Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Chuyên đề Hàm số bậc nhất - Vị trí tương đối của hai đường thẳng gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Vị trí tương đối của hai đường thẳng 5,0

A. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng $(d):y = ax + b$ và $(d'):y = a'x + b'$ với $a;a' \neq 0$ .

$(d) \equiv (d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$	$(d)//(d') \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$
$(d)$ cắt $(d')$ $\Leftrightarrow a \neq a'$	$(d)\bot(d') \Leftrightarrow a.a' = - 1$

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

a) $\left( d_{1} \right):y = 5$ và $\left( d_{2} \right):y = - 2$

b) $\left( d_{1} \right):y = 2x - 2$ và $\left( d_{2} \right):y = x + 2$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\left( d_{1} \right):y = 5$ và $\left( d_{2} \right):y = - 2$ ta có:

$\left( d_{1} \right):y = 5$ là đường thẳng song song với Ox

$\left( d_{2} \right):y = - 2$ là đường thẳng song song với Ox

Mà $5 \neq - 2$ nên hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

b) Xét $\left( d_{1} \right):y = 2x - 2$ và $\left( d_{2} \right):y = x + 2$

Đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = 2x - 2$ có hệ số $a = 2;b = - 2$

Đường thẳng $\left( d_{2} \right):y = x + 2$ có hệ số $a' = 1;b' = 2$

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau vì $a \neq a'$ .

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng

a) $\left( d_{1} \right):y = 3x + 3$ và $\left( d_{2} \right):y = 3x - 5$

b) $\left( d_{1} \right):y = 2(x - 2) - x + 1$ và $\left( d_{2} \right):y = x - 3$

Hướng dẫn giải

a) Xét $\left( d_{1} \right):y = 3x + 3$ và $\left( d_{2} \right):y = 3x - 5$ ta có:

Đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = 3x + 3$ có hệ số $a = 3;b = 3$

Đường thẳng $\left( d_{2} \right):y = 3x - 5$ có hệ số $a' = 3;b' = - 5$

Hai đường thẳng đã cho song song với nhau vì $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$ .

b) Xét $\left( d_{1} \right):y = 2(x - 2) - x + 1$ và $\left( d_{2} \right):y = x - 3$ ta có:

Đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = 2(x - 2) - x + 1 = x - 3$ có hệ số $a = 1;b = - 3$

Đường thẳng $\left( d_{2} \right):y = x - 3$ có hệ số $a' = 1;b' = - 3$

Hai đường thẳng đã cho trùng nhau vì $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$ .

B. Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng song song, vuông góc, trùng nhau

Phương pháp

Bước 1: Xác định hệ số a, b của các đường thẳng

Bước 2: Dựa vào điều kiện tương giao của các đường thẳng.

Hai đường thẳng song song khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b \neq b' \\ \end{matrix} \right.$

Hai đường thẳng cắt nhau khi $a \neq a'$

Hai đường thẳng trùng nhau khi $\left\{ \begin{matrix} a = a' \\ b = b' \\ \end{matrix} \right.$

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi $a.a' = - 1$

Kết hợp yêu cầu thiết lập phương trình, bất phương trình có ẩn là tham số.

Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình và kết luận.

Ví dụ: Tìm m để hai hàm số bậc nhất $\left( d_{1} \right):y = mx + 2m + 1$ và $\left( d_{2} \right):y = (2m - 3)x - 5$ cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Hàm số $\left( d_{1} \right):y = mx + 2m + 1$ có các hệ số $\left\{ \begin{matrix} a = m \\ b = 2m + 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hàm số $\left( d_{2} \right):y = (2m - 3)x - 5$ có các hệ số $\left\{ \begin{matrix} a' = 2m - 3 \\ b' = - 5 \\ \end{matrix} \right.$

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất, do đó các hệ số a và a’ khác 0 tức là $\left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\2m - 3 \neq 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 0 \\m \neq \dfrac{3}{2} \\\end{matrix} \right.$

Đồ thị của hai hàm số số cắt nhau khi $a \neq a' \Rightarrow m \neq 2m - 3 \Leftrightarrow m \neq 3$

Vậy $m \neq 0;m \neq \frac{3}{2};m \neq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ: Tìm m để hai hàm số bậc nhất $\left( d_{1} \right):y = \frac{m - 1}{2}.x + 3$ và $\left( d_{2} \right):y = 2x - 5$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Hàm số $\left( d_{1} \right):y = \frac{m - 1}{2}.x + 3$ có các hệ số $a = \frac{m - 1}{2};b = 3$

Hàm số $\left( d_{2} \right):y = 2x - 5$ có các hệ số $a' = 2;b' = - 5$

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất do đó các hệ số a và a’ khác 0 tức là:

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{m - 1}{2} \neq 0 \\2 \neq 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq 1 \\2 \neq 0 \\\end{matrix} \right.$

Đồ thị của hai hàm số đã cho vuông góc với nhau khi đó

$a.a' = - 1 \Leftrightarrow \frac{m - 1}{2}.2 = - 1 \Leftrightarrow m = 0(tm)$

Vậy với m = 0 thì đồ thị hai hàm số đã cho vuông góc với nhau.

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho ba đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = - x + 1,\left( d_{2} \right):y = 2x + 2$ và $\left( d_{3} \right):y = - x + 2$ . Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng $\left( d_{1} \right),\left( d_{2} \right)$ và $\left( d_{2} \right),\left( d_{3} \right)$ và $\left( d_{1} \right),\left( d_{3} \right)$ .

Bài 2: Cho hai đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = 3(x + 1) - 2x + 2,\left( d_{2} \right):y = 3x - 2(x - 5)$ . Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng $\left( d_{1} \right),\left( d_{2} \right)$ .