Luyện tập Phương trình mặt phẳng Cánh Diều

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Điểm $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ thỏa mãn $MA = MB = MC$ . Tính $T = a + 2b + 3c$ ?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $5$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Ta có $M(a; b; c) ∈ (P) ⇔ a + b + c − 2 = 0 (1)$

$MA^2 = (a − 2)^2 + (b − 0)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b^ 2 + c^ 2 − 4a − 2c + 5$

$MB^2 = (a − 1)^2 + b^ 2 + c ^2 = a^ 2 + b^ 2 + c^ 2 − 2a + 1$

$MC^2 = (a − 1)^2 + (b − 1)^2 + (c − 1)^2 = a ^2 + b ^2 + c ^2 − 2a − 2b − 2c + 3$

Với $MA = MB$ , ta có $a + c − 2 = 0 (2)$

Với $MA = MC$ , ta có $a − b − 1 = 0 (3)$

Từ (1); (2); (3) ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} a + b + c = 2 \\ a + c = 2 \\ a - b = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 4$
Câu 2: Vận dụng cao
Tìm giá trị biểu thức
Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A(1;1;0),B( - 2;0;1),C(0;0;2)$ và mặt phẳng $(P):x + 2y + z + 4 = 0$ . Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $Q = a + b + 6c$ .
- A.
  $Q = - 2$
- B.
  $Q = 0$
- C.
  $Q = 2$
- D.
  $Q = 1$
Hướng dẫn:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: $G\left( - \frac{1}{3};\frac{1}{3};1 ight)$

Lại có

$S = \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$

$= 3MG^{2} + 2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} ight) + \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$

$= 3MG^{2} + \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$

Vì $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}$ là một hằng số nên S nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu của G lên (P).

Từ đó ta tìm được $M\left( - \frac{11}{9}; - \frac{13}{9};\frac{1}{9} ight)$ và $Q = a + b + 6c = - 2$
Câu 3: Thông hiểu
Tìm độ dài đường cao tứ diện
Cho tứ diện $ABCD$ có $A(0;1; - 1),B(1;1;2),C(1; - 1;0),D(0;0;1)$ . Tính độ dài đường cao $AH$ của tứ diện $ABCD$ ?
- A.
  $3\sqrt{2}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $2\sqrt{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\overrightarrow{BA} = ( - 1;0; - 3),\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 2),\overrightarrow{BD} = ( - 1; - 1; - 1)$

$\left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack = (0; - 2; - 2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} ightbrack.\overrightarrow{BA} = 6$

$V_{ABCD} = \frac{1}{3}AH.S_{BCD} \Rightarrow AH = \frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn kết quả chính xác
Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c$ là những số thực dương sao cho $a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49$ . Tính $T = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất
- A.
  $F = \frac{51}{4}$
- B.
  $F = \frac{51}{5}$
- C.
  $F = \frac{49}{5}$
- D.
  $F = \frac{49}{4}$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

$d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack =\dfrac{1}{\sqrt{\left( \dfrac{1}{a^{2}} + \dfrac{1}{b^{2}} +\dfrac{1}{c^{2}} ight)}} = d$

Xét $\overrightarrow{u} = (a;2b;4c),\overrightarrow{v} = \left( \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} ight)$ ta có:

$\left( \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} ight)^{2} \leq {\overrightarrow{u}}^{2}.{\overrightarrow{v}}^{2}$

$\Rightarrow \left( a.\frac{1}{a} + 2b.\frac{1}{b} + 4c.\frac{1}{c} ight)^{2} \leq \left( a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} ight).\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow 49 \leq 49.\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} ight)$

$\Rightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \geq 1 \Rightarrow d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack \leq 1$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix}\dfrac{a}{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{2b}{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4c}{\dfrac{1}{c}}\\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a^{2} = 2b^{2} = 4c^{2} \\a^{2} + 4b^{2} + 16c^{2} = 49 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow 28c^{2} = 49 \Leftrightarrow c^{2} = \frac{7}{4} \Rightarrow F = 7c^{2} = \frac{49}{4}$

⇒ $\max d\left\lbrack O;(ABC) ightbrack = 1$ , khi đó $F = \frac{49}{4}$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm tỉ số đoạn thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai điểm $A(2;2; - 2),B(3; - 1;0)$ . Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(P):x + y - z + 2 = 0$ tại điểm $I$ . Tỉ số $\frac{IA}{IB}$ bằng
- A.
  $4$
- B.
  $3$
- C.
  $6$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có: $\frac{IA}{IB} = \frac{d\left( A;(P) ight)}{d\left( B;(P) ight)} = \frac{8}{\sqrt{3}}:\frac{4}{\sqrt{3}} = 2$
Câu 6: Nhận biết
Viết phương trình mặt phẳng trung trực
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho $M(1; - 1;2),N(3;1; - 4)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của $MN$ .
- A.
  $x + y + 3z + 5 = 0$
- B.
  $x + y + 3z + 1 = 0$
- C.
  $x + y - 3z - 5 = 0$
- D.
  $x + y - 3z + 5 = 0$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng trung trực $MN$ nhận $\frac{1}{2}\overrightarrow{MN} = (1;1; - 3)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua trung điểm $I(2;0; - 1)$ của $MN$ nên ta có phương trình mặt phẳng $MN$ là: $x + y - 3z - 5 = 0$ .
Câu 7: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trong không gian $Oxyz$ cho $A(2;0;0),B(0; - 2;0),C(0;0; - 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
- B.
  $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
- C.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 0$
- D.
  $\frac{x}{- 2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{- 1} = 1$
Câu 8: Nhận biết
Xác định điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ . Điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ ?
- A.
  $Q(1;0;1)$
- B.
  $M(2;0;1)$
- C.
  $N(2;1;1)$
- D.
  $P(2; - 1;1)$
Hướng dẫn:
Ta thấy tọa độ điểm $Q(1;0;1)$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ nên điểm $Q$ nằm trên $(\alpha)$ .
Câu 9: Vận dụng
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;1)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho độ dài $OA,OB,OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng $2$ . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ .
- A.
  $\frac{\sqrt{21}}{21}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{21}}{7}$
- C.
  $9\sqrt{21}$
- D.
  $\frac{4}{\sqrt{21}}$
Hướng dẫn:
Giả sử $A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ .

Phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Ta có $(α)$ đi qua điểm $M(1; 2; 1)$ nên ta có $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (∗)

Vì $OA, OB, OC$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội bằng 2 nên $c = 2b = 4a$ .

Thay vào (∗), ta được $\frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{4a} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{9}{4}$

Suy ra phương trình mặt phẳng (α) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{4} = \frac{9}{4}$ hay $4x + 2y + z - 9 = 0$

$\Rightarrow d\left( O;(\alpha) ight) = \frac{| - 9|}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$ .
Câu 10: Nhận biết
Chọn đáp án chưa chính xác
Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (2;4;6)$ . Phương trình nào sau đây không phải là của đường thẳng $\Delta$ ?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 4t \\ z = 3 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 + 2t \\ z = 6 + 3t \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} x = - 5 - 2t \\ y = - 10 - 4t \\ z = - 15 - 6t \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Thay tọa độ điểm M(1; 2; 3) vào các phương trình, dễ thấy M không thỏa mãn phương trình $\left\{ \begin{matrix} x = 3 + 2t \\ y = 6 + 4t \\ z = 12 + 6t \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 11: Thông hiểu
Tìm giá trị tham số D
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $M(4;9;8),N(1; - 3;4),P(2;5; - 1)$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua ba điểm $M,N,P$ có phương trình tổng quát $Ax + By + Cz + D = 0$ . Biết $A = 92$ , tìm giá trị của $D$ ?
- A.
  $D = 36$
- B.
  $D = - 63$
- C.
  $D = 101$
- D.
  $D = - 101$
Hướng dẫn:
Do $A = 92$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình $92x + By + Cz + D = 0$

Do $(P)$ đi qua các điểm $A;B;C$ nên ta có hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 92.4 + B.9 + C.8 + D = 0 \\ 92.1 + B.( - 3) + C.4 + D = 0 \\ 92.2 + B.5 + C.( - 1) + D = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} B = - 19 \\ C = - 12 \\ D = - 101 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $D = - 101$ .
Câu 12: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho $H(1;1; - 3)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $H$ cắt các trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ (khác $O$ ) sao cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ là:
- A.
  $x + y - 3z + 11 = 0$
- B.
  $x + y + 3z - 7 = 0$
- C.
  $x + y + 3z + 7 = 0$
- D.
  $x + y - 3z - 11 = 0$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(P)$ cắt trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A;B;C$ suy ra $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $OH\bot(ABC)$

Phương trình mặt phẳng $x + y - 3z - 11 = 0$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định điểm thuộc mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa đô $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;4)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ sao cho thể tích tứ diện $O.ABC$ nhỏ nhất. $(P)$ đi qua điểm nào dưới đây?
- A.
  $(2;2;0)$
- B.
  $( - 1;1;4)$
- C.
  $(1;1;2)$
- D.
  $(0;1;3)$
Hướng dẫn:
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c > 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABC):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M \in (P) \Rightarrow (P):\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{4}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1.2.4}{abc}} \Rightarrow abc \geq 8.27$

Thể tích tứ diện $O.ABC$ là $V = \frac{1}{6}abc \geq 36$

Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{4}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 12 \\ \end{matrix} ight.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{12} = 1 \Rightarrow 4x + 2y + z - 12 = 0$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $(2;2;0)$ .
Câu 14: Thông hiểu
Lập phương trình mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông và $SA$ vuông góc với đáy. Biết $B(2;3;7),D(4;1;3)$ , lập phương trình mặt phẳng $(SAC)$ .
- A.
  $x + y - 2z + 9 = 0$
- B.
  $x - y - 2z + 9 = 0$
- C.
  $x - y - 2z - 9 = 0$
- D.
  $x - y + 2z + 9 = 0$
Hướng dẫn:
Dễ dàng chứng minh được $(SAC)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$ .

Chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là $\overrightarrow{BD} = (2; - 2; - 4)$ .

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua trung điểm $I(3;2;5)$ của $BD$ và có vtcp $\overrightarrow{BD}$ nên có phương trình: $x - y - 2z + 9 = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2; - 1; - 3)$ và mặt phẳng $(P):3x - 2y + 4z - 5 = 0$ . Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:
- A.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 4 = 0$
- B.
  $(Q):3x - 2y + 4z + 5 = 0$
- C.
  $(Q):3x + 2y + 4z + 8 = 0$
- D.
  $(Q):3x - 2y + 4z - 4 = 0$
Hướng dẫn:
Do mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (3; - 2;4)$

Phương trình mặt phẳng (Q) là:

$3(x - 2) - 2(y - 1) + 4(z - 3) = 0$

$\Leftrightarrow 3x - 2y + 4z + 4 = 0$
Câu 16: Nhận biết
Tìm mặt phẳng (P)
Trong không gian $Oxyz$ , hãy viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và vuông góc với đường thẳng $OM$ .
- A.
  $(P):x - y - 1 = 0$
- B.
  $(P):y - 1 = 0$
- C.
  $(P):y + 1 = 0$
- D.
  $(P):x + y + 1 = 0$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M(0; - 1;0)$ và có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM} = (0; - 1;0)$ nên có phương là:

$0(y - 0) + ( - 1)(y + 1) + 0(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y + 1 = 0$ .
Câu 17: Vận dụng
Chọn kết luận đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(0;1;1),B(1;0;1),C(1;1;0)$ . Có bao nhiêu điểm $M$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$ ?
- A.
  $55$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  Vô số
Hướng dẫn:
Ta có $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{OA} = (0;1;1);\overrightarrow{OB} = (1;0;1) \\ \overrightarrow{OC} = (1;1;0);\overrightarrow{AB} = (1; - 1;0) \\ \overrightarrow{AC} = (1;\ 0; - 1) \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ightbrack = (1;\ 1; - 1) \Rightarrow (OAB):x + y - z = 0$

Ta có: $\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{OC} ightbrack = ( - 1;1;1) \Rightarrow (OBC): - x + y + z = 0$

Gọi điểm $M(a;b;c)$ cách đều các mặt phẳng $(ABC),(OBC),(OAC),(OAB)$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OBC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = c(1) \\ b = c(2) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(OAC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{| - a + b - c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0(3) \\ b = c(4) \\ \end{matrix} ight.$

Từ $d\left( M,(OAB) ight) = d\left( M,(ABC) ight)$

$\Leftrightarrow \frac{|a + b - c|}{\sqrt{3}} = \frac{|a + b + c|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} c = 0(5) \\ a = - b(6) \\ \end{matrix} ight.$

Từ (1), (3), (5) suy ra $a = c = 0$ , b khác 0 tùy ý.

Như vậy có vô số điểm cách đều bốn mặt phẳng
Câu 18: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):x + 2y + 4z - 1 = 0;$ $(\beta):2x + 3y - 2z+ 5 = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
- A.
  $(\alpha) \equiv (\beta)$
- B.
  $(\alpha)\bot(\beta)$
- C.
  $(\alpha)//(\beta)$
- D.
  $(\alpha);(\beta)$ chéo nhau
Hướng dẫn:
Hai mặt phẳng $(\alpha);(\beta)$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_{(\alpha)}} = (1;2;4),\overrightarrow{n_{(\beta)}} = (2;3; - 2)$

Ta có $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}.\overrightarrow{n_{(\beta)}} = 1.2 + 2.3 + 4.( - 2) = 0$

⇒ $(\alpha)\bot(\beta)$ .
Câu 19: Nhận biết
Xác định điều kiện tham số m
Trong không gian $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):2x + 4y + 3z - 5 = 0$ và $(Q):mx - ny - 6z + 2\ = \ 0$ . Giá trị của $m, n$ sao cho $(P)//(Q)$ là
- A.
  $m = n = - 4$
- B.
  $m = n = 4$
- C.
  $m = 4;n = - 8$
- D.
  $m = - 4;n = 8$
Hướng dẫn:
Ta có: $(P)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(P)}} = (2;4;3)$ , (Q) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{(Q)}} = (m; - n; - 6)$

Để hai mặt phẳng song song thì $\overrightarrow{u_{(P)}} = k\overrightarrow{u_{(Q)}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 2k \\ - n = 4k \\ - 6 = 3k \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k = - 2 \\ m = - 4 \\ n = 8 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy đáp án cần tìm là: $m = - 4;n = 8$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2; −1; 3), B(4; 0; 1), C(−10; 5; 3)$ . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ ?
- A.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$
- B.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;8;2)$
- C.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;0)$
- D.
  $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1; - 2;2)$
Hướng dẫn:
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (2;1; - 2) \\ \overrightarrow{AC} = ( - 12;6;0) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} ightbrack = (12;24;24) = 12(1;2;2)$

Vậy $\overrightarrow{n_{(ABC)}} = (1;2;2)$ là đáp án cần tìm.

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (35%):

2/3
Thông hiểu (40%):

2/3
Vận dụng (15%):

2/3
Vận dụng cao (10%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0

Làm lại

10 lượt xem

Sắp xếp theo

Xóa Gửi bình luận

Toán 12 CD