Luyện tập Tích phân Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tìm tích phân
Cho hàm số $y = f(x)$ dương và liên tục trên $\lbrack 1;3brack$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;3brack}f(x) = 2;\min_{\lbrack 1;3brack}f(x) = \frac{1}{2}$ và biểu thức $S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx}$ đạt giá trị lớn nhất, khi đó $\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{7}{2}$
- B.
  $\frac{3}{5}$
- C.
  $\frac{7}{5}$
- D.
  $\frac{5}{2}$
Hướng dẫn:
Do $\frac{1}{2} \leq f(x) \leq 2 \Rightarrow f(x) + \frac{1}{f(x)} \leq \frac{5}{2}$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\left\lbrack f(x) + \frac{1}{f(x)} ightbrack dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{f(x)dx} + \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5$

$\Rightarrow \int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5 - \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$\Rightarrow S = \int_{1}^{3}{f(x)dx}.\int_{1}^{3}{\frac{1}{f(x)}dx} \leq 5\int_{1}^{3}{f(x)dx} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx} ightbrack^{2}$

$\leq \frac{25}{4} - \left\lbrack \int_{1}^{3}{f(x)dx - \frac{5}{2}} ightbrack^{2} \leq \frac{25}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\int_{1}^{3}{f(x)dx} = \frac{5}{2}$ .
Câu 2: Thông hiểu
Tính tích phân I
Cho $f(x);g(x)$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\int_{0}^{1}{f(x)dx} = 3;\int_{0}^{2}{\left\lbrack f(x) - 3g(x) ightbrack dx} = 4$ và $\int_{0}^{2}{\left\lbrack 2f(x) + g(x) ightbrack dx} = 8$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{2}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 3$ .
- B.
  $I = 1$ .
- C.
  $I = 2$ .
- D.
  $I = 0$ .
Hướng dẫn:
Đặt $\left\{ \begin{matrix} \int_{0}^{2}{f(x)dx} = a \\ \int_{0}^{2}{g(x)dx} = b \\ \end{matrix} ight.$ . Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{matrix} a - 3b = 4 \\ 2a + b = 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có:

$\int_{0}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{2}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = \int_{0}^{2}{f(x)dx} - \int_{0}^{1}{f(x)dx}$

$\Rightarrow \int_{1}^{2}{f(x)dx} = 4 - 3 = 1$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm giá trị tích phân
Cho $\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2$ . Hãy tính $\int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx}$ ?
- A.
  $1$
- B.
  $2$
- C.
  $- 3$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \sqrt{x} \Rightarrow dt = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx \Rightarrow 2dt = \frac{1}{\sqrt{x}}dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = 4 \Rightarrow t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ ta có:

$2\int_{1}^{2}{f(t)dt} = 2\int_{1}^{2}{f(x)dx} = 2.2 = 4$

Vậy $\int_{1}^{4}{\frac{f\left( \sqrt{x} ight)}{\sqrt{x}}dx} = 4$
Câu 4: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 12t + 24(m/s)$ trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
- A.
  $18m$
- B.
  $15m$
- C.
  $24m$
- D.
  $20m$
Hướng dẫn:
Khi dừng hẳn $v(t) = - 12t + 24 = 0 \Rightarrow t = 2(s)$

Do đó từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô đi được:

$S = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{( - 12t + 24)dt} = 24m$
Câu 5: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Biết $\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = a\sqrt{e} + b$ với $a;b\mathbb{\in Z}$ . Xác định giá trị biểu thức $P = ab$ ?
- A.
  $P = 4$
- B.
  $P = - 4$
- C.
  $P = - 8$
- D.
  $P = 8$
Hướng dẫn:
Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln x \\dv = \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{dx}{x} \\v = 2\sqrt{x} \\\end{matrix} ight.$ khi đó ta có:

$\int_{1}^{e}{\frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx} = \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - 2\int_{1}^{e}\frac{dx}{x}$

$= \left. \ \left( 2\sqrt{x}\ln x ight) ight|_{e}^{1} - \left. \ \left( 4\sqrt{x} ight) ight|_{e}^{1} = - 2\sqrt{e} + 4$

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a = - 2 \\ b = 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow P = a.b = - 8$ .
Câu 6: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Cho tích phân $\int_{0}^{4}\frac{dx}{3 +\sqrt{2x + 1}} = a + b.\ln\frac{2}{3}$ với $a;b\mathbb{\in Z}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $a + b = 3$
- B.
  $a - b = 3$
- C.
  $a - b = 5$
- D.
  $a + b = 5$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{0}^{4}\frac{dx}{3 + \sqrt{2x + 1}} = \int_{0}^{4}{\left( 1 - \frac{3}{3 + \sqrt{2x + 1}} ight)d\left( \sqrt{2x + 1} ight)}$

$= \left. \ \left\lbrack \sqrt{2x + 1} -3\ln\left( \sqrt{2x + 1} + 3 ight) ightbrack ight|_{0}^{4} = 2 +3\ln\frac{2}{3}$

Suy ra $a = 2;b = 3 \Rightarrow a + b = 5$ .
Câu 7: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số $f(x)$ biết $f(0) = 1$ , $f'(x)$ liên tục trên $\lbrack 0;3brack$ và $\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9$ . Tính $f(3)$ ?
- A.
  $f(3) = 9$
- B.
  $f(3) = 10$
- C.
  $f(3) = 7$
- D.
  $f(3) = 8$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{0}^{3}{f'(x)dx} = 9 \Leftrightarrow \left. \ f(x) ight|_{0}^{3} = 9 \Rightarrow f(3) - f(0) = 9$

$\Rightarrow f(3) = 9 + f(0) = 9 + 1 = 10$
Câu 8: Nhận biết
Tính tích phân I
Giá trị tích phân $I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx}$ bằng:
- A.
  $\frac{31}{160}$
- B.
  $- \frac{31}{125}$
- C.
  $\frac{24}{125}$
- D.
  $\frac{31}{125}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$I = \int_{1}^{2}{\frac{1}{x^{6}}dx} = \int_{1}^{2}{x^{- 6}dx} = \left. \ \frac{x^{- 5}}{- 5} ight|_{1}^{2} = \frac{31}{125}$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Biết rằng $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx} = \frac{1}{a} + \frac{\pi}{b}$ với $a;b$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a.b$ là:
- A.
  $2$
- B.
  $4$
- C.
  $32$
- D.
  $12$
Hướng dẫn:
Ta có: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{(x +1)\cos2xdx}$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = x + 1 \\dv = \cos2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = dx \\v = \dfrac{1}{2}\sin2x \\\end{matrix} ight.$

$\Rightarrow I = \left. \ \frac{1}{2}(x +1)\sin2x ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} -\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sin2xdx}$

$\Rightarrow I = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} + 1 ight) + \left. \ \frac{1}{4}\cos2xight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}$

$\Rightarrow a.b = 8.4 = 32$
Câu 10: Nhận biết
Tính tích phân
Giá trị của $D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx}$ bằng
- A.
  $1$
- B.
  $2^{2017} - 1$
- C.
  $2^{2017} + 1$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$D = \int_{0}^{1}{\left( 2019x^{2018} - 1 ight)dx} = \left. \ \left( x^{2019} - x ight) ight|_{0}^{1} = 0$
Câu 11: Nhận biết
Tìm khẳng định sai
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $K$ và $a;b \in K$ , $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
- A.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(a) - F(b)$
- B.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \left. \ F(x) ight|_{a}^{b}$
- C.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(t)dt}$
- D.
  $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \left. \ \left( \int_{}^{}{f(x)dx} ight) ight|_{a}^{b}$
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa tích phân ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a)$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn kết luận đúng
Tích phân $\int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx} = a\ln3 + b\ln2 +\frac{c}{3}$ với $a;b;c\mathbb{\in Z}$ . Kết luận nào dưới đây đúng?
- A.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$
- B.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$
- C.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 11$
- D.
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 9$
Hướng dẫn:
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{\frac{\ln x}{x\left( \ln x + 2 ight)^{2}}dx}$ . Đặt $t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{dx}{x}$

Đổi cận tích phân $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 2 \\ x = e \Rightarrow t = 3 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $I = \int_{2}^{3}{\frac{t -2}{t^{2}}dt} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{t} - \frac{2}{t^{2}}ight)dt} = \left. \ \left( \ln t + \frac{2}{t} ight) ight|_{2}^{3}= \ln3 - \ln2 - \frac{1}{3}$

Suy ra $a = 1;b = - 1;c = - 1$ . Vậy $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$ .
Câu 13: Thông hiểu
Tính điện lượng chạy qua tiết diện thẳng
Dòng diện xoay chiều hình sin chạy qua mạch điện dao động $LC$ lí tưởng có phương trình $i = I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight)$ . Ngoài ra $i = q'(t)$ với $q$ là điện tích tức thời trong tụ. Tính từ lúc $t = 0$ , điện lượng chạy qua tiết diện thẳng của dây dẫn của mạch trong thời gian $\frac{\pi}{2\omega}$ là
- A.
  $\frac{I_{0}\pi}{\omega\sqrt{2}}$
- B.
  $\frac{I_{0}}{\omega}$
- C.
  $\frac{I_{0}\pi\sqrt{2}}{\omega}$
- D.
  $0$
Hướng dẫn:
Điện lượng cần tìm là:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\sin\left( \omega t + \frac{\pi}{2} ight) ightbrack dt} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}}{\left\lbrack I_{0}\cos(\omega t) ightbrack dt}$

$= \left. \ \left\lbrack I_{0}\sin(\omega t) ightbrack ight|_{0}^{\frac{\pi}{2\omega}} = \frac{I_{0}}{\omega}$
Câu 14: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Cho $\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = aln2 + bln3 + cln5$ với $a;b;c$ là các số thực. Giá trị của biểu thức $T = a + b^{2} - c^{3}$ bằng:
- A.
  $T = 3$
- B.
  $T = 6$
- C.
  $T = 4$
- D.
  $T = 5$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\int_{2}^{3}{\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}dx} = \int_{2}^{3}{\left( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} ight)dx}$

$= \left. \ \ln\left| \frac{x + 1}{x + 2} ight| ight|_{2}^{3} = \ln\frac{4}{5} - \ln\frac{3}{4} = 4ln2 - ln3 - ln5$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 4 \\ b = - 1 \\ c = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = a + b^{2} - c^{3} = 6$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính tích phân
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ ta có: $f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x -f(x)\sin x$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx}$ ?
- A.
  $I = 1$
- B.
  $I = \sqrt{2} - 1$
- C.
  $I = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
- D.
  $I = 2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$f'(x).f(x) - \sin2x = f'(x)\cos x- f(x)\sin x$

$\Leftrightarrow f'(x).f(x) - \sin2x =\left\lbrack f(x)\cos x ightbrack'$

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\int_{}^{}\left\lbrack f'(x).f(x) -\sin2x ightbrack dx = \int_{}^{}{\left\lbrack f(x)\cos xightbrack'}dx$

$\Leftrightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x + C$

Theo bài ra ta có: $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1 \Rightarrow C = 0$

$\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{2} +\frac{1}{2}\cos2x = f(x)\cos x$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) + \cos2x =2f(x)\cos x$

$\Leftrightarrow f^{2}(x) - 2f(x)\cos x +\cos^{2}x = \sin^{2}x$

$\Leftrightarrow \left\lbrack f(x) - \cos x ightbrack^{2} = \sin^{2}x \Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}f(x) - \cos x = \sin x \\f(x) - \cos x = - \sin x \\\end{matrix} ight.$

Vì $f\left( \frac{\pi}{2} ight) = - 1$ nên nhận $f(x) = \cos x - \sin x$

Vậy $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(x)dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\left\lbrack \cos x - \sin x ightbrack dx} = \left. \ \left( \cos x - \sin x ight) ight|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2} - 1$
Câu 16: Thông hiểu
Tính thời điểm chất điểm ở xa nhất
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t(s)$ là $a(t) = 2t - 7\left( m/s^{2} ight)$ . Biết vận tốc đầu bằng $10(m/s)$ . Hỏi trong $6$ giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
- A.
  $5s$
- B.
  $6s$
- C.
  $1s$
- D.
  $2s$
Hướng dẫn:
Ta có:

Vận tốc của vật được tính theo công thức: $v(t) = 10 + t^{2} - 7t(m/s)$

Suy ra quãng đường vật đi được tính theo công thức: $S(t) = \int_{}^{}{v(t)dt} = \frac{t^{3}}{3} - \frac{7}{2}t^{2} + 10t$

Ta có: $S'(t) = t^{2} - 7t + 10 \Rightarrow S'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = 5 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}S(0) = 0 \\S(2) = \dfrac{26}{3} \\S(5) = \dfrac{25}{6} \\S(6) = 6 \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \underset{\lbrack 0;6brack}{\max S(t) = S(2)} = \dfrac{26}{3}$

Vậy thời điểm chất điểm ở xa nhất về phía bên phải là 2s.
Câu 17: Nhận biết
Tìm m thỏa mãn yêu cầu
Đặt $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx}$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của tham số $m$ để $I = 4$ ?
- A.
  $m = 2$
- B.
  $m = - 2$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = - 1$
Hướng dẫn:
Ta có: $I = \int_{1}^{2}{(2mx + 1)dx} = \left. \ \left( mx^{2} + x ight) ight|_{1}^{2} = 3m + 1$

Do $I = 4 \Leftrightarrow 3m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 1$ .
Câu 18: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0$ và $f(3) = 1$ . Biết $\int_{0}^{3}{f(x)}dx =\frac{a + b\ln2}{2}$ với $a;b \in \mathbb{R}^{+}$ . Giá trị của biểu thức $a + b$ là:
- A.
  $7$
- B.
  $35$
- C.
  $11$
- D.
  $29$
Hướng dẫn:
Tính $I = \int_{0}^{3}{2x\ln(x + 1)}dx$

Đặt $\left\{ \begin{matrix}u = \ln(x + 1) \\dv = 2xdx \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}du = \dfrac{1}{x + 1}dx \\v = x^{2} \\\end{matrix} ight.$ khi đó:

$I = \left. \ x^{2}\ln(x + 1) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{x + 1}dx}$

$= 9ln4 - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - x + \ln|x + 1| ight) ight|_{0}^{3} = 16ln2 - \frac{3}{2}$

Tính $J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx$ .

Đặt $\left\{ \begin{matrix} u_{J} = x \\ dv_{J} = f'(x)dx \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} du_{J} = dx \\ v_{J} = f(x) \\ \end{matrix} ight.$ khi đó

$J = \int_{0}^{3}{xf'(x)}dx = \left. \ xf(x) ight|_{0}^{3} - \int_{0}^{3}{f(x)}dx$

Mà $\int_{0}^{3}\left\lbrack 2x\ln(x + 1) + xf'(x) ightbrack dx = 0$

$\Rightarrow I + J = 0 \Rightarrow 16\ln2- \frac{3}{2} + 3 - \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 0$

$\Rightarrow \int_{0}^{3}{f(x)}dx = 16\ln2+ \frac{3}{2} = \frac{3 + 32\ln2}{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 32 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a + b = 35$
Câu 19: Nhận biết
Tính giá trị tích phân
Giả sử $\int_{0}^{9}{f(x)dx} = 37$ và $\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16$ . Khi đó $I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx}$ bằng
- A.
  $143$
- B.
  $122$
- C.
  $26$
- D.
  $58$
Hướng dẫn:
Ta có: $\int_{9}^{0}{g(x)dx} = 16 \Rightarrow \int_{0}^{9}{g(x)dx} = - 16$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{9}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) ightbrack dx} = \int_{0}^{9}{2f(x)dx} + \int_{0}^{9}{3g(x)dx}$

$= 2.37 + 3.( - 16) = 26$
Câu 20: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}$ . Biết rằng giá trị lớn nhất của $F(x)$ trên khoảng $(0;\pi)$ là $\sqrt{3}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
- A.
  $F\left( \frac{5\pi}{6} ight) = 3 - \sqrt{3}$
- B.
  $F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4$
- C.
  $F\left( \frac{2\pi}{3} ight) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
- D.
  $F\left( \frac{\pi}{3} ight) = - \sqrt{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{f(x)dx} =\int_{}^{}{\frac{2\cos x}{\sin^{2}x}dx} -\int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}$

$= \int_{}^{}{\frac{2}{\sin^{2}x}d\left(\sin x ight)} - \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}x}dx}$

$= - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C$

Suy ra $F'(x) = f(x) = \frac{2\cos x -1}{\sin^{2}x}$

Trên khoảng $(0;\pi)$ ta có:

$F'(x) = 0 \Leftrightarrow 2\cos x - 1= 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$

Ta có bảng biến thiên

Giá trị lớn nhất của $F(x)$ trên khoảng $(0;\pi)$ là $\sqrt{3}$ nên t s có:

$F\left( \frac{\pi}{3} ight) = \sqrt{3} \Leftrightarrow - \frac{3\sqrt{3}}{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2\sqrt{3}$

Vậy $F(x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2\sqrt{3} \Rightarrow F\left( \frac{\pi}{6} ight) = 3\sqrt{3} - 4$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (45%):

2/3
Vận dụng (10%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

5 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 12 CD