Viết phương trình đường thẳng y = ax + b

Chuyên đề Hàm số bậc nhất gồm nội dung trọng tâm giúp bạn học ôn tập, củng cố lại kiến thức Toán 9 ôn thi vào lớp 10.

Khoahoc Viết phương trình đường thẳng y = ax + b 5,0

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

A. Biết hệ số góc và điểm đi qua

Đường thẳng $y = ax + b;(a \neq 0)$ có hệ số góc là $a$ .

Gọi $\beta$ là góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b;(a \neq 0)$ với trục $Ox$ :

$\beta < 90^{0}$ thì $a > 0$
$\beta > 90^{0}$ thì $a < 0$

Các đường thẳng có dùng hệ số góc thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

Ví dụ: Xác định hàm số $y = ax + b\ \ \ (*)$

a) Đi qua gốc tọa độ và $A( - 1;3)$ .

b) Có hệ số góc bằng -3 và đi qua gốc tọa độ.

c) Có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm $B( - 1;2)$ .

d) Có hệ số góc bằng 1 và đi qua điểm $C( - 3;4)$ .

Hướng dẫn giải

a) Đi qua gốc tọa độ và $A( - 1;3)$ .

Hàm số đi qua gốc tọa độ $\Rightarrow x = 0;y = 0$ thay vào (*) ta được:

$0 = a.0 + b \Rightarrow b = 0$ $\Rightarrow y = ax(**)$

Hàm số đi qua điểm $A( - 1;3) \Rightarrow x = - 1;y = 3$ thay vào (**) ta được:

$3 = a.( - 1) \Rightarrow a = - 3$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 3x$ .

b) Có hệ số góc bằng -3 và đi qua gốc tọa độ.

Hàm số đi qua gốc tọa độ $\Rightarrow x = 0;y = 0$ thay vào (*) ta được:

$0 = a.0 + b \Rightarrow b = 0$ $\Rightarrow y = ax(**)$

Hàm số có hệ số góc bằng -3 $\Rightarrow a = - 3$ thay vào (**) ta được: $y = - 3x$

Vậy hàm số cần tìm là $y = - 3x$ .

c) Có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm $B( - 1;2)$ .

Hàm số đi qua $B( - 1;2) \Rightarrow x = - 1;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$2 = a.( - 1) + b \Rightarrow - a + b = 2(**)$

Hàm số có hệ số góc bằng 2 $\Rightarrow a = 2$ thay vào (**) $\Rightarrow b = 4$

Vậy hàm số cần tìm là $y = 2x + 4$ .

d) Có hệ số góc bằng 1 và đi qua điểm $C( - 3;4)$ .

Hàm số đi qua $C( - 3;4) \Rightarrow x = - 3;y = 4$ thay vào (*) ta được:

$4 = a.( - 3) + b \Rightarrow - 3a + b = 4(**)$

Hàm số có hệ số góc bằng 1 $\Rightarrow a = 1$ thay vào (**) $\Rightarrow b = 7$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x + 7$ .

B. Đường thẳng đi qua hai điểm

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng là $y = ax + b;(a \neq 0)$ .
Bước 2: Thay tọa độ hai điểm đã cho vào phương trình đường thẳng ta được hai phương trình hai ẩn a, b.
Bước 3: Giải các phương trình xác định a, b.
Bước 4: Kết luận phương trình.

Ví dụ: Xác định hàm số $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

a) Đi qua điểm $A( - 1;2)$ và $B(3; - 2)$ .

b) Đi qua điểm $A(3;2)$ và $B(0;2)$ .

c) Đi qua điểm $A(1;2)$ và $B(2; - 5)$ .

Hướng dẫn giải

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $A( - 1;2) \Rightarrow x = - 1;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow - a + b = 2 \Rightarrow b = a + 2\ \ \ (1)$

Hàm số đi qua điểm $B(3; - 2) \Rightarrow x = 3;y = - 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 3a + b = - 2\ \ \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow 3a + a + 2 = - 2 \Rightarrow 4a = - 4 \Rightarrow a = - 1$

$\Rightarrow b = - 1 + 2 = 1$

Vậy phương trình đường thẳng là $y = - x + 1$ .

b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $A(3;2) \Rightarrow x = 3;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 3a + b = 2\ \ \ (1)$

Hàm số đi qua điểm $B(0;2) \Rightarrow x = 0;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow b = 2\ \ \ (2)$

Thay (2) vào (1) ta được: $\Rightarrow a = 0$

Vậy không tồn tại hàm số cần tìm.

c) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $A(1;2) \Rightarrow x = 1;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a\ \ (1)$

Hàm số đi qua điểm $B(2; - 5) \Rightarrow x = 2;y = - 5$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 2a + b = - 5\ \ \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\Rightarrow 2a + 2 - a = - 5 \Rightarrow a = - 7$

$\Rightarrow b = 9$

Vậy phương trình đường thẳng là $y = - 7x + 9$ .

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng $y = ax + b$ thỏa mãn:

a) Đi qua điểm $A\left( \frac{1}{2};\frac{7}{4} \right)$ và song song với đường thẳng $y = 2x - 3$ .

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và đi qua điểm $B(2;1)$ .

c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 và đi qua điểm $C(1;2)$ .

d) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $\frac{2}{3}$ .

Hướng dẫn giải

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $A\left( \frac{1}{2};\frac{7}{4} \right) \Rightarrow x = \frac{1}{2};y = \frac{7}{4}$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow \frac{1}{2}a + b = \frac{7}{4} \Rightarrow b = \frac{7}{4} - \frac{1}{2}a\ \ \ (1)$

Mặt khác đồ thị hàm số $(*)$ song song với $y = 2x - 3$ suy ra $a = 2$ thay vào (1) ta suy ra $\Rightarrow b = \frac{7}{4} - \frac{1}{2}.2 = \frac{3}{4}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 2x + \frac{3}{4}$ .

b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $B(2;1) \Rightarrow x = 2;y = 1$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 2a + b = 1\ \ \ (1)$

Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 => y = 3; x = 0 thay vào (*)

=> $b = 3$ thay vào (1) $\Rightarrow a = - 1$ .

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = - x + 3$ .

c) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $C(1;2) \Rightarrow x = 1;y = 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow b = 2 - a\ \ (1)$

Mặt khác đồ thị hàm số trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 => y = 0; x = 2 thay vào (*)

$\Rightarrow 0 = 2a + b\ \ (2)$

Thay (1) vào (2) ta được: $0 = 2a + 2 - a \Rightarrow a = - 2$

$\Rightarrow b = 2 - ( - 2) = 4$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = - 2x + 4$ .

d) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 => y = 3; x = 0 thay vào (*)

=> $b = 3$

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow x = \frac{2}{3};y = 0$ thay vào (*) $\Rightarrow 0 = \frac{2}{3}a + b\ \ (**)$

Thay $b = 3$ vào (**) ta được: $\Rightarrow 0 = \frac{2}{3}a + 3 \Rightarrow a = - \frac{9}{2}$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = - \frac{9}{2}x + 3$ .

Ví dụ: Cho các đường thẳng $\left( d_{1} \right):y = 7x - 1$ và $\left( d_{2} \right):y = \frac{1}{2}x + 3$

a) Viết phương trình đường thẳng qua điểm $M(4;5)$ và song song với $\left( d_{1} \right)$ .

b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm $N(3; - 2)$ và vuông góc với $\left( d_{2} \right)$ .

Hướng dẫn giải

a) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $\left( d_{3} \right):y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $M(4;5) \Rightarrow x = 4;y = 5$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 4a + b = 5 \Rightarrow b = 5 - 4a\ \ \ (1)$

Vì $\left( d_{3} \right)//\left( d_{1} \right) \Rightarrow a = 7$ thay vào (1) $\Rightarrow b = 5 - 4.7 = - 23$

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $y = 7x - 23$ .

b) Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: $\left( d_{4} \right):y = ax + b;(a \neq 0)(*)$

Hàm số đi qua điểm $N(3; - 2) \Rightarrow x = 3;y = - 2$ thay vào (*) ta được:

$\Rightarrow 3a + b = - 2 \Rightarrow b = - 2 - 3a\ \ \ (1)$

Vì $\left( d_{4} \right)\bot\left( d_{2} \right) \Rightarrow a.\frac{1}{2} = - 1 \Rightarrow a = - 2$ thay vào (1) $\Rightarrow b = - 2 - 3.( - 2) = 4$