Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Chuyên đề Đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ có hai điểm chung $A;B$ , ta nói đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ cắt nhau. Đường thẳng $a$ còn được gọi là cát tuyến của đường tròn $(O)$ .

Khi đó $OH < R$ và $HA = HB = \sqrt{R^{2} - OH^{2}}$

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Khi đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ chỉ có một điểm chung $C$ , ta nói đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ tiếp xúc nhau. Khi đó đường thẳng $a$ gọi là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ . Điểm $C$ được gọi là tiếp điểm.

Khi đó $OC = OH = R$ .

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Định lí: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ không có điểm chung thì ta nói đường thẳng $a$ và đường tròn $(O)$ không giao nhau.

Khi đó $OH > R$

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

2. Hệ thức giữa khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn

Đặt $OH = d$ . Khi đó ta có:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn	Số điểm chung	Hệ thức giữa $d;R$
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	$2$	$d < R$
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau	$1$	$d = R$
Đường thẳng và đường tròn cắt nhau	$0$	$d > R$

Dạng 1: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Phương pháp giải

So sánh $d;R$ dựa vào bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đã nêu trên mục kiến thức cần nhớ.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BD$ là đường phân giác. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $BC$ và đường tròn tâm $D$ bán kính $DA$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Kẻ $DE\bot BC;(E \in BC)$

$D$ thuộc tia phân giác của tam giác $ABC$ ; $DA\bot AB;DE\bot CB$

$\Rightarrow DA = DE$

Do đó đường thẳng $BC$ và đường tròn tâm $D$ bán kính $DA$ tiếp xúc nhau.

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3;AC = 4$ . Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $2,8$ . Xác định vị trí tương đối của đường thẳng $BC$ và đường tròn tâm $A$ bán kính $2,8$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Vẽ $AH;(H \in BC)$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$

Ta có: $\frac{1}{AH^{2}} = \frac{1}{AB^{2}} + \frac{1}{AC^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}$

$\Rightarrow AH = 2,4 < 2,8$

$\Rightarrow d < R$

Do đó đường thẳng $BC$ và đường tròn $(A;2,8)$ cắt nhau.

Ví dụ: Cho điểm $A$ nằm trong đường tròn $(O)$ . Chứng minh rằng mọi đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ đều cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Gọi $d$ là đường thẳng $A$ . Dựng $OH\bot d$

Suy ra $d_{(O;d)} = OH$

Xét tam giác vuông $AOH$ vuông tại $H$ ta có: $OA$ là cạnh huyền nên $OA \geq OH$

Mà $A$ nằm bên trong đường tròn nên $OA < R$

Suy ra $R > OH \Leftrightarrow R > d_{(O;d)}$

Do đó đường thẳng d luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn có bán kính cho trước và tiếp xúc với một đường thẳng cho trước

Phương pháp giải

Bước 1: Xác định khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

Bước 2: Sử dụng tính chất cách đều một đường thẳng cho trước một khoảng cho trước.

Ví dụ: Cho đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau, cách nhau một khoảng là $4cm$ . Một đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $a$ và $b$ . Hỏi tâm $O$ di động trên đường nào?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Dựng $EF\bot a;EF\bot b \Rightarrow EF = 4(cm)$

Gọi $O$ là trung điểm của $EF$ .

Đường tròn tâm $O$ bán kính $R = 2cm$ tiếp xúc với đường thẳng $a;b$ tai hai điểm $E;F$ .

Vì $EF$ thay đổi trên đường thẳng $a;b$ thỏa mãn $EF$ là đoạn vuông góc chung nên tâm $O$ chạy trên đường thẳng $c$ song song với $a;b$ và cách đều $a;b$ một khoảng $R = 2cm$ .

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ có độ dài cạnh $BC$ không đổi. Vẽ đường tròn tâm $A$ tiếp xúc với cạnh $BC$ . Giả sử diện tích tam giác $ABC$ không thay đổi khi điểm $A$ thay đổi. Hỏi $A$ di động trên đường nào?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Dựng đường cao $AH$

Vì đường tròn tâm $A$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ nên $AH$ là bán kính cũng là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ .

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = \frac{1}{2}BC.AH$

Vì $BC$ không đổi nên để diện tích tam giác $ABC$ không đổi thì độ dài $AH$ không thay đổi. Hay khoảng cách từ $A$ đến cạnh $BC$ không thay đổi.

Vậy $A$ di động trên đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $BC$ và cách $BC$ một đoạn bằng $AH$ .

Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp

Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lí về tính chất của tiếp tuyến và định lí Pythagore.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 10$ . Dựng đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn tại $I$ (khác $A;B$ ). Từ $A;B$ dựng các đường thẳng vuông góc với $a$ theo thứ tự tại $D;C$ biết $CD = 8$ . Tính diện tích tứ giác $ABCD$ ?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Vì đường thẳng $a$ tiếp xúc với đường tròn tại $I$ (khác $A;B$ ) nên $OI\bot a$

Vì $OI\bot a;AD\bot a;BC\bot a$ nên $AD//BC//OI$

Do đó tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông.

Vì $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OI$ là đường trung bình của hình thang.

Diện tích hình thang $ABCD$ là: $S_{ABCD} = \frac{(AD + BC).CD}{2} = OI.CD = 40$ .

Ví dụ: Cho đường tròn $(O;R)$ và dây $AB = \frac{8R}{5}$ . Vẽ một tiếp tuyến song song với $AB$ , cắt các tia $OA;OB$ theo thứ tự tại $M;N$ . Tính diện tích tam giác $OMN$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán 9

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ ta có: $AI = \frac{4R}{5}$ suy ra $OM^{2} = OA^{2} - AI^{2} = \frac{9R^{2}}{25}$

$\Rightarrow OM = \frac{3R}{5}$

$\Rightarrow S_{OAB} = \frac{1}{2}OI.AB = \frac{12R^{2}}{25}$

Gọi $H$ là tiếp điểm của tiếp tuyến $MN$ . Do $MN//AB$ nên ta có:

$\frac{S_{OAB}}{S_{OMN}} = \frac{OI^{2}}{OH^{2}} = \frac{9}{25}$

$\Rightarrow S_{OMN} = \frac{25}{9}.S_{OAB} = \frac{4R^{2}}{3}$

Vậy diện tích tam giác $OMN$ bằng $\frac{4R^{2}}{3}$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình thang vuông $ABCD;\left( \widehat{A} = \widehat{B} = 90^{0} \right)$ có $AB = 4cm;BC = 12cm;CD = 9cm$ . Tính $AD$ và chứng minh rằng đường thẳng $AD$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $BC$ .

Bài 2: Cho đường tròn $(O)$ , điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Dựng đường thẳng đi qua $a$ cắt đường tròn tại $B;C$ sao cho $AB + AC$ có giá trị lớn nhất.

Bài 3: Cho điểm $O$ cách đường thẳng $a$ một khoảng bằng $6cm$ . Vẽ đường tròn $(O;10cm)$ .

a) Chứng minh rằng $(O)$ có hai giao điểm với đường thẳng $a$ .

b) Gọi hai giao điểm nói trên là $B;C$ . Tính diện tích tam giác $OBC$ .

Bài 4: Cho đường tròn $(O;R)$ và một điểm $A$ chạy trên đường tròn đó. Từ $A$ vẽ tiếp tuyến $xy$ , trên $xy$ lấy một điểm $M$ sao cho $AM = R\sqrt{3}$ . Điểm $M$ di động trên đường nào?

Bài 5: Cho đường tròn $(O;R)$ có dây $AB = R$ . Trên tia $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = a$ . Qua điểm $M$ vẽ đường thẳng $xy$ vuông góc với $AB$ . Chứng minh rằng đường thẳng $xy$ và đường tròn $(O;R)$ chỉ có điểm chung khi $a \leq \frac{3R}{2}$ .

Bài 6: Cho hình vuông $ABCD$ , lấy điểm $E \in BC$ và $F \in CD$ sao cho $AB = 3BE = 2DF$ . Chứng minh $EF$ tiếp xúc với cung tròn tâm $A$ , bán kính $AB$ .

Chia sẻ nhận xét

Đánh giá tài liệu

Sắp xếp theo

Xóa Gửi đánh giá

Mua ngay

Thuộc tính tài liệu:

Lớp: Ôn vào 10
Môn: Toán
Dạng tài liệu: Chuyên đề
Loại: Tài liệu Lẻ