Lớp 12 Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Bài tập cuối chương 3 Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Kết quả thống kê điểm kiểm tra môn Toán học sinh hai lớp 12A và 12B như sau:

Điểm trung bình	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[8; 8)	[8; 10)
Số học sinh lớp 12A	3	5	5	25	2
Số học sinh lớp 12B	1	4	15	16	4

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Số trung bình của hai mẫu dữ liệu trên bằng nhau. Đúng||Sai

(ii) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn 2. Sai||Đúng

(iii) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B lớn hơn 3. Đúng||Sai

(iv) Điểm thi của học sinh lớp 12B đồng đều hơn lớp 12A. Đúng||Sai

Đáp án là:

Kết quả thống kê điểm kiểm tra môn Toán học sinh hai lớp 12A và 12B như sau:

Điểm trung bình	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[8; 8)	[8; 10)
Số học sinh lớp 12A	3	5	5	25	2
Số học sinh lớp 12B	1	4	15	16	4

Xác định tính đúng sai của các khẳng định sau?

(i) Số trung bình của hai mẫu dữ liệu trên bằng nhau. Đúng||Sai

(ii) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A nhỏ hơn 2. Sai||Đúng

(iii) Phương sai của mẫu số liệu lớp 12B lớn hơn 3. Đúng||Sai

(iv) Điểm thi của học sinh lớp 12B đồng đều hơn lớp 12A. Đúng||Sai

Ta có:

Điểm trung bình	[0; 2)	[2; 4)	[4; 6)	[6; 8)	[8; 10)
Giá trị đại diện	1	3	5	7	9
Số học sinh lớp 12A	3	5	5	25	2
Số học sinh lớp 12B	1	4	15	16	4

Điểm trung bình của lớp 12A:

$\overline{x_{A}} = \frac{3.1 + 5.3 + 5.5 + 25.7 + 2.9}{3 + 5 + 5 + 25 + 2} = 5,9$ .

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12A:

${S_{A}}^{2} = \frac{1}{40}\left( 3.1^{2} + 5.3^{2} + 5.5^{2} + 25.7^{2} + 2.9^{2} ight) - 5,9^{2} = 4,19$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12A là: $S_{A} = \sqrt{{S_{A}}^{2}} = \sqrt{4,19} \approx 2,05$

Điểm trung bình của lớp 12B:

$\overline{x_{B}} = \frac{1.1 + 4.3 + 15.5 + 16.7 + 4.9}{1 + 4 + 15 + 16 + 4} = 5,9$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của lớp 12B:

${S_{B}}^{2} = \frac{1}{40}.\left( 1.1^{2} + 4.3^{2} + 15.5^{2} + 16.7^{2} + 4.9^{2} ight) - 5,9^{2} = 3,19$

Suy ra độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lớp 12B là: $S_{B} = \sqrt{{S_{B}}^{2}} = \sqrt{3,19} \approx 1,8$

Câu 2: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu
Cho bảng thống kê số liệu ghép nhóm sau:

Đối tượng

[6; 7)

[7; 8)

[8; 9)

[9; 10)

[10; 11)

Tần số

4

9

9

5

3

Độ lệch chuẩn $S$ của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho thỏa mãn:
- A.
  $3 < S < 4$
- B.
  $4 < S < 5$
- C.
  $1 < S < 2$
- D.
  $2 < S < 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

Đối tượng

[6; 7)

[7; 8)

[8; 9)

[9; 10)

[10; 11)

Giá trị đại diện

6,5

7,5

8,5

9,5

10,5

Tần số

4

9

9

5

3

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x_{A}} = \frac{4.6,5 + 13.7,5 + 22.8,5 + 27.9,5 + 30.10,5}{30} = 8,3$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

$S^{2} = \frac{1}{30}\left( 4.6,5^{2} + 13.7,5^{2} + 22.8,5^{2} + 27.9,5^{2} + 30.10,5^{2} ight) - 8,3^{2} = 1,36$

Suy ra độ lệch chuẩn của nhóm dữ liệu: $S = \sqrt{1,36} \approx 1,17 \Rightarrow 1 < S < 2$
Câu 3: Nhận biết
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Bác nông dân đã đo chiều cao của một số cây ăn quả trong vườn và kết quả ghi trong bảng sau:

Chiều cao (m)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4,0)

Số cây

10

25

47

33

20

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:
- A.
  $2$
- B.
  $1,8$
- C.
  $0,2$
- D.
  $3,5$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: R = 4 – 2 = 2
Câu 4: Thông hiểu
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho bảng thống kê khối lượng của 50 quả xoài (đơn vị: g) như sau:

Khối lượng (g)

[200; 210)

[210; 220)

[220; 230)

[230; 240)

[240; 250)

Số quả cam

7

13

17

9

4

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị nào sau đây?
- A.
  $10,5$
- B.
  $11,3$
- C.
  $11,7$
- D.
  $12,5$
Hướng dẫn:
Ta có:

Khối lượng (g)

[200; 210)

[210; 220)

[220; 230)

[230; 240)

[240; 250)

Giá trị đại diện

205

215

225

235

245

Số quả cam

7

13

17

9

4

Khối lượng trung bình của mỗi quả cam là:

$\overline{x} = \frac{7.205 + 12.215 + 17.225 + 9.235 + 4.245}{50} = 223(g)$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{50}\left( 7.205^{2} + 12.215^{2} + 17.225^{2} + 9.235^{2} + 4.245^{2} ight) - 223^{2} = 128$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng

[20; 24)

[24; 28)

[28; 32)

[32; 36)

[36; 40)

Tần số

3

6

7

12

2

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $6,7$
- B.
  $7,2$
- C.
  $5,3$
- D.
  $6,0$
Hướng dẫn:
Ta có:

Đối tượng

[20; 24)

[24; 28)

[28; 32)

[32; 36)

[36; 40)

Tần số

3

6

7

12

2

Tần số tích lũy

3

9

16

28

30

Ta có: $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = 7,5$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [24; 28)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 24;m = 3,f = 6;c = 28 - 24 = 4$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 24 + \frac{7,5 - 3}{6}.4 = 27$

Cỡ mẫu $N = 30 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 22.5$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [32; 36)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 32;m = 16,f = 12;c = 36 - 32 = 4$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 32 + \frac{22,5 - 16}{12}.4 =\frac{205}{6}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 7,2$
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu
Chủ cửa hàng thống kê số lượng đơn hàng đặt sản phẩm A mỗi ngày theo hình thức đặt online như sau:

Số lượng

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200)

[200; 220)

Số ngày

6

14

7

2

0

1

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:
- A.
  $122,84$
- B.
  $123,05$
- C.
  $122,14$
- D.
  $123,76$
Hướng dẫn:
Ta có:

Số lượng

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200)

[200; 220)

Số ngày

6

14

7

2

0

1

Tần số tích lũy

6

20

27

29

29

30

Ta có: $N = 30 \Rightarrow \frac{N}{4} = \frac{15}{2}$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [120; 140)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 120;m = 6,f = 14;c = 140 - 120 = 20$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 120 + \dfrac{\dfrac{15}{2} - 6}{14}.20\approx 122,14$
Câu 7: Thông hiểu
Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu
Chủ cửa hàng thống kê số lượng đơn hàng đặt sản phẩm A mỗi ngày theo hình thức đặt online như sau:

Số lượng

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200)

[200; 220)

Số ngày

6

14

7

2

0

1

Tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm?
- A.
  $Q_{3} \approx 140,36$
- B.
  $Q_{3} \approx 146,51$
- C.
  $Q_{3} \approx 144,35$
- D.
  $Q_{3} \approx 147,14$
Hướng dẫn:
Ta có:

Số lượng

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200)

[200; 220)

Số ngày

6

14

7

2

0

1

Tần số tích lũy

6

20

27

29

29

30

Ta có: $N = 30 \Rightarrow \frac{3N}{4} = \frac{45}{2}$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là [140; 160)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 140;m = 20,f = 7;c = 160 - 140 = 20$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\frac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 140 + \frac{\dfrac{45}{2} - 20}{7}.20\approx 147,14$
Câu 8: Nhận biết
Tính khối lượng trung bình
Cho bảng thống kê khối lượng của 50 quả xoài (đơn vị: g) như sau:
Khối lượng (g)
[200; 210)
[210; 220)
[220; 230)
[230; 240)
[240; 250)
Số quả cam
7
13
17
9
4
Khối lượng trung bình của mỗi quả xoài là:
- A.
  $224$
- B.
  $223$
- C.
  $225$
- D.
  $222$
Hướng dẫn:
Ta có:
Khối lượng (g)
[200; 210)
[210; 220)
[220; 230)
[230; 240)
[240; 250)
Giá trị đại diện
205
215
225
235
245
Số quả cam
7
13
17
9
4
Khối lượng trung bình của mỗi quả cam là:
$\overline{x} = \frac{7.205 + 12.215 +17.225 + 9.235 + 4.245}{50} = 223(g)$
Câu 9: Thông hiểu
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
Khảo sát cân nặng (đơn vị: gam) của một số con gà trong trang trại ta được kết quả ghi trong bảng sau:

Cân nặng (g)

[850; 900)

[900; 950)

[950; 1000)

[1000; 1050)

[1050; 1100)

Số con gà

16

23

41

32

8

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
- A.
  $85,19$
- B.
  $76,6$
- C.
  $40,02$
- D.
  $81,76$
Hướng dẫn:
Ta có:

Cân nặng (g)

[850; 900)

[900; 950)

[950; 1000)

[1000; 1050)

[1050; 1100)

Số con gà

16

23

41

32

8

Tần số tích lũy

16

39

80

112

120

Ta có: $N = 120 \Rightarrow \frac{N}{4} = 30$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [900; 950)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 900;m = 16,f = 23;c = 950 - 900 = 50$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 900 + \dfrac{30 - 16}{23}.50 =\frac{21400}{23}$

Cỡ mẫu $N = 120 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 90$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [1000; 1050)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 1000;m = 80,f = 32;c = 1050 - 1000 = 50$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\frac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 1000 + \frac{90 - 80}{32}.50 =\frac{8125}{8}$ .

Suy ra khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 85,19$

Câu 10: Vận dụng

Chọn khẳng định đúng

Kết quả khảo sát hai loại cam được ghi lại trong bảng sai?

Cân nặng (g)	[100; 110)	[110; 120)	[120; 130)	[130; 140)	[140; 150)
Số quả loại A	2	8	10	8	12
Số quả loại B	4	6	12	8	10

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.
Phương sai của mẫu số liệu của loại A nhỏ hơn loại B.
B.
Mốt của mẫu số liệu của loại A nhỏ hơn loại B.
C.
Cân nặng trung bình của mỗi quả loại A nhỏ hơn loại B.
D.
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu của loại A nhỏ hơn loại B.

Hướng dẫn:

Ta có:

Cân nặng (g)	[100; 110)	[110; 120)	[120; 130)	[130; 140)	[140; 150)
Giá trị đại diện	105	115	125	135	145
Số quả loại A	2	8	10	8	12
Số quả loại B	4	6	12	8	10

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm loại A là:

$\overline{x_{A}} = \frac{2.105 + 8.115 + 10.125 + 8.135 + 12.145}{40} = 130$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm A là:

${S_{B}}^{2} = \frac{1}{40}\left( 2.105^{2} + 8.115^{2} + 10.125^{2} + 8.135^{2} + 12.145^{2} ight) - 130^{2} = 155$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm loại B là:

$\overline{x_{B}} = \frac{4.105 + 6.115 + 12.125 + 8.135 + 10.145}{40} = 128,5$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm B là:

${S_{B}}^{2} = \frac{1}{40}\left( 4.105^{2} + 6.115^{2} + 12.125^{2} + 8.135^{2} + 10.145^{2} ight) - 128,5^{2} = 162,75$

Suy ra cân nặng trung bình của mẫu số liệu loại A lớn hơn mẫu số liệu loại B.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm loại A nhỏ hơn mẫu số liệu ghép nhóm loại B.

Mốt của mẫu dữ liệu loại A bằng mẫu dữ liệu loại B.

Xét mẫu dữ liệu loại A:

Cân nặng (g)	[100; 110)	[110; 120)	[120; 130)	[130; 140)	[140; 150)
Số quả loại A	2	8	10	8	12
Tần số tích lũy	2	10	20	28	40

Ta có: $N = 10 \Rightarrow \frac{N}{4} = 10$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [110; 120)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 110;m = 2,f = 8;c = 120 - 110 = 10$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 110 + \frac{10 - 2}{8}.10 =120$

Cỡ mẫu $N = 40 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 30$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [140; 150)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 140;m = 28,f = 12;c = 150 - 140 = 10$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\frac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 140 + \frac{30 - 28}{12}.10 =\frac{425}{3}$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q_{A}} = Q_{3} - Q_{1} = \frac{65}{3}$

Xét mẫu dữ liệu loại B:

Cân nặng (g)	[100; 110)	[110; 120)	[120; 130)	[130; 140)	[140; 150)
Số quả loại B	4	6	12	8	10
Tần số tích lũy	4	10	22	30	40

Ta có: $N = 10 \Rightarrow \frac{N}{4} = 10$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [110; 120)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 110;m = 4,f = 6;c = 120 - 110 = 10$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\frac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 110 + \frac{10 - 4}{6}.10 =120$

Cỡ mẫu $N = 40 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 30$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [130; 140)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 130;m = 22,f = 8;c = 140 - 130 = 10$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\frac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 130 + \frac{30 - 22}{8}.10 =140$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q_{B}} = Q_{3} - Q_{1} = 140 - 120 = 20$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu loại A lớn hơn mẫu số liệu loại B.

Câu 11: Thông hiểu
Tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm
Số lượng điện thoại hãng A bán mỗi ngày trong một tháng tại cửa hàng được thống kê trong bảng như sau:

Số điện thoại

[0; 3)

[3; 6)

[6; 9)

[9; 12)

[12; 15)

Số ngày

8

6

4

8

4

Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
- A.
  $6,75$
- B.
  $6,90$
- C.
  $18,24$
- D.
  $4,27$
Hướng dẫn:
Ta có:

Số điện thoại

[0; 3)

[3; 6)

[6; 9)

[9; 12)

[12; 15)

Giá trị đại diện

1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

Số ngày

8

6

4

8

4

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline{x} = \frac{8.1,5 + 6.4,5 + 4.7,5 + 8.10,5 + 4.13,5}{30} = 6,9$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$S^{2} = \frac{1}{30}\left( 8.1,5^{2} + 6.4,5^{2} + 4.7,5^{2} + 8.10,5^{2} + 4.13,5^{2} ight) - 6,9^{2} = 18,24$
Câu 12: Nhận biết
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Đối tượng

[20; 24)

[24; 28)

[28; 32)

[32; 36)

[36; 40)

Tần số

3

6

7

12

2

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $25$
- B.
  $20$
- C.
  $27$
- D.
  $30$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là R = 40 – 20 = 20.
Câu 13: Thông hiểu
Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu
Bác nông dân đã đo chiều cao của một số cây ăn quả trong vườn và kết quả ghi trong bảng sau:

Chiều cao (m)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4,0)

Số cây

10

25

47

33

20

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
- A.
  $0,65$
- B.
  $0,58$
- C.
  $0,01$
- D.
  $0,55$
Hướng dẫn:
Ta có:

Chiều cao (m)

[2; 2,4)

[2,4; 2,8)

[2,8; 3,2)

[3,2; 3,6)

[3,6; 4,0)

Số cây

10

25

47

33

20

Tần số tích lũy

10

35

82

115

135

Ta có: $N = 135 \Rightarrow \frac{N}{4} = 33,75$ suy ra nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là [2,4; 2,8)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 2,4;m = 10,f = 25;c = 2,8 - 2,4 = 0,4$

$\Rightarrow Q_{1} = l +\dfrac{\dfrac{N}{4} - m}{f}.c = 2,4 + \frac{33,75 - 10}{25}.0,4 =2,78$

Cỡ mẫu $N = 135 \Rightarrow \frac{3N}{4} = 101,25$

=> Nhóm chứa $Q_{3}$ là [3,2; 3,6)

Khi đó ta tìm được các giá trị:

$\Rightarrow l = 3,2;m = 82,f = 33;c = 3,6 - 3,2 = 0,4$

$\Rightarrow Q_{3} = l +\dfrac{\dfrac{3N}{4} - m}{f}.c = 3,2 + \frac{101,25 - 82}{33}.0,4 \approx3,43$ .

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_{Q} = Q_{3} - Q_{1} \approx 0,65$
Câu 14: Nhận biết
Xác định khoảng biến thiên của mẫu số liệu
Số lượng điện thoại hãng A bán mỗi ngày trong một tháng tại cửa hàng được thống kê trong bảng như sau:

Số điện thoại

[0; 3)

[3; 6)

[6; 9)

[9; 12)

[12; 15)

Số ngày

8

6

4

8

4

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là:
- A.
  $3$
- B.
  $15$
- C.
  $10$
- D.
  $8$
Hướng dẫn:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $R = 15 - 0 = 15$ .