biểu thức

Ví dụ. Cho biểu thức $P = \frac{x - 2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} + \frac{1 + 2x - 2\sqrt{x}}{x^{2} - \sqrt{x}}$ (với $x > 0,\ x \neq 1$ )

a) Rút gọn biểu thức $P$ .

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $P$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức $P$ .

$P = \frac{x - 2\sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{x\sqrt{x} + x + \sqrt{x}} + \frac{1 + 2x - 2\sqrt{x}}{x^{2} - \sqrt{x}}$

$P = \frac{x - 2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}- 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)} + \frac{\sqrt{x} +1}{\sqrt{x}\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}$ $+ \frac{2x - 2\sqrt{x} +1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1\right)}$

$P = \frac{\sqrt{x}\left( x - 2\sqrt{x} \right) + \left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{x} - 1 \right) + 2x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}$

$P = \frac{\sqrt{x}\left( x + \sqrt{x} - 2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}$

$P = \frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( \sqrt{x} + 2 \right)}{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)} = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1}$

b) Ta có thể làm theo hai cách sau:

Cách 1: Đánh giá

Với $x > 0,\ x \neq 1 \Rightarrow x + \sqrt{x} + 1 > \sqrt{x} + 1 > 1.$

Vậy $0 < P = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} < \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = 1 + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} < 2.$

Vì $P$ nguyên nên $P = 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = 1 \Leftrightarrow x = 1\ \ (KTM).$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.

Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị.

$P = \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1}$ $\Leftrightarrow P\left( \sqrt{x} \right)^{2} + (P - 1)\sqrt{x} + P - 2 =0$ .

TH1: $P = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = - 2 \Leftrightarrow x \in \varnothing$ .

TH2: $P \neq 0 \Rightarrow \Delta = (P - 1)^{2} - 4P(P - 2) = 3P^{2} + 6P + 1 \geq 0$ $\Leftrightarrow P^{2} - 2P - \frac{1}{2} \leq 0$ .

$\Leftrightarrow P^{2} - 2P + 1 \leq\frac{4}{3}$ $\Leftrightarrow (P - 1)^{2} \leq \frac{4}{3} \Rightarrow P\in \left\{ 1;2 \right\}$ (do $P \in Z,P > 0$ )

$p = 1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = 1\ (KTM)$ .

$P = 2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} + 2}{x + \sqrt{x} + 1} = 2 \Leftrightarrow 2x + \sqrt{x} = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( 2\sqrt{x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0(KTM)$ .

Ví dụ. Cho biểu thức $P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x}$ (với $x > 0,x \neq 1$ ).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để biểu thức $M = \frac{7}{P}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức P.

$P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x^{2} + \sqrt{x}}{x\sqrt{x} + x}$

$P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} +\frac{\left( \sqrt{x} - 1 \right)\left( x + \sqrt{x} + 1\right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x} - 1 \right)}$ $- \frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} + 1 \right)\left( x - \sqrt{x} + 1 \right)}{x\left( \sqrt{x} +1 \right)}$

$P = \frac{2x + 2}{\sqrt{x}} + \frac{\left( x + \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}} - \frac{\left( x - \sqrt{x} + 1 \right)}{\sqrt{x}}$

$P = \frac{2x + 2\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} = 2\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right)$

b) Tìm x để biểu thức $M = \frac{7}{P}$ nhận giá trị nguyên.

$0 < x \neq 1 \Rightarrow \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 > 3 \Leftrightarrow 2\left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right) > 6$

$\Rightarrow M = \dfrac{7}{P} = \dfrac{7}{{2\left( {\sqrt x + \dfrac{1}{{\sqrt x }} + 1} \right)}} < \dfrac{7}{6}$ .

Do M nhận giá trị nguyên

$\Rightarrow M = 1 \Leftrightarrow\dfrac{7}{2\left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 1 \right)} = 1\Leftrightarrow \sqrt{x} + \dfrac{2}{\sqrt{x}} = \dfrac{5}{2}$

$\Leftrightarrow 2x - 5\sqrt{x} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ \frac{1}{4};4 \right\}$ .

Dạng 2: Ứng dụng vào dạng toán liên quan định lý Vi-et

Ví dụ. Cho phương trình: $x^{2} - mx + m - 1 = 0$ . Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:

$B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\Delta^{'} = m^{2} - 4(m - 1) = (m - 2)^{2} \geq 0(\ \forall m\ )$ nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$ .

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}x_{2} = m - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Xét biểu thức:

$B = \frac{2x_{1}x_{2} + 3}{x_{1}^{2} +x_{2}^{2} + 2\left( x_{1}x_{2} + 1 \right)}$ $= \frac{2x_{1}x_{2} +3}{\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} + 2\left( x_{1}x_{2} +1 \right)} = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2}$

Cách 1: Phương pháp thêm bớt.

Ta có: $B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} = \frac{m^{2} + 2 - (m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} = 1 - \frac{(m - 1)^{2}}{m^{2} + 2} \leq 1$

$\Rightarrow MaxB = 1 \Leftrightarrow m = 1$

Ta có:

$B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} =\frac{m^{2} + 4m + 4 - \left( m^{2} + 2 \right)}{2\left( m^{2} + 2\right)}$ $= \frac{(m + 2)^{2}}{2\left( m^{2} + 2 \right)} - \frac{1}{2}\geq - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow MinB = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = - 2$

Cách 2: Phương pháp miền giá trị.

Ta có: $B = \frac{2m + 1}{m^{2} + 2} \Leftrightarrow Bm^{2} - 2m + 2B - 1 = 0$

TH1: $B = 0 \Rightarrow m = - \frac{1}{2}$

TH2: $B \neq 0 \Rightarrow \Delta' = 1 - B(2B - 1) \geq 0 \Leftrightarrow - 2B^{2} + B + 1 \geq 0$

$\Leftrightarrow 2B^{2} - B - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (2B + 1)(B - 1) \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq B \leq 1$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}MinB = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{B} = - 2 \\MaxB = 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{B} = 1 \\\end{matrix} \right.$

Ví dụ. Cho phương trình: $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 2 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $A = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right|$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình có nghiệm:

$\Delta' = m^{2} - 2\left( m^{2} - 2 \right) = 4 - m^{2} \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = - m \\x_{1}x_{2} = \dfrac{m^{2} - 2}{2} \\\end{matrix} \right.$

Xét biểu thức

$A = \left| 2x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} - 4 \right| = \left| m^{2} - 2 - m - 4 \right| = \left| m^{2} - m - 6 \right| = \left| (m + 2)(m - 3) \right|$

Vì $- 2 \leq m \leq 2 \Rightarrow A = (m + 2)(3 - m) = - m^{2} + m + 6 = \frac{25}{4} - \left( m - \frac{1}{2} \right)^{2} \leq \frac{25}{4}$

Vậy $MaxA = \frac{25}{4} \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}(TM)$ .

Ví dụ. Cho phương trình: $x^{2} - 2(m - 1)x + 2m^{2} - 3m + 1 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh: $\left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} \right| \leq \frac{9}{8}$ .

Hướng dẫn giải

Phương trình có nghiệm nên ta có:

$\Delta = (m - 1)^{2} - \left( 2m^{2} - 3m + 1 \right) = - m^{2} + m \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 1$

Theo định lí Vi-et ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2(m - 1) \\ x_{1}x_{2} = 2m^{2} - 3m + 1 \\ \end{matrix} \right.$

$A = \left| x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2}\right|$ $= \left| 2m - 2 + 2m^{2} - 3m + 1 \right|$ $= \left| 2m^{2} - m -1 \right| = 2\left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} -\frac{9}{16}$

Vì $0 \leq m \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{4} \leq m - \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4}$ $\Rightarrow \left( m -\frac{1}{4} \right)^{2} \leq \frac{9}{16}$

Vậy $A = 2\left( \left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} - \frac{9}{16} \right) = 2\left\lbrack \frac{9}{16} - \left( m - \frac{1}{4} \right)^{2} \right\rbrack \leq \frac{9}{8}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: $m = \frac{1}{4}$ .

Dạng 3: Ứng dụng vào giải phương trình vô tỉ và hệ phương trình vô tỉ

Ví dụ. Giải phương trình: $3\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2x + 2}{2x - 1}} + 2x = 5.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x \neq \frac{1}{2}$ (*)

Ta có $(1) \Leftrightarrow 3\sqrt[3]{\frac{x^{2} - 2x + 2}{2x - 1}} + (2x - 1) = 4.$

TH1: $2x - 1 < 0 \Rightarrow VT < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

TH2: $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}.$

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho 4 số dương ta có:

$\sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + \sqrt[3]{\frac{(x - 1)^{2} + 1}{2x - 1}} + (2x - 1) \geq 4$ .

Đẳng thức xảy ra khi $x = 1.$

Ví dụ. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - 3x + 2 = y^{3} + 3y^{2} \\ \sqrt{x - 2} + \sqrt{x^{3} - 3x^{2} + y + 2} = x^{2} - 3y \\ \end{matrix} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{matrix} x \geq 2 \\ x^{3} - 3x^{2} + y + 2 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$

Ta có: $x^{3} - 3x + 2 = (y + 1)^{3} - 3(y + 1) + 2$

$\Leftrightarrow x^{3} - 3x = (y + 1)^{3} - 3(y + 1)$

$\Leftrightarrow x^{3} - (y + 1)^{3} = 3\left\lbrack x - (y + 1) \right\rbrack$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = y + 1\ \ \ (1) \\ x^{2} + x(y + 1) + (y + 1)^{2} = 3\ \ (2) \\ \end{matrix} \right.$

Từ (1) $\Rightarrow y = x - 1 \Rightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{x^{3} - 3x^{2} + x + 1} = x^{2} - 3x + 3.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x - 2} + \sqrt{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 1 \right)} = x^{2} - 3x + 3.$

Theo Cô Si ta có: $\left\{ \begin{matrix}\sqrt{(x - 2).1} \leq \dfrac{x - 2 + 1}{2} = \dfrac{x - 1}{2} \\\sqrt{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 1 \right)} \leq \dfrac{x^{2} - x - 2}{2}\\\end{matrix} \right.$

$\Rightarrow VT \leq \dfrac{x^{2} -3}{2}$

Từ đó ta được: $x^{2} - 3x + 3 \leq \frac{x^{2} - 3}{2} \Leftrightarrow (x - 3)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow x = 3(TM).$

Ta có: $(2) \Leftrightarrow \left\lbrack \frac{x}{2} + (y + 1)^{2} \right\rbrack + \frac{3x^{2}}{4} \geq 0 + \frac{3.2^{2}}{4} = 3$ (do $x \geq 2$ ).

Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{x}{2} + (y + 1) = 0 \\x = 2 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 2 \\y = - 2 \\\end{matrix} \right.$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho biểu thức $P = \frac{x\sqrt{x} + 26\sqrt{x} - 19}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3}$ (với $x \geq 0,\ x \neq 1$ ).

a) Rút gọn biểu thức $P$ .

b) Tìm GTNN của biểu thức $P$ .

Bài 2: Cho biểu thức $M = \frac{a + 1}{\sqrt{a}} + \frac{a\sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} + \frac{a^{2} - a\sqrt{a} + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} - a\sqrt{a}}$ , (với $a > 0,\ \ a \neq 1$ ).

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Chứng minh rằng $M > 4$ .

c) Tìm a để biểu thức $N = \frac{6}{M}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 3: Cho hai biểu thức $A = \frac{7}{\sqrt{x} + 8}$ và $B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 3}} + \frac{2\sqrt{x} - 24}{x - 9}$ , (với $x \geq 0,\ x \neq 9$ ).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho $P = A.B$ nhận giá trị nguyên.

Bài 4: Cho phương trình $x^{2} - 2mx + 2m - 2 = 0$ . Gọi $x_{1},\ x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $M = \frac{6\left( x_{1} + x_{2} \right)}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 4\left( x_{1} + x_{2} \right)}$ .

Bài 5: Cho phương trình: $2x^{2} + 2mx + m^{2} - 1 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của $B = \left| x_{1} + x_{2} + 3x_{1}x_{2} \right|$ .

Bài 6: Cho phương trình: $x^{2} - 2(m + 1)x + 2m - 3 = 0$ . Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm GTLN của biểu thức: $P = \left| \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} - x_{2}} \right|$ .

Bài 7: Giải phương trình $13\sqrt{2x^{2} - x^{4}} + 9\sqrt{2x^{2} + x^{4}} = 32$ (1)

Bài 8: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\dfrac{2x^{2}}{x^{2} + 1} = y \\\dfrac{2y^{2}}{y^{2} + 1} = z \\\dfrac{2z^{2}}{z^{2} + 1} = x \\\end{matrix} \right.$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

90.000đ

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ