Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

Chuyên đề Vị trí tương đối của hai đường tròn gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Xét vị trí tương đối của hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ với $R > r$

a) Nếu $R - r < OO' < R + r$ thì $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

b) Nếu $OO' = R + r$ thì $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài với nhau.

Nếu $OO' = R - r$ thì $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong với nhau.

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

c) Nếu $OO' > R + r$ thì $(O)$ và $(O')$ ở ngoài nhau.

Nếu $OO' < R - r$ thì $(O)$ chứa $(O')$ .

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.
Tiếp tuyến chung của cả hai đường tròn không cắt đoạn nối hai tâm là tiếp tuyến chung ngoài, cắt đoạn nối tâm là tiếp tuyến chung trong.

Dạng 1: Bài toán hai đường tròn tiếp xúc nhau

Phương pháp giải

Vẽ đường nối tâm và chú ý rằng tiếp điểm nằm trên đường nối tâm, dùng hệ thức $d = R + r$ hoặc $d = R - r$
Nếu cần có thể vẽ tiếp tuyến chung tại tiếp điểm.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ , $B$ nằm trên đường tròn $(O)$ , $C$ nằm trên đường tròn $(O')$ . Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $I$ .

a) Chứng minh $\widehat{BAC} = 90^{0}$ .

b) Tính số đo góc $OIO'$ .

c) Tính độ dài $BC$ biết $OA = 4cm;O'A = 9cm$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

a) Vì tiếp tuyến tại $A;B$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $I$ nên $IA = IB;\widehat{BIO} = \widehat{OIA}(1)$

Vì tiếp tuyến tại $A;C$ của đường tròn $(O')$ cắt nhau tại $I$ nên $IA = IC;\widehat{AIO'} = \widehat{O'IC}(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $IA = IB = IC$ .

Xét tam giác $ABC$ có $IA = IB = IC$ và $I$ nằm trên $BC$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .

Vậy $\widehat{BAC} = 90^{0}$ .

b) Từ $\widehat{BIA} + \widehat{AIC} = 180^{0}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{OIA} + 2\widehat{AIO'} = 180^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{OIA} + \widehat{AIO'} = 90^{0}$ hay $\widehat{OIO'} = 90^{0}$ .

c) Xét tam giác vuông $OIO'$ với $AI$ là đường cao ta có:

$IA^{2} = AO.O'A = 4.9 = 36$

$\Leftrightarrow AI = 6(cm)$

Ta có: $BBC = IB + IC = 2IA = 12(cm)$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ các đường kính $AOB;AO'C$ . Gọi $DE$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( $D \in (O);E \in (O')$ ). Gọi $M$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ .

a) Tính số đo góc $DAE$ .

b) Tứ giác $ADME$ là hình gì?

c) Chứng minh $MA$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

a) Xét hai tam giác cân $OAD;O'CE$ ta có:

$\frac{OD}{O'E} = \frac{OA}{O'C}$

$\widehat{DOA} = \widehat{EO'C}$ (góc đồng vị)

$\Rightarrow \Delta OAD = \Delta O'CE(c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{O'EC} = \widehat{OAD}$

Tam giác $O'AE$ cân tại $O'$ nên $\widehat{O'AE} = \widehat{O'EA}$

Ta có: $\widehat{AEO'} = \widehat{O'EC} = 90^{0} \Leftrightarrow \widehat{O'AE} = \widehat{OAD} = 90^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{DAE} = 180^{0} - \left( \widehat{OAD} + \widehat{O'AE} \right) = 90^{0}$

$\Leftrightarrow \widehat{DAE} = 90^{0}$

b) Vì đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ đi qua ba điểm $A;B;D$ nên $AD\bot BD$

Vì đường tròn $(O')$ đường kính $AC$ đi qua ba điểm $A;C;E$ nên tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật.

c) Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $\widehat{DAM} = \widehat{ADE}$

Tam giác $OAD$ cân tại $O$ nên $\widehat{DAO} = \widehat{ODA}$

Ta có: $\widehat{ADE} + \widehat{ODA} = 90^{0} = \widehat{DAM} + \widehat{OAD}$

Suy ra $MA\bot AB$ hay $MA\bot BC$

Vì $MA\bot AB$ tại A nên MA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Vì $MA\bot BC$ tại A nên MA là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Vậy MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

Dạng 2: Bài toán hai đường tròn cắt nhau

Phương pháp giải

Sử dụng các kiến thức sau:

Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.
Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB = 25cm$ . Vẽ đường tròn tâm $B$ bán kính $R = 15cm$ , cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ và $D$ .

a) Chứng minh $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$ .

b) Tính độ dài $AC$

c) Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ . Tính độ dài các cạnh $AH;BH$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

a) Ta có: $OA = OB = OC$

Xét tam giác $ABC$ có $OA = OB = OC$ nên tam giác vuông tại $C$ .

Tức là $AC\bot BC$

Vì $AC$ cắt đường tròn $(B)$ tại $C$ và $AC\bot BC$ nên $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(B)$ .

b) Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $ABC$ ta có:

$AB^{2} = AC^{2} + CB^{2} \Leftrightarrow 25^{2} = AC^{2} + 15^{2}$

$\Leftrightarrow AC = 20(cm)$

c) Chứng minh tương tự phần a) ta có $AD$ là tiếp tuyế của đường tròn $(B)$

Vì tiếp tuyến tại $C$ và $D$ của đường tròn $(B)$ cắt nhau tại $A$ nên $AC = AD(*)$ và $BC = BD = R(**)$

Từ (*) và (**) suy ra $AB$ là đường trung trực của $CD$ .

Suy ra $CD\bot AB \equiv H$

Xét tam giác vuông $ABC$ với $CH$ là đường cao có:

$AC^{2} = AH.AB \Leftrightarrow 20^{2} = AH.25 \Leftrightarrow AH = 16(cm)$

$BC^{2} = BH.AB \Leftrightarrow 15^{2} = BH.25 \Leftrightarrow BH = 9(cm)$

Ví dụ: Cho đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Gọi $M$ là trung điểm của $OO'$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AM$ , cắt các đường tròn $(O)$ và $(O')$ ở $C$ và $D$ . Chứng minh rằng $AC = AD$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

Dựng $OI\bot AC;O'J\bot AD$

Suy ra $I$ là trung điểm của $AC$ ; $J$ là trung điểm của $AD$ nên $AC = 2AI;AD = 2AJ$

Xét tứ giác $OIJO'$ có $OI//O'J$ (cùng vuông góc với $IJ$ )

Ssuy ra tứ giác $OIJO'$ là hình thang và $\widehat{J} = \widehat{I} = 90^{0}$ nên tứ giác $OIJO'$ là hình thang vuông

Lại có $MA\bot IJ \Rightarrow MA//OI//O'J$

Vì $M$ là trung điểm của $OO'$ nên $A$ là trung điểm của $IJ$

Hay $AI = AJ \Leftrightarrow 2AI = 2AJ \Leftrightarrow AC = AD$

Vậy $AC = AD$ .

Dạng 3: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn biết hệ thức giữa $d;R;r$ và ngược lại.

Phương pháp

Sử dụng kiến thức

a) Hai đường tròn cắt nhau $R - r < OO' < R + r$

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài thì $OO' = R + r$
Nếu hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong thì $OO' = R - r$

c) Hai đường tròn không giao nhau:

Nếu hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc ngoài thì $OO' > R + r$
Nếu hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ tiếp xúc trong thì $OO' < R - r$

Ví dụ: Cho hai đường tròn tâm $O$ và $O'$ có cùng bán kính, cắt nhau tại $A$ và $B$ . Đoạn nối tâm $OO'$ cắt các đường tròn $(O)$ và $(O')$ thứ tự ở $C$ và $D$ . Tính bán kính mỗi đường tròn biết $AB = 24cm;CD = 12cm$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ suy ra $AH = HB = \frac{AB}{2} = 12(cm)$

Xét tam giác vuông $OHB$ , áp dụng định lí Pythagore ta có:

$OB^{2} = OH^{2} + HB^{2}$

$\Leftrightarrow R^{2} = (R - 6)^{2} + 12^{2}$

$\Leftrightarrow R = 15(cm)$

Vậy $R = 15cm$ .

Ví dụ: Cho góc vuông $xOy$ . Các điểm $A;B$ theo thứ tự di chuyển trên các tia $Ox;Oy$ sao cho $OB + OA = k$ (hằng số). Vẽ các đường tròn $(A;OB)$ và $(B;OA)$ . Chứng minh rằng hai đường tròn $(A)$ và $(B)$ luôn cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

Xét tam giác $OAB$ theo bất đẳng thức tam giác có:

$|OA - OB| < AB < OA + OB$

Vậy hai đường tròn $(A);(B)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ và đường thẳng $d$ tiếp xúc với nửa đường tròn tại điểm $C$ . Gọi $D;E$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên đường thẳng $d$ .

a) Các đường tròn $(A;AD)$ và $(B;BE)$ có vị trí như thế nào đối với nhau?

b) Chứng minh rằng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính $BE$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vị trí tương đối của hai đường tròn Toán 9

a) Vì $AD\bot DE;BE\bot DE$ nên $ABED$ là hình thang vuông.

Vì $DE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $C$ nên $OC\bot DE$

$\Rightarrow AD//OC//BE$

Mặt khác $O$ là trung điểm của $AB$ nên $OC$ là đường trung bình của hình thang $ABED$ .

Suy ra $AD + BE = 2OC = AB$

Vậy đường tròn $(A;AD)$ và $(B;BE)$ tiếp xúc với nhau.

b) Dựng $CH\bot AB$

Ta có tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $\widehat{ABC} = \widehat{OCB}$ (*)

Vì $OC//BE$ nên $\widehat{OCB} = \widehat{CBE}$ (so le trong) (**)

Từ (*) và (**) suy ra $\widehat{OBC} = \widehat{CBE}$

Xét tam giác $CBH$ và $CBE$ ta có:

$\widehat{CHB} = \widehat{CEB} = 90^{0}$

$BC$ là cạnh chung

$\widehat{OBC} = \widehat{CBE}$ (chứng minh trên)

Suy ra $\Delta CBH = \Delta CBE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow CH = CE$

Vì $C$ là tâm đường tròn đường kính $DE$ và $CH\bot AB;CH = \frac{1}{2}DE$ nên $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $DE$ với tiếp điểm là $H$ .

II. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn tâm $(O;R)$ đường kính $AB$ và điểm $M$ trên đường tròn sao cho góc $\widehat{MAB} = 60^{0}$ . Kẻ dây $MN\bot AB$ tại $H$ .

a) Chứng minh $AM;AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(B;BM)$ .

b) Chứng minh $MN^{2} = 4.AH.HB$ .

c) Chứng minh $\Delta BMN$ là tam giác đều.

d) Tia $MO$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ , tia $MB$ cắt $(B)$ tại $F$ . Chứng minh ba điểm $N;E;F$ thẳng hàng.

Bài 2: Cho góc vuông $xOy$ . Lấy các điểm $I;K$ lần lượt trên các tia $Ox;Oy$ . Vẽ đường tròn $(I;OK)$ cắt tia $Ox$ tại $M$ (với $I$ nằm giữa $O$ và $M$ ). Vẽ đường tròn $(K;OI)$ cắt tia $Oy$ tại $N$ (với $K$ nằm giữa $O$ và $N$ ).

a) Chứng minh hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ luôn cắt nhau.

b) Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn $(I)$ và tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn $(K)$ cắt nhau tại $C$ . Chứng minh tứ giác $OMCN$ là hình vuông.

c) Gọi giao điểm của hai đường tròn $(I)$ và $(K)$ là $A;B$ . Chứng minh ba điểm $A;B;C$ thẳng hàng.

d) Giả sử $I$ và $K$ theo thứ tự di động trên các tia $Ox;Oy$ sao cho $OI + OK = a$ (không đổi). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3: Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ với $R = 12cm;r = 5cm;OO' = 13cm$ .

a) Chứng minh hai đường tròn $(O);(O')$ cắt nhau tại hai điểm $A;B$ và $OO'$ là đường trung trực của $AB$ .

b) Chứng minh $AO$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O';r)$ .

c) Tính độ dài $AB$ .

Bài 4: Cho hai đường tròn $(O);(O')$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $B \in (O);C \in (O')$ . Tiếp tuyến chung trong tại $A$ cắt tiếp tuyến chung ngoài $BC$ tại $I$ .

a) Vẽ đường kính $BOD;CO'E$ . Chứng minh các bộ ba điểm $B;A;E$ và $C;A;D$ thẳng hàng.

b) Chứng minh $S_{\Delta BAC} = S_{\Delta DAE}$ .

c) Gọi $K$ là trung điểm của $DE$ . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp $\Delta OKO'$ tiếp xúc với $BC$ .

Bài 5: Cho hai đường tròn $(O;R)$ và $(O';r)$ tiếp xúc ngoài tại $A$ . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với $(O);(O')$ lần lượt tại $B;C$ . Đường vuông góc với $OO'$ kẻ từ $A$ cắt $BC$ ở $M$ .

a) Tính $MA$ theo $R;r$ .

b) Tính diện tích tứ giác $BCO'O$ theo $R;r$ .

c) Tính diện tích tam giác $BAC$ theo $R;r$ .

d) Gọi $I$ là trung điểm của $OO'$ . Chứng minh rằng $BC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I;IM)$ .

Bài 6: Cho hai đường tròn $(O);(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$ . Một cát tuyến qua $A$ cắt $(O)$ tại $M$ , cắt $(O')$ tại $N$ sao cho $A$ nằm giữa $M$ và $N$ . Từ $A$ vẽ các đường kính $AOC$ và $AO'D$ .