Bài tập cuối chương 6 Xác suất có điều kiện CTST

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định công thức đúng
Cho ba biến cố $A;B;C$ độc lập từng đôi thỏa mãn $P(A) = P(B) = P(C) = p$ và $P(ABC) = 0$ . Xác định $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight)$ ?
- A.
  $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 3p^{2} + 3p - 1$
- B.
  $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 2p^{2} - p + 1$
- C.
  $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = 3p^{2} - 3p + 1$
- D.
  $P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = p^{2} + p + 3$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P\left( A\overline{B}\overline{C} ight) = P\left( A\overline{B} ight) - P\left( A\overline{B}C ight)$

$= p(1 - p) - p^{2} = p - 2p^{2}$

Vì A, B, C có vai trò như nhau nên $P\left( A\overline{B}C ight) = P\left( AB\overline{C} ight)$

$\Rightarrow P\left( \overline{A}\overline{B}\overline{C} ight) = P\left( \overline{B}\overline{C} ight) - P\left( A\overline{B}\overline{C} ight)$

$= (1 - p)^{2} - p - 2p^{2} = 3p^{2} - 3p + 1$
Câu 2: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho $A$ và $B$ là các biến cố của phép thử T. Biết rằng $P(A) > 0;0 < P(B) < 1$ . Xác suất của biến cố $B$ với điều kiện biến cố $A$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
- A.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{B}|A ight)}$
- B.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(A).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
- C.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
- D.
  $P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(A).P\left( B|A ight) + P\left( \overline{A} ight).P\left( B|\overline{A} ight)}$
Hướng dẫn:
Theo công thức Bayes ta có:

$P\left( B|A ight) = \frac{P(B).P\left( A|B ight)}{P(B).P\left( A|B ight) + P\left( \overline{B} ight).P\left( A|\overline{B} ight)}$
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Có hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 15 phiếu và hộp thứ hai có 9 phiếu. Học sinh A đi thi chỉ thuộc 10 câu ở hộp thứ nhất và 8 câu ở hộp thứ hai. Giáo viên rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó cho học sinh A rút ngẫu nhiên ra 2 phiếu từ hộp thứ hai.
- A.
  $0,522$
- B.
  $0,397$
- C.
  $0,385$
- D.
  $0,451$
Hướng dẫn:
Gọi E₁ là biến cố thầy giáo rút 2 câu thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₂ là biến cố thầy giáo rút 1 câu thuộc và 1 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi E₃ là biến cố thầy giáo rút 2 câu không thuộc từ hộp 1 bỏ sang hộp 2

Gọi C là biến cố sinh viên rút ra 2 câu thuộc từ hộp 2

$P(C) = P\left( E_{1} ight)P\left( C|E_{1} ight) + P\left( E_{2} ight)P\left( C|E_{2} ight) + P\left( E_{3} ight)P\left( C|E_{3} ight)$

Ta xác định được:

$P\left( E_{1} ight) = \frac{C_{10}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{3}{7};P\left( E_{2} ight) = \frac{C_{10}^{1}.C_{5}^{1}}{C_{15}^{2}} = \frac{10}{21}$

$P\left( E_{3} ight) = \frac{C_{5}^{2}}{C_{15}^{2}} = \frac{2}{21};P\left( C|E_{1} ight) = \frac{C_{10}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{9}{11}$

$P\left( C|E_{2} ight) = \frac{C_{9}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{12}{35};P\left( C|E_{3} ight) = \frac{C_{8}^{2}}{C_{11}^{2}} = \frac{3}{35}$

Thay vào công thức ta suy ra kết quả $P(C) \approx 0,522$
Câu 4: Thông hiểu
Tính xác suất chọn được sản phẩm tốt
Một loại linh kiện do 3 nhà máy số I, số II, số III cùng sản xuất. Tỷ lệ phế phẩm của các nhà máy lần lượt là: I; 0,04; II: 0,03 và III: 0,05. Trong 1 lô linh kiện để lẫn lộn 80 sản phẩm của nhà máy số I, 120 của nhà máy số II và 100 của nhà máy số III. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên 1 linh kiện từ lô hàng đó. Tính xác suất để được linh kiện tốt?
- A.
  $0,96$
- B.
  $0,83$
- C.
  $0,92$
- D.
  $0,85$
Hướng dẫn:
Gọi E₁ là biến cố phế phẩm máy số I

$\Rightarrow P\left( E_{1} ight) = 0,04 \Rightarrow P\left( \overline{E_{1}} ight) = 1 - 0,04 = 0,96$

E₂ là biến cố phế phẩm máy số II

$\Rightarrow P\left( E_{2} ight) = 0,03 \Rightarrow P\left( \overline{E_{2}} ight) = 1 - 0,03 = 0,97$

E₃ là biến cố phế phẩm máy số III

$\Rightarrow P\left( E_{3} ight) = 0,05 \Rightarrow P\left( \overline{E_{3}} ight) = 1 - 0,05 = 0,95$

Gọi B là biến cố khách hàng lấy được 1 linh kiện tốt

Xác suất để khách hàng lấy được linh kiện tốt là:

$P(B) = \frac{C_{80}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,96 + \frac{C_{120}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,97 + \frac{C_{100}^{1}}{C_{300}^{1}}.0,95 = 0,96$
Câu 5: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất. Trung bình máy thứ nhất cung cấp $60\%$ chi tiết, máy thứ hai cung cấp $40\%$ chi tiết. Biết $90\%$ chi tiết do máy thứ nhất sản xuất đều đạt tiêu chuẩn và $85\%$ chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyển một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn. Tìm xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất.
- A.
  $61,4\%$
- B.
  $57,6\%$
- C.
  $73,8\%$
- D.
  $66,3\%$
Hướng dẫn:
Gọi A là biến cố chi tiết lấy từ dây chuyển đạt tiêu chuẩn.

Biến cố A có thể xảy ra đồng thời với một trong hai biến cố sau đây tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

H₁ chi tiết máy do máy một sản xuất.

H₂ chi tiết máy do máy hai sản xuất.

Như vậy xác suất để chi tiết máy dó máy một sản xuất bằng:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight)}{P\left( H_{1} ight).P\left( A|H_{1} ight) + P\left( H_{2} ight).P\left( A|H_{2} ight)}$

Theo dữ kiện đề bài cho ta có: $\left\{ \begin{matrix} P\left( H_{1} ight) = 0,6;P\left( H_{2} ight) = 0,4 \\ P\left( A|H_{1} ight) = 0,9;P\left( A|H_{2} ight) = 0,85 \\ \end{matrix} ight.$

Do đó:

$P\left( H_{1}|A ight) = \frac{0,6.0,9}{0,6.0,9 + 0,4.0,85} = 0,614$
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các phương án

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Ông Bình hằng ngày đi làm bằng xe máy hoặc xe buýt. Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe buýt thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe máy là $0,4$ . Nếu hôm nay ông đi làm bằng xe máy thì xác suất để hôm sau ông đi làm bằng xe buýt là $0,7$ . Xét một tuần mà thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt.

Gọi A là biến cố: “Thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy” và B là biến cố: “Thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy”.

a) Xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{7}{10}$ . Sai||Đúng

b) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông An đi làm bằng xe máy là $\frac{3}{10}$ . Đúng||Sai

c) Xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{4}{10}$ . Đúng||Sai

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là $\frac{9}{25}$ . Đúng||Sai

Từ giả thiết của bài toán ta có sơ đồ hình cây như sau:

a) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe buýt là $0,6$ (nhánh $O\overline{A}$ ).

b) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba, ông Bình đi làm bằng xe máy là $0,3 = \frac{3}{10}$ (nhánh $\overline{A}B$ ).

c) Dựa vào sơ đồ cây ta có xác suất để thứ Tư, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Ba ông Bình đi làm bằng xe buýt $0,4 = \frac{4}{10}$ (nhánh $AB$ )

d) Xác suất để thứ Tư trong tuần đó, ông Bình đi làm bằng xe máy nếu thứ Hai ông Bình đi làm bằng xe buýt là:

$P(B) = 0,4.0,3 + 0,6.0,4 = 0,36$ (nhánh $OAB$ và nhánh $O\overline{A}B$ ).
Câu 7: Thông hiểu
Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh
Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $0,8$ . Người ta áp dụng phương pháp chẩn đoán mới thì thấy nếu khẳng định có bệnh thì đúng 9 trên 10 trường hợp; còn nếu khẳng định không bệnh thì đúng 5 trên 10 trường hợp. Tính xác suất để chẩn đoán có bệnh?
- A.
  $75\%$
- B.
  $55\%$
- C.
  $80\%$
- D.
  $68\%$
Hướng dẫn:
Gọi A là "người đến khám có bệnh" thì A, $\overline{A}$ tạo thành hệ đầy đủ

Gọi B là "Chẩn đoán có bệnh".

Ta có $P(A | B) = 0.9, P(A|B) = 0.5.$

Tìm P(B) từ:

$P\left( A|B ight) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight)}{P(B)}$

$\Rightarrow P\left( A|B ight) = \frac{P(A) - P\left( A|\overline{B} ight).\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Rightarrow 0,9 = \frac{0,8 - 0,5\left\lbrack 1 - P(B) ightbrack}{P(B)}$

$\Leftrightarrow P(B) = 0,75$
Câu 8: Thông hiểu
Tính xác suất thắng thầu
Một công ty xây dựng đấu thầu 2 dự án độc lập. Khả năng thắng thầu của các dự án 1 là $0,6$ và dự án 2 là $0,7$ . Biết công ty thắng thầu dự án 1, tìm xác suất công ty thắng thầu dự án 2?
- A.
  $0,7$
- B.
  $0,63$
- C.
  $0,6$
- D.
  $0,46$
Hướng dẫn:
Gọi A là biến cố ”Thắng thầu dự án 1″

Gọi B là biến cố “Thắng thầu dự án 2″

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{matrix} P(A) = 0,6 \Rightarrow P\left( \overline{A} ight) = 0,4 \\ P(B) = 0,3 \Rightarrow P\left( \overline{B} ight) = 0,7 \\ \end{matrix} ight.$ với 2 biến cố $A; B$ độc lập.

Gọi D là biến cố “thắng thầu dự án thứ 2 biết thắng thầu dự án 1” do $A; B$ là hai biến cố độc lập nên:

$P(D) = P\left( B|A ight) = P(B) = 0,7$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có 6 khẩu súng cũ và 4 khẩu súng mới, trong đó xác suất trúng khi bắn bằng súng cũ là $0,8$ , còn súng mới là $0,95$ . Thực hiện bắn bằng một khẩu súng vào một mục tiêu thì thấy trúng. Hỏi sử dụng loại súng nào khả năng bắn trúng cao hơn?
- A.
  Loại mới
- B.
  Loại cũ
Hướng dẫn:
Gọi M là biến cố "bắn bằng khẩu mới" thì $\overline{M}$ là biến cố "bắn bằng khẩu cũ".

Có P(M) = 0,4 và P( $\overline{M}$ ) = 0,6.

Gọi T là biến cố "bắn trúng" thì theo đề bài, ta có:

P(T | M) = 0,95; P(T | $\overline{M}$ ) = 0,8.

Áp dụng công thức xác suất điều kiện suy ra

$P\left( M|T ight) = \frac{P(M).P\left( T|M ight)}{P(T)} = \frac{0,38}{P(T)}$

$P\left( \overline{M}|T ight) = \frac{P\left( \overline{M} ight).P\left( T|\overline{M} ight)}{P(T)} = \frac{0,48}{P(T)}$

Suy ra bắn bằng khẩu cũ có khả năng xảy ra cao hơn.
Câu 10: Nhận biết
Tính xác suất
Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)$ ?
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{5}{12}$
- C.
  $\frac{11}{12}$
- D.
  $\frac{3}{4}$
Hướng dẫn:
Ta có: $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}$
Câu 11: Thông hiểu
Tính xác suất P
Có ba kiện hàng (mỗi kiện hàng có $20$ sản phẩm) với số sản phẩm tốt tương ứng của mỗi kiện là $18, 16, 12$ . Lấy ngẫu nhiên một kiện hàng, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Trả sản phẩm này lại kiện hàng vừa lấy, sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sản phẩm thì được sản phẩm tốt. Tính xác suất để các sản phẩm tốt đó được lấy từ kiện hàng thứ nhất?
- A.
  $0,6125$
- B.
  $0,6033$
- C.
  $0,6354$
- D.
  $0,6271$
Hướng dẫn:
Gọi A_i là "sản phẩm lấy từ kiện thứ i" thì A₁, A₂, A₃ tạo thành hệ đầy đủ.

Gọi A là các sản phẩm lấy ra đều tốt.

$P\left( A_{1} ight) = P\left( A_{2} ight) = P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{3}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P\left( A|A_{1} ight) = \frac{18}{20}.\frac{18}{20}$

$P\left( A|A_{2} ight) = \frac{16}{20}.\frac{16}{20}$

$P\left( A|A_{3} ight) = \frac{12}{20}.\frac{12}{20}$

Từ đó ta có:

$P(A) = P\left( A_{1} ight).P\left( A|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight).P\left( A|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight).P\left( A|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(A) = \frac{1}{3}.\frac{18}{20}.\frac{18}{20} + \frac{1}{3}.\frac{16}{20}.\frac{16}{20} + \frac{1}{3}.\frac{12}{20}.\frac{12}{20} = \frac{181}{300} \approx 0,6033$
Câu 12: Nhận biết
Tính xác suất
Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A) = \frac{1}{3};P(B) = \frac{1}{2};P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( A\overline{B} ight)$ ?
- A.
  $\frac{1}{4}$
- B.
  $\frac{7}{12}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{5}{12}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P(A.B) = P(A) + P(B) - P(A + B) = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow P\left( A\overline{B} ight) = P(A) - P(AB) = \frac{1}{4}$
Câu 13: Thông hiểu
Tính xác suất
Cho hai biến cố $A;B$ với $P(AB) = \frac{1}{4};P\left( A|\overline{B} ight) = \frac{1}{8};P(B) = \frac{1}{2}$ . Tính $P(A)$ ?
- A.
  $\frac{1}{2}$
- B.
  $\frac{5}{16}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$P(A) = P\left( \overline{A}\overline{B} + AB ight)$

$= P\left( A|\overline{B} ight).P\left( \overline{B} ight) + P(AB)$

$= \frac{1}{8}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16}$
Câu 14: Nhận biết
Xác định công thức đúng
Một đợt xổ số phát hành $N$ vé, trong đó có $M$ vé có thưởng. Một người mua $t$ vé $(r < N - M)$ . Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng
- A.
  $\frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$
- B.
  $1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
- C.
  $\frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
- D.
  $1 - \frac{C_{N}^{t}}{C_{N + M}^{t}}$
Hướng dẫn:
Gọi A: “Người đó có ít nhất một vé trúng thưởng”.

$\overline{A}$ : “người đó không có vé trúng thưởng”

Ta có: $P\left( \overline{A} ight) = \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$ khi đó $P(A) = 1 - P\left( \overline{A} ight) = 1 - \frac{C_{N - M}^{t}}{C_{N}^{t}}$
Câu 15: Nhận biết
Tính xác suất của biến cố
Gieo lần lượt hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6. Biết rằng con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm.
- A.
  $\frac{2}{3}$
- B.
  $\frac{2}{6}$
- C.
  $\frac{1}{6}$
- D.
  $\frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Gọi A là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”.

Gọi B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( B|A ight) = \frac{1}{6}$ .
Câu 16: Thông hiểu
Tính xác suất để chứng từ hợp lệ
Một tập gồm 10 chứng từ, trong đó có 2 chứng từ không hợp lệ. Một cán bộ kế toán rút ngẫu nhiên 1 chứng từ và tiếp đó rút ngẫu nhiên 1 chứng từ khác để kiểm tra. Tính xác suất để cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ?
- A.
  $\frac{28}{45}$
- B.
  $\frac{4}{15}$
- C.
  $\frac{13}{45}$
- D.
  $\frac{5}{9}$
Hướng dẫn:
Gọi A là biến cố cả 2 chứng từ rút ra đều hợp lệ

Theo yêu cầu của đầu bài ta phải tính xác xác suất P(A)

Nếu gọi A_i là biến cố chứng từ rút ra lần thứ i là hợp lệ} (i = 1,3).

Khi đó ta có: $A = A_1 . A_2$

Vì vậy các xác suất cần tìm là:

$P(A) = P\left( A_{1}.\ A_{2} ight) = P\left( A_{1} ight).P\left( A_{2}|A_{1} ight) = \frac{8}{10}.\frac{7}{9} = \frac{28}{45}$
Câu 17: Nhận biết
Tính xác suất
Cho hai biến cố $A;B$ với $P(A + B) = \frac{3}{4}$ . Tính $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight)$ ?
- A.
  $\frac{5}{12}$
- B.
  $\frac{1}{4}$
- C.
  $\frac{3}{4}$
- D.
  $\frac{11}{12}$
Hướng dẫn:
Ta có: $P\left( \overline{A}.\overline{B} ight) = P\left( \overline{A + B} ight) = 1 - P(A + B) = \frac{1}{4}$
Câu 18: Vận dụng cao
Tính xác suất P
Ba khẩu pháo cùng bắn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi khẩu là $0,4;0,7;0,8$ . Biết rằng xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt khi trúng một phát đạn là $30\%$ , khi trúng 2 phát đạn là $70\%$ , còn trúng 3 phát đạn thì chắc chắn mục tiêu bị tiêu diệt. Giả sử mỗi khẩu pháo bắn 1 phát. Tính xác suất để khẩu thứ 3 có đóng góp vào thành công đó?
- A.
  $86,34\%$
- B.
  $95,78\%$
- C.
  $91,12\%$
- D.
  $88,83\%$
Hướng dẫn:
Gọi $\ A_{i}$ : "Khẫu pháo thứ $i$ bắn trúng" $(i = 1,2,3$ )

$B_{k}$ : "Mục tiêu trúng $k$ phát đạn" $(k = 0,1,2,3)$

$B$ : "Mục tiêu bị tiêu diệt".

Ta có: $\left\{ B_{k},k = 0,1,2,3 ight\}$ là một hệ đầy đủ các biến cố và

$B_{0} = \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}},\ B_{1} = A_{1}\overline{A_{2}}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}A_{2}\overline{A_{3}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}$

$B_{2} = A_{1}A_{2}\overline{A_{3}} + A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} + \overline{A_{1}}A_{2}A_{3},\ B_{3} = A_{1}A_{2}A_{3}$

Ta có các giả thiết sau:

$P\left( A_{1} ight) = 0,4;P\left( A_{2} ight) = 0,7;P\left( A_{3} ight) = 0,8$

$P\left( B \mid B_{0} ight) = 0,P\left( B \mid B_{1} ight) = 0,3;P\left( B \mid B_{2} ight) = 0,7;P\left( B \mid B_{3} ight) = 1$

Từ đó, ta tính được:

$P\left( B_{0} ight) = P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight)$

$= (0,6)(0,3)(0,2)$

$= 0,036$

$P\left( B_{1} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,3)(0,2) + (0,6)(0,7)(0,2) + (0,6)(0,3)(0,8)$

$= 0,252$

$P\left( B_{2} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( \overline{A_{3}} ight) + P\left( A_{1} ight)P\left( \overline{A_{2}} ight)P\left( A_{3} ight) + P\left( \overline{A_{1}} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,2) + (0,4)(0,3)(0,8) + (0,6)(0,7)(0,8)$

$= 0,488$

$P\left( B_{3} ight) = P\left( A_{1} ight)P\left( A_{2} ight)P\left( A_{3} ight)$

$= (0,4)(0,7)(0,8)$

$= 0,224$

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:

$P(B) = P\left( B \mid B_{0} ight)P\left( B_{0} ight) + P\left( B \mid B_{1} ight)P\left( B_{1} ight) + P\left( B \mid B_{2} ight)P\left( B_{2} ight) + P\left( B \mid B_{3} ight)P\left( B_{3} ight)$

$= 0.(0,036) + (0,3)(0,252) + (0,7)(0,488) + 1.(0,224)$

$= 0,6412$

Khi đó ta có:

$P\left( BA_{3} ight) = P\left\lbrack BA_{3}\left( A_{1}A_{2} + \overline{A_{1}}A_{2} + A_{1}\overline{A_{2}} + \overline{A_{1}}\overline{A_{2}} ight) ightbrack$

$= P\left( A_{1}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3}B ight) + P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}B ight) + P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3}B ight)$

$= P\left( B \mid A_{1}A_{2}A_{3} ight)P\left( A_{1}A_{2}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}A_{2}A_{3} ight)$

$+ P\left( B \mid A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( A_{1}\overline{A_{2}}A_{3} ight) + P\left( B \mid \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)P\left( \overline{A_{1}}\overline{A_{2}}A_{3} ight)$

$= 1.(0,224) + (0,7)\lbrack(0,6)(0,7)(0,8)brack + (0,7)\lbrack(0,4)(0,3)(0,8)brack$

$+ (0,3)\lbrack(0,6)(0,3)(0,8)brack$

$= 0,5696$

Do đó

$P\left( A_{3} \mid B ight) = \frac{P\left( BA_{3} ight)}{P(B)} = \frac{0,5696}{0,6412} = 0,8883$
Câu 19: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Một loài sinh vật có các kiểu gen AA, Aa, aa theo tỉ lệ: $1 : 2 : 1$ . Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen AA thì các cá thể con đều có kiểu gen AA. Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen Aa thì cá thể con có kiểu gen AA, Aa theo tỉ lệ $1 : 1$ . Nếu cá thể bố (mẹ) có kiểu gen AA lai với các thể mẹ (bố) có kiểu gen aa thì cá thể con chỉ có các kiểu Aa. Chọn một cá thể con từ cá thể mẹ có kiểu gen AA. Tính xác suất ñể cá thể con có kiểu gen Aa.
- A.
  $\frac{3}{4}$
- B.
  $\frac{1}{6}$
- C.
  $\frac{1}{2}$
- D.
  $\frac{1}{4}$
Hướng dẫn:
Gọi B là biến cố cá thể con có kiểu gen Aa

A₁ là biến cố cá thể bố có kiểu gen AA

A₂ là biến cố cá thể bố có kiểu gen Aa

A₃ là biến cố cá thể bố có kiểu gen aa

Hệ: A₁, A₂, A₃ là hệ đầy đủ

Ta xác định được:

$P\left( A_{1} ight) = \frac{1}{4};P\left( A_{2} ight) = \frac{2}{4};P\left( A_{3} ight) = \frac{1}{4}$

$P\left( B|A_{1} ight) = 0;P\left( B|A_{2} ight) = \frac{1}{2};P\left( B|A_{3} ight) = 1$

Do đó:

$P(B) = P\left( A_{1} ight)P\left( B|A_{1} ight) + P\left( A_{2} ight)P\left( B|A_{2} ight) + P\left( A_{3} ight)P\left( B|A_{3} ight)$

$\Rightarrow P(B) = \frac{1}{4}.0 + \frac{2}{4}.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}.1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Câu 20: Vận dụng
Xác định độ tin cậy của hệ thống
Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
- A.
  $95,55\%$
- B.
  $99,28\%$
- C.
  $97,37\%$
- D.
  $90,85\%$
Hướng dẫn:
Gọi B_i: "Bộ phận thứ i hoạt động tốt" (i = 1, 2, 3)

H: "Hệ thống hoạt động tốt"

Theo giả thiết, ta thấy rằng P(B_i) = 0.95 với i = 1, 2, 3 và

$H = \overline{B_{1}}B_{2}B_{3} + B_{1}\overline{B_{2}}B_{3} + B_{1}B_{2}\overline{B_{3}} + B_{1}B_{2}B_{3}$

Do tính độc lập, xung khắc và đối xứng nên:

$P(H) = 3P\left( \overline{B_{1}} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight) + P\left( B_{1} ight)P\left( B_{2} ight)P\left( B_{3} ight)$

$\Rightarrow P(H) = 3.(0,95)^{2}.(0,05) + 0,95^{3} = 99,28$ .