Luyện tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án chính xác
Đồ thị hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn trong hình vẽ như sau:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left| f(x) ight| = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt?
- A.
  $m < 1$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 5 \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} m > 5 \\ 0 < m < 1 \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $1 < m < 5$
Hướng dẫn:
Số nghiệm của phương trình $\left| f(x) ight| = m$ chính là giao điểm của hai đồ thị $\left\{ \begin{matrix} y = \left| f(x) ight| \\ y = m \\ \end{matrix} ight.$

Minh họa trực quan:

Vậy để hàm số $\left| f(x) ight| = m$ có đúng hai nghiệm thì $\left\lbrack \begin{matrix} m > 5 \\ 0 < m < 1 \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tìm hàm số tương ứng với bảng biến thiên
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số nào dưới đây?
- A.
  $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$
- B.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$
- C.
  $y = x^{4} + 2x^{2} - 3$
- D.
  $y = x^{4} - 2x^{2} + 3$
Hướng dẫn:
Nhận diện đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương $y = ax^{4} + bx^{2} + c;(a > 0)$ nên loại hàm số $y = - x^{4} + 2x^{2} - 3$

Hàm số có 3 cực trị nên $ab < 0$ nên loại hàm số $y = x^{4} + 2x^{2} - 3$ .

Vì $x_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} = 3$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$ .
Câu 3: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như hình vẽ?
- A.
  $y = - x^{4} + 4x^{2}$
- B.
  $y = - x^{4} - 4x^{2}$
- C.
  $y = x^{3} - 2x$
- D.
  $y = - x^{3} + 2x$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số bậc 4 có hệ số $a < 0$ và có ba điểm cực trị nên $ab < 0$ nên chọn $y = - x^{4} + 4x^{2}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị hàm số sau đây?
- A.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} - 4$
- B.
  $y = - x^{3} + 2x^{2} + 1$
- C.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$
- D.
  $y = x^{3} - 3x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số có hệ số $a < 0$ và có hai điểm cực trị là $A(0;1),B(2;5)$ nên chỉ có hàm số $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ thỏa mãn vì

$y' = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A(0;1) \\ x = 2 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow B(2;5) \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy hàm số xác định được là $y = - x^{3} + 3x^{2} + 1$ .
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - 2}$ có đồ thị là $(C)$ . Số điểm thuộc $(C)$ có hoành độ và tung độ đều là các số nguyên là
- A.
  $4$
- B.
  $7$
- C.
  $6$
- D.
  $5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = \frac{2x + 1}{x - 2} = 2 + \frac{5}{x - 2}(C)$

Gọi $M\left( x_{0};y_{0} ight) \in (C);\left( x_{0};y_{0}\mathbb{\in Z} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}x_{0}\in\mathbb{ Z} \\y_{0} = 2 + \dfrac{5}{x_{0} - 2}\in\mathbb{ Z} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow x_{0} - 2 \in \left\{ \pm 1; \pm 5ight\}$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} - 2 = 1 \\ x_{0} - 2 = - 1 \\ x_{0} - 2 = 5 \\ x_{0} - 2 = - 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{0} = 3 \Rightarrow y_{0} = 7(tm) \\ x_{0} = 1 \Rightarrow y_{0} = - 3(tm) \\ x_{0} = 7 \Rightarrow y_{0} = 3(tm) \\ x_{0} = - 3 \Rightarrow y_{0} = 1(tm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu.
Câu 6: Vận dụng
Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$ của phương trình $f\left( \cos x ight) = 1$ bằng:
- A.
  $5$
- B.
  $7$
- C.
  $4$
- D.
  $6$
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiến ta suy ra $f\left( \cos x ight) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = a < - 1\ \ \ \ (1) \\ \cos x = b \in ( - 1;0)\ \ \ (2) \\ \cos x = c \in (0;1)\ \ (3) \\ \cos x = d > 1\ \ (4) \\ \end{matrix} ight.$

Các phương trình (1) và (4) vô nghiệm

Ta có bảng sau:

Phương trình $\cos x = b \in ( - 1;0)$ có 4 nghiệm thuộc $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$

Phương trình $\cos x = c \in (0;1)$ có 3 nghiệm thuộc $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$

Vậy phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thuộc đoạn $\left\lbrack 0;\frac{7}{2} ightbrack$ .
Câu 7: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ có đồ thị như hình vẽ:

Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$ ?
- A.
  $T = 2$
- B.
  $T = - 2$
- C.
  $T = 3$
- D.
  $T = 0$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy đường tiệm cận đứng $x = 2$ , đường tiệm cận ngang $y = - 1$

Xét hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ đồ thị có tiệm cận đứng $x = c$ và tiệm cận ngang $y = a$

suy ra $c = 2;a = - 1$

Đồ thị hàm số $y = \frac{ax - b}{x - c}$ đi qua điểm $(1;0)$ $\Rightarrow \frac{a.1 - b}{1 - c} = 0 \Leftrightarrow a + b = 0 \Leftrightarrow b = 1$

Vậy $T = - 1 + 1 + 2 = 2$ .
Câu 8: Vận dụng cao
Xác định tổng các phần tử của tập S
Gọi $S$ là tập tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2}$ tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ với $B$ nằm giữa $A;C$ sao cho $AB = 2BC$ . Tính tổng các phần tử thuộc tập S?
- A.
  $- 4$
- B.
  $- 2$
- C.
  $0$
- D.
  $2\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có bảng biến thiên

Suy ra đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2}$ tại ba điểm phân biệt $A;B;C$ $\Leftrightarrow - 4 < m < 0$

Khi đó $\[\left\{ \begin{gathered} {x_A} + {x_B} + {x_C} = 3 \hfill \\ {x_A}.{x_B} + {x_B}.{x_C} + {x_C}.{x_A} = 0 \hfill \\ {x_A}.{x_B}.{x_C} = m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Để B nằm giữa A và C và $AB = 2BC$ thì $\begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x_{A} < x_{B} < x_{C} \\ x_{B} - x_{A} = 2\left( x_{C} - x_{B} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x_{C} < x_{B} < x_{A} \\ x_{A} - x_{B} = 2\left( x_{B} - x_{C} ight) \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 3x_{B} = x_{A} + 2x_{C} \Leftrightarrow 4x_{B} - 3 = x_{C} \Rightarrow x_{A} = 6 - 5x_{B}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {6 - 5{x_B}} ight) + {x_B}.\left( {4{x_B} - 3} ight) + \left( {4{x_B} - 3} ight)\left( {6 - 5{x_B}} ight) = 0\left( * ight) \hfill \\ \left( {4{x_B} - 3} ight).{x_B}.\left( {6 - 5{x_B}} ight) = m \hfill \\ \end{gathered} ight.$

Từ (*) ta được $x_{B} = \frac{7 \pm \sqrt{7}}{7}$ . Thay (**) được $\left\lbrack \begin{matrix}m = \dfrac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49} \\m = \dfrac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} \\\end{matrix} ight.$

Suy ra $S = \left\{ \frac{- 98 - 20\sqrt{7}}{49};\frac{- 98 + 20\sqrt{7}}{49} ight\}$ . Vậy tổng các phần tử của S bằng $- 4$ .
Câu 9: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Tìm giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - (3 - m)x^{2} - 7$ đi qua điểm $A( - 2;1)$ ?
- A.
  $m = 1$
- B.
  $m = - 1$
- C.
  $m = 5$
- D.
  $m = 0$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số đi qua điểm $A( - 2;1)$ nên ta có:

$1 = ( - 2)^{4} - (3 - m)( - 2)^{2} - 7 \Leftrightarrow m = 1$
Câu 10: Nhận biết
Chọn hàm số thích hợp
Đồ thị hàm số nào sau đây nhận điểm $A(1;3)$ làm tâm đối xứng?
- A.
  $y = \frac{2x - 3}{x - 1}$
- B.
  $y = \frac{3x + 4}{x - 1}$
- C.
  $y = \frac{4x + 1}{x + 2}$
- D.
  $y = \frac{3x - 2}{x + 1}$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 4}{x - 1}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 1$ và tiệm cận ngang là $y = 3$ suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là $(1;3)$

Vậy điểm $A(1;3)$ là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3x + 4}{x - 1}$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tính tổng tất cả các tham số m
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + m - 1$ với $m$ là tham số. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt bằng:
- A.
  $- 15$
- B.
  $9$
- C.
  $15$
- D.
  $- 9$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là:

$x^{3} - 3x^{2} + m - 1 = 0 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + 1 = m$

Xét hàm số $f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + 1;\forall x\mathbb{\in R}$

Ta có: $f'(x) = - 3x^{2} + 6x \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi $1 < m < 5$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3;4 ight\}$

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bằng $9$ .
Câu 12: Nhận biết
Chọn hàm số tương ứng đồ thị
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f(x)$ :

Hàm số $y = f(x)$ là hàm số:
- A.
  $y = x^{4} - x^{2} + 1$
- B.
  $y = - x^{3} + 3x^{2} + 2$
- C.
  $y = x^{3} - 3x + 2$
- D.
  $y = x^{4} + x^{2} + 1$
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số bậc ba có dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ có hệ số $a > 0$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3x + 2$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định khoảng đồng biến của hàm số
Cho hàm số $y =f(x)$ có đồ thị của hàm số $y =f'(x)$ như hình vẽ:
Xác định khoảng đồng biến của hàm số $y =f\left( |3 - x| ight)$ ?
- A.
  $(2;3)$
- B.
  $(4;7)$
- C.
  $( - \infty; - 1)$
- D.
  $( - 1;2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $y = f\left( |3 - x| ight) =\left\{ \begin{matrix}f(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.$
$y' = \left\{ \begin{matrix}- f'(3 - x)\ \ khi\ x \leq 3 \\f'(x - 3)\ \ khi\ x > 3 \\\end{matrix} ight.$
Với $x < 3 \Rightarrow y' = -f'(3 - x) > 0$
$\Leftrightarrow f'(3 - x) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x < - 1 \\1 < 3 - x < 4 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 4 \\- 1 < x < 2 \\\end{matrix} ight.$
Kết hợp với điều kiện $x < 3$ ta có: $- 1 < x < 2$
Với $x > 3 \Rightarrow y' =f'(x - 3) > 0$
$\Leftrightarrow f'(3 - x) > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}3 - x > 4 \\- 1 < 3 - x < 1 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\2 < x < 4 \\\end{matrix} ight.$
Kết hợp với điều kiện $x > 3$ ta có: $\left\lbrack \begin{matrix}x > 7 \\3 < x < 4 \\\end{matrix} ight.$
Vậy hàm số $y = f\left( |3 - x|ight)$ đồng biến trên mỗi khoảng $(- 1;2),(3;4),(7; + \infty)$
Câu 14: Nhận biết
Tìm hàm số tương ứng với đồ thị
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?
- A.
  $y = - x^{4} + x^{2} - 3$
- B.
  $y = - x^{4} - 2x^{2} - 3$
- C.
  $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$
- D.
  $y = x^{4} + 2x^{2} - 3$
Hướng dẫn:
Từ hình vẽ suy ra đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương có hệ số $a > 0$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1; - 4)$ nên hàm số cần tìm là $y = x^{4} - 2x^{2} - 3$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm tất cả các giá trị nguyên của m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^{4} - 3x^{2} + m = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Đặt $t = x^{2};(t \geq 0)$ . Ta được phương trình $3t^{2} - 3t + m = 0(*)$

Phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 4m > 0 \\ 3 > 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}$

Do $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 1;2 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 16: Nhận biết
Tìm số nghiệm của phương trình
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như sau:

Hỏi số nghiệm của phương trình $2f(x) - 1 = 0$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $4$
- B.
  $2$
- C.
  $3$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có: $2f(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{1}{2}$

Lại có đường thẳng $y = \frac{1}{2}$ nằm phía trên gốc tọa độ; song song với trục Ox và cắt đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại 4 điểm nên phương trình $2f(x) - 1 = 0$ có hai nghiệm.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 ight\}$ và có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt là:
- A.
  $1$
- B.
  $3$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Phương trình $m - f(x) = 0$ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $(C):y = f(x)$ và đường thẳng $(d):y = m$

Để phương trình $m - f(x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $(C);(d)$ có ba giao điểm $\Leftrightarrow 1 < m < 4$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 2;3 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 18: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
- A.
  $y = \frac{x + 3}{x -2}$
- B.
  $y = \frac{x - 3}{x +1}$
- C.
  $y = x^{3} - 3x$
- D.
  $y = x^{4} - 4x^{2} +2$
Hướng dẫn:
Đồ thị trong hình vẽ là hàm số có dạng $y= \frac{ax + b}{cx + d}$
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là $y =1$ và tiệm cận đứng $x = 2$ nên hàm số cần tìm là $y = \frac{x + 3}{x -2}$ .
Câu 19: Nhận biết
Xác định hàm số thích hợp
Cho hình vẽ:

Đường trong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
- A.
  $y = x^{3} - 3x + 1$
- B.
  $y = - x^{4} + 3x^{2} + 1$
- C.
  $y = x^{4} - x^{2} + 1$
- D.
  $y = - x^{3} + 5x + 2$
Hướng dẫn:
Dựa vào hình dạng đồ thị ta thấy đây là hàm số bậc ba dạng $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ với $a > 0$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x^{3} - 3x + 1$ .
Câu 20: Vận dụng
Xác định các giá trị tham số m
Cho đồ thị hàm số $\left( C_{m} ight):y = x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m$ . Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left( C_{m} ight)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách hoành độ $x_{1};x_{2};x_{3}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4$ ?
- A.
  $m > - \frac{1}{4};m eq 0$
- B.
  $m = 1$
- C.
  $m \in (0;2)$
- D.
  $m eq 0$
Hướng dẫn:
Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có ba nghiệm phân biệt:

$x^{3} - 2x^{2} + (1 - m)x + m = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - x - m ight) = 0$

Ta đặt $x_{1} = 1$ . Khi đó để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$x^{2} - x + m = 0$

Do có nghiệm khác 1 nên $1 - 1 - m eq 0$ hay $m eq 0$

Ta có: $\Delta = 1 + 4m$

Để có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta > 0$ hay $m > - \frac{1}{4}$

Theo bài ra ta có:

${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + {x_{3}}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow 1 + \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 4 \Leftrightarrow \left( x_{2} + x_{3} ight)^{2} - 2x_{2}x_{3} = 3$ với $x_{2};x_{3}$ là nghiệm của phương trình bậc hai trên.

Áp dụng hệ thức Vi – et ra có:

$1^{2} - 2.( - m) = 3 \Leftrightarrow m = 1$

Kết hợp các điều kiện ta có: $m = 1$ .

Vậy đáp án đúng là $m = 1$ .