Luyện tập Ứng dụng hình học của tích phân

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^{3}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$ biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là $2cm$ ?
- A.
  $S = \frac{15}{4}\left( cm^{2} ight)$
- B.
  $S = 17\left( cm^{2} ight)$
- C.
  $S = \frac{17}{4}\left( cm^{2} ight)$
- D.
  $S = 15\left( cm^{2} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có: $S = \int_{- 1}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \int_{- 1}^{0}{\left| x^{3} ight|dx} + \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx}$

$= - \int_{- 1}^{0}{x^{3}dx} + \int_{0}^{2}{x^{3}dx} = \left. \ - \frac{x^{4}}{4} ight|_{- 1}^{0}\left. \ + \frac{x^{4}}{4} ight|_{0}^{2} = \frac{17}{4}$

Do mỗi đơn vị trên trục là 2 cm nên $S = \frac{17}{4}.2^{2} = 17\left( cm^{2} ight)$
Câu 2: Vận dụng cao
Tính kinh phí làm biển quảng cáo
Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh $A_{1};A_{2};B_{1};B_{2}$ như hình vẽ:
Người ta chia elip bởi Parabol có đỉnh $B_{1}$ , trục đối xứng $B_{1}B_{2}$ và đi qua các điểm $M;N$ . Sau đó sơn phần tô đậm với giá 200 nghìn đồng/m² và trang trí đèn led phần còn lại với giá 500 nghìn đồng/m². Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất với giá trị nào dưới đây? Biết rằng $A_{1}A_{2} =4m;B_{1}B_{2} = MN = 2m$
- A.
  $2.760.000$ đồng
- B.
  $2.431.000$ đồng
- C.
  $2.057.000$ đồng
- D.
  $1.664.000$ đồng
Hướng dẫn:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của A₁A₂. Tọa độ các đỉnh A₁(−2; 0), A₂(2; 0), B₁(0; −1), B₂(0; 1)
Phương trình đường Elip $(E):\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1\Leftrightarrow y = \pm \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$
Ta có: $M\left( - 1;\frac{\sqrt{3}}{2}ight),N\left( 1;\frac{\sqrt{3}}{2} ight) \in (E)$
Parabol (P) có đỉnh B1(0; −1) và trục đối xứng là Ox nên (P) có phương trình $y = ax^{2} - 1$ , (a > 0), đi qua M; N
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1\Rightarrow (P):y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2} -1$
Diện tích phần tô đậm
$S_{1} = 2\int_{0}^{1}{\left\lbrack\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight)x^{2}+ 1 ightbrack dx}$
$= \int_{0}^{1}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
Đặt $x = 2\sin t;t \in \left\lbrack -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ightbrack \Rightarrow dx =2\cos tdt$
Đổi cận $\left\{ \begin{matrix}x = 0 \Rightarrow t = 0 \\x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{6} \\\end{matrix} ight.$
$\Rightarrow S_{1} =\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\sqrt{4 - 4\sin^{2}t}.2\cos tdt} -\frac{2}{3}\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 ight) + 2$
$= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{\cos^{2}tdt}- \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}{(1 +\cos2t)dt} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3}$
$= \left. \ (2t + \sin2t)ight|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{4}{3} =\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{4}{3}$
Diện tích hình Elip là $S = πab = 2π$
Suy ra diện tích phần còn lại là: $S_{2} =S - S_{1} = \frac{5\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} -\frac{4}{3}$
Kinh phí sử dụng là $2.10^{5}S_{1} +5.10^{5}S_{2} \approx 2.341.000$ đồng.
Câu 3: Vận dụng
Tính diện tích nhỏ nhất
Diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là:
- A.
  $\frac{3}{4}$
- B.
  $\frac{2}{5}$
- C.
  $\frac{4}{3}$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{2} + 1 = mx + 2 \Leftrightarrow x^{2} - mx - 1 = 0$

Vì $\Delta = m^{2} + 4 > 0;\forall m\mathbb{\in R}$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{m - \sqrt{m^{2} + 4}}{2};x_{2} = \frac{m + \sqrt{m^{2} + 4}}{2}$ với $x_{1} < x_{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}.x_{2} = - 1 \\ x_{2} - x_{1} = \sqrt{m^{2} + 4} \\ \end{matrix} ight.$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) là:

$S = \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left| \left( x^{2} - mx - 1 ight) ight|dx}$

$= \left| \int_{x_{1}}^{x_{2}}{\left( x^{2} - mx - 1 ight)dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{3}}{2} - \frac{mx^{2}}{2} - x ight) ight|_{x_{1}}^{x_{2}} ight|$

$= \left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{3} - {x_{1}}^{3} ight) - \frac{m}{2}\left( {x_{2}}^{2} - {x_{1}}^{2} ight) - \left( x_{2} - x_{1} ight) ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( {x_{2}}^{2} + x_{1}x_{2} + {x_{1}}^{2} ight) - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \left( x_{2} - x_{1} ight)\left| \frac{1}{3}\left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - x_{2}x_{1} - \frac{m}{2}\left( x_{2} + x_{1} ight) - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2} + 1}{3} - \frac{m^{2}}{2} - 1 ight|$

$= \sqrt{m^{2} + 4}.\left| \frac{m^{2}}{6} - \frac{2}{3} ight| = \sqrt{m^{2} + 4}.\frac{m^{2} + 4}{6} \geq \frac{4}{3};\forall m\mathbb{\in R}$

Vậy diện tích nhỏ nhất giới hạn bởi parabol $(P):y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d:y = mx + 2$ là $\frac{4}{3}$ .
Câu 4: Thông hiểu
Xác định thể tích V
Tính thể tích $V$ của vật thể sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = e^{x}.\sqrt{x}$ , đường thẳng $x = 1$ và trục hoành?
- A.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
- B.
  $V = \frac{\pi}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
- C.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
- D.
  $V = \frac{1}{4}\left( e^{4} - 1 ight)$
Hướng dẫn:
Thể tích V của vật thể là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{x}\sqrt{x} ight)^{2}dx} = \pi\int_{0}^{1}{\left( e^{2x}.x ight)dx}$

$= \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{xd\left( e^{2x} ight)} = \frac{\pi}{2}\left\lbrack \left. \ \left( x.e^{2x} ight) ight|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}{e^{2x}dx} ightbrack$

$= \frac{\pi}{4}\left( e^{2} + 1 ight)$
Câu 5: Thông hiểu
Tính thể tích chiếc lu
Một khối cầu có bán kính $5dm$ , người ta cắt bỏ $2$ phần bằng $2$ mặt phẳng song song và vuông góc với bán kính, hai mặt phẳng đó đều cách tâm của khối cầu $3dm$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được (coi độ dày của bề mặt không đáng kể).
- A.
  $\frac{100\pi}{3}\left( dm^{3} ight)$
- B.
  $43\pi\left( dm^{3} ight)$
- C.
  $41\pi\left( dm^{3} ight)$
- D.
  $132\pi\left( dm^{3} ight)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Đặt trục tọa độ như hình vẽ. Thể tích cái được tính bằng cách cho đường tròn có phương trình $x^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y^{2} = 25 - x^{2}$ quay quanh trục Ox.

Thể tích cái lu bằng;

$V = \pi\int_{- 3}^{3}{\left( 25 - x^{2} ight)dx} = \pi\left. \ \left( 25x - \frac{x^{3}}{3} ight) ight|_{- 3}^{3} = 132\pi\left( dm^{3} ight)$
Câu 6: Thông hiểu
Tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số $y = x^{2} - 2x$ có đồ thị $(P)$ . Các tiếp tuyến với đồ thị tại $O(0;0)$ và tại $A(3;3)$ cắt nhau tại $B$ . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung $OA$ của $(P)$ và hai tiếp tuyến $BO;BA$ ?
- A.
  $S = \frac{9}{3}$
- B.
  $S = \frac{9}{8}$
- C.
  $S = \frac{9}{5}$
- D.
  $S = \frac{9}{4}$
Hướng dẫn:
Tập xác định $D\mathbb{= R}$

$y' = 2x - 2$

Tiếp tuyến tại O(0; 0) là OB: $y = y'(0)(x - 0) + 0 \Leftrightarrow y = - 2x$

Tiếp tuyến tại A(3; 3) là AB: $y = y'(3)(x - 3) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 9$

Suy ra $OA \cap OB = B\left( \frac{3}{2}; - 3 ight)$

Diện tích hình giới hạn là

$S = \int_{0}^{\frac{3}{2}}{x^{2}dx} + \int_{\frac{3}{2}}^{3}{\left( x^{2} - 6x + 9 ight)dx} = \frac{9}{8} + \frac{9}{8} = \frac{9}{4}$
Câu 7: Thông hiểu
Chọn công thức tính diện tích hình phẳng
Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ:

Diện tích $S$ của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục $Ox$ (phần gạch sọc) được tính bởi công thức
- A.
  $S = \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)}$
- B.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
- C.
  $S = \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} + \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
- D.
  $S = \left| \int_{- 3}^{3}{f(x)d(x)} ight|$
Hướng dẫn:
Từ đồ thị hàm số ta thấy $\left\{ \begin{matrix} f(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 3;1brack \\ f(x) \leq 0;\forall x \in \lbrack 1;3brack \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$S = \int_{- 3}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{\left| f(x) ight|d(x)} + \int_{1}^{3}{\left| f(x) ight|d(x)}$

$= \int_{- 3}^{1}{f(x)d(x)} - \int_{1}^{3}{f(x)d(x)}$
Câu 8: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x};y = 0;x = 1;x = e$ là $S = a\sqrt{2} + b$ . Tính giá trị $a^{2} + b^{2}$ ?
- A.
  $\frac{20}{9}$
- B.
  $\frac{4}{3}$
- C.
  $\frac{2}{3}$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

$S = \int_{1}^{e}{\left| \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x} ight|dx} = \int_{1}^{e}{\frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}dx}$

Đặt $\sqrt{1 + \ln x} = t \Rightarrow 1 + \ln x = t^{2} \Rightarrow \frac{dx}{x} = 2tdt$

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow t = 1 \\ x = e \Rightarrow t = \sqrt{2} \\ \end{matrix} ight.$ . Khi đó:

$S = \int_{1}^{\sqrt{2}}{2t^{2}dt} = \frac{4}{3}.\sqrt{2} - \frac{2}{3}$ hay $a = \frac{4}{3};b = \frac{2}{3}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \frac{20}{9}$
Câu 9: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Cho đường cong $(C):y = x^{3}$ . Xét điểm $A$ có hoành độ dương thuộc $(C)$ , tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ tạo với $(C)$ một hình phẳng có diện tích bằng $27$ . Hoành độ điểm $A$ thuộc khoảng nào dưới đây??
- A.
  $\left( \frac{3}{2};2 ight)$ .
- B.
  $\left( 0;\frac{1}{2} ight)$ .
- C.
  $\left( 1;\frac{3}{2} ight)$ .
- D.
  $\left( \frac{1}{2};1 ight)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = 3x^{2}$ có $A \in (C) \Rightarrow A\left( a;a^{3} ight);(a > 0)$

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại A là $d:y = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$x^{3} = 3a^{2}(x - a) + a^{3}$

$\Leftrightarrow (x - a)^{2}(x + 2a) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a \\ x = - 2a \\ \end{matrix} ight.$

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến d và (C)

$S = 27 \Leftrightarrow \int_{- 2a}^{a}\left| x^{3} - 3a^{2}(x - a) - a^{3} ight|dx = 27$

$\Leftrightarrow \left| \int_{- 2a}^{a}\left( x^{3} - 3a^{2}x + 2a^{3} ight)dx ight| = 27$

$\Leftrightarrow \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3a^{2}x^{2}}{2} + 2a^{3}x ight) ight|_{- 2a}^{a} ight| = 27$

$\Leftrightarrow \frac{27}{4}a^{4} = 27 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = \sqrt{2}(tm) \\ a = - \sqrt{2}(ktm) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $a = \sqrt{2} \in \left( 1;\frac{3}{2} ight)$
Câu 10: Vận dụng

Ghi đáp án vào ô trống

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận

Đáp án là:

Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y= \frac{\sqrt{3}}{9}x^{3}$ , cung tròn có phương trình $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ (với $0 \leq x \leq 2$ ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ).
Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V = \left( \frac{- a}{b}\sqrt{3} + \frac{c}{d}ight)\pi$ , trong đó $a;b;c;d \in\mathbb{N}^{*}$ và $\frac{a}{b};\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Tính $P = a + b + c +d$ ?
Chỗ nhập nội dung câu trả lời tự luận
Câu 11: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $(S)$ giới hạn bởi các đường $y = 4 - x^{2};y = 0$ quanh trục $Ox$ có kết quả có dạng $\frac{\pi a}{b}$ với $a;b$ là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $a - 30b$ bằng:
- A.
  $82$
- B.
  $28$
- C.
  $62$
- D.
  $26$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao $4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích cần tính $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( 4 - x^{2} ight)^{2}dx} = \left. \ \left( \frac{x^{5}}{5} - \frac{8x^{3}}{3} - 16x ight) ight|_{- 2}^{2} = \frac{512\pi}{15}$

Suy ra $a = 512;b = 15 \Rightarrow a - 30b = 62$ .
Câu 12: Nhận biết
Xác định thể tích của vật
Vật thể $B$ giới hạn bởi mặt phẳng có phương trình $x = 0$ và $x = 2$ . Cắt vật thể $B$ với mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x;(0 \leq x \leq 2)$ ta được thiết diện có diện tích bằng $x^{2}(2 - x)$ . Thể tích của vật thể $B$ :
- A.
  $V = \frac{2}{3}$
- B.
  $V = \frac{4}{3}$
- C.
  $V = \frac{2\pi}{3}$
- D.
  $V = \frac{4\pi}{3}$
Hướng dẫn:
Thể tích của vật thể B là:

$V = \int_{0}^{2}{x^{2}(2 - x)dx} = \int_{0}^{2}{\left( 2x^{2} - x^{3} ight)dx} = \frac{4}{3}$
Câu 13: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{3}$ , trục hoành, $x = 0$ và $x = 2$ bằng
- A.
  $6$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{0}^{2}{\left| x^{3} ight|dx} = \left| \int_{0}^{2}{x^{3}dx} ight| = \left| \left. \ \left( \frac{x^{4}}{4} ight) ight|_{0}^{2} ight| = 4$
Câu 14: Thông hiểu
Tính thể tích V
Tính thể tích $V$ của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^{2} + 1;y = x^{3} + 1$ quay quanh $Ox$ .
- A.
  $\frac{47}{210}$
- B.
  $\frac{47\pi}{210}$
- C.
  $\frac{2}{35}$
- D.
  $\frac{2\pi}{35}$
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2} + 1 = x^{3} + 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ \end{matrix} ight.$

Thể tích khối tròn xoay cần tính là:

$V = \pi\int_{0}^{1}{\left| \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ight|dx}$

$= \pi\left| \int_{0}^{1}{\left\lbrack \left( x^{2} + 1 ight)^{2} - \left( x^{3} + 1 ight)^{2} ightbrack dx} ight|$

$= \pi\left| \int_{0}^{1}{\left( - x^{6} + x^{4} - 2x^{3} + 2x^{2} ight)dx} ight|$

$= \pi\left| \left. \ \left( - \frac{1}{7}x^{7} + \frac{1}{5}x^{5} - \frac{1}{2}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} ight) ight|_{0}^{1} ight| = \frac{47\pi}{210}$
Câu 15: Nhận biết
Tìm thể tích khối tròn xoay
Gọi $(D)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x}{4};y = 0;x = 1;x = 4$ . Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ ?
- A.
  $V = \frac{21\pi}{16}$
- B.
  $V = \frac{15\pi}{8}$
- C.
  $V = \frac{21}{16}$
- D.
  $V = \frac{15}{16}$
Hướng dẫn:
Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình $(D)$ quanh trục $Ox$ là

$V = \pi\int_{1}^{4}{\left( \frac{x}{4} ight)^{2}dx} = \left. \ \frac{\pi x^{3}}{48} ight|_{1}^{4} = \frac{21\pi}{16}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ và các đường thẳng $y = 2;y = - 2x - 4$ như hình vẽ:
- A.
  $\frac{1}{4} + 3\ln2$
- B.
  $S = \frac{1}{4}$
- C.
  $S = - \frac{5}{4} +3\ln2$
- D.
  $S = 3\ln3 - 2$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x - 1}{x + 2} = - 2x - 4\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 1 \\x = - \dfrac{7}{2} \\\end{matrix} ight.$

Xét $- 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

Xét $\frac{x - 1}{x + 2} = 2 \Leftrightarrow x = - 5$

Diện tích hình phẳng là:

$S = \int_{- 5}^{\frac{- 7}{2}}{\left( \frac{x - 1}{x + 2} - 2 ight)dx} + \int_{- \frac{7}{2}}^{- 3}{( - 2x - 4 - 2)dx}$

$= - \frac{5}{4} + 3\ln2$
Câu 17: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x);y = g(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;bbrack$ và hai đường thẳng $x = a;x = b;a < b$ là
- A.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack^{2}dx}$
- B.
  $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
- D.
  $S = \pi\int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
Hướng dẫn:
Ta có hình phẳng giới hạn bởi $\left\{ \begin{matrix} \left( C_{1} ight):y = f(x) \\ \left( C_{2} ight):y = g(x) \\ x = a \\ x = b \\ \end{matrix} ight.$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$ .
Câu 18: Nhận biết
Tính diện tích hình phẳng
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = \cos x;Ox;x = - \frac{\pi}{2};x = \frac{\pi}{2}$ ?
- A.
  $S = \frac{5}{4}$
- B.
  $S = \frac{3\pi}{2}$
- C.
  $S = 2$
- D.
  $S = 1$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi;k\mathbb{\in Z}$

Từ đó ta thấy phương trình hoành độ không có nghiệm nào thuộc khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$

Diện tích hình giới hạn là $S = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\left| \cos x ight|dx} = \left| \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos xdx} ight| = \left| \left. \ \sin x ight|_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} ight| = 2$
Câu 19: Nhận biết
Tính thể tích khối tròn xoay D
Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đường cong $y = e^{x}$ , trục hoành và các đường thẳng $x = 0;x = 1$ . Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
- A.
  $V = \frac{e^{2} - 1}{2}$
- B.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$
- C.
  $V = \frac{\pi\left( e^{2} + 1 ight)}{2}$
- D.
  $V = \frac{\pi e^{2}}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$V = \pi\int_{0}^{1}{e^{2x}dx} = \left. \ \frac{\pi}{2}e^{2x} ight|_{0}^{1} = \frac{\pi\left( e^{2} - 1 ight)}{2}$ .
Câu 20: Nhận biết
Tìm công thức tính diện tích thích hợp
Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường như hình vẽ (phần gạch sọc).

Diện tích hình phẳng $(H)$ được tính theo công thức
- A.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- B.
  $S = \int_{0}^{4}{\left| f(x) - g(x) ight|dx}$
- C.
  $S = \int_{0}^{1}{f(x)dx} - \int_{1}^{4}{g(x)dx}$
- D.
  $S = \int_{0}^{4}{\left\lbrack f(x) - g(x) ightbrack dx}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$S = \int_{0}^{1}{\left| f(x) ight|dx} + \int_{1}^{4}{\left| g(x) ight|dx}$

$= \int_{0}^{1}{f(x)dx} + \int_{1}^{4}{g(x)dx}$